《電路分析基礎》課件3第4章

4.1支路分析4.2網(wǎng)孔分析4.3節(jié)點分析4.4含運放電路的節(jié)點分析*4.5節(jié)點列表法*4.6電路方程的計算機解本章小結思考題

習題44.1.1電路的2b方程

電路分析的主要任務是：給定電路的結構、元件的特性和參數(shù)、各獨立源的電壓和電流(激勵)，求電路中各支路電壓和支路電流，或某些指定的支路電壓和支路電流(響應)。對含有b條支路的電路，就有b個未知的支路電壓和b個未知的支路電流，這就需要列寫2b個聯(lián)立方程從而解出2b個未知量，這種方法稱為2b法。4.1支路分析以如圖4-1所示電路為例。電路有3個節(jié)點，3個網(wǎng)孔，5條支路，因此，有5個支路電流I1~I5，5個支路電壓U1~U5。有10個未知量，所以需要10個方程。

對3個節(jié)點，可寫出KCL方程為

-I1-I2+I3=0

(4-1)

-I3+I4+I5=0

(4-2)

I1+I2-I4-I5=0

(4-3)圖4-1說明2b方程的電路但這三個方程中只有兩個是獨立的，因為將式(4-1)與式(4-2)相加再乘-1就可以得到式(4-3)。

因此，要任意去掉一個方程，KCL方程變?yōu)?/p>

-I1-I2+I3=0

-I3+I4+I5=0

(4-4)對3個網(wǎng)孔，可以列寫3個KVL方程

-U1+U2=0

-U2+U3+U4=0

U4-U5=0

(4-5)對5條支路可以列寫5個支路方程

U1=US1-R1I1，U2=-R2I2，

U3=R3I3，U4=R4I4，U5=US5+R5I5

(4-6)這樣就有10個方程可解之。對一般網(wǎng)絡，設有b條支路，n個節(jié)點，則有b個支路電流和b個支路電壓，共2b個未知量。方程個數(shù)：KCL方程數(shù)n－1個，KVL方程數(shù)b－n+1個，支路方程數(shù)b個，共2b個方程。

2b方程在實際使用中較少應用，主要是列寫的方程個數(shù)太多。但是，從概念上來說，2b方法是很重要的，它是所有其他電路方程的基礎。在計算機輔助計算中，由于形成方程容易而重新得到重視。4.1.2支路電流法

支路電流法是以電路中的支路電流為未知量的列寫電路方程的方法。

因為只要知道了支路電流，支路電壓就可以由支路方程求得。以如圖4-1所示的電路為例，將式(4-6)代入式(4-5)就可得

-I1-I2+I3=0

-I3+I4+I5=0

-US1+R1I1-R2I2=0

R2I2+R3I3+R4I4=0

R4I4-US5-R5I5=0

(4-7)這就是支路電流法列寫的5個方程，可解得5個支路電流I1~I5。

對一般網(wǎng)絡，設有b條支路，n個節(jié)點，則有b個支路電流，共b個未知量。方程個數(shù)：KCL方程數(shù)n－1個，KVL方程數(shù)b－n+1個，共b個方程。4.1.3支路電壓法

支路電壓法是以電路中的支路電壓為未知量的列寫電路方程的方法。

因為只要知道了支路電壓，支路電流就可以由支路方程求得。以如圖4-1所示的電路為例，將式(4-6)中的電流解出代入式(4-4)，消去了支路電流，可得

(4-8)這就是支路電壓法列寫的5個方程，可解得5個支路電壓U1~U5。

對一般網(wǎng)絡，設有b條支路，n個節(jié)點，則有b個支路電壓，共b個未知量。方程個數(shù)：KCL方程數(shù)n－1個，KVL方程數(shù)b－n+1個，共b個方程。

綜上所述，支路分析法是由2b分析法演變而來的的，需要列寫b個方程，以KCL和KVL為列寫方程的依據(jù)。4.2.1網(wǎng)孔分析的一般方法

網(wǎng)孔電流是一種沿著網(wǎng)孔邊界流動的假想電流。網(wǎng)孔電流的方向是任意設定的，如圖4-2所示電路設有三個網(wǎng)孔電流IL1、IL2和IL3。網(wǎng)孔電流與支路電流的關系為

I1=IL1，I2=IL2-IL1，I3=IL2，

I4=IL2+IL3，I5=-IL3

(4-9)

所以，網(wǎng)孔電流求得后，支路電流也就決定了，但未知量的數(shù)目減少了。4.2網(wǎng)孔分析法圖4-2說明網(wǎng)孔方程的電路以圖4-2所示的電路為例，列寫網(wǎng)孔方程。

對網(wǎng)孔１，應用KVL，有

R1IL1+R2(IL1-IL2)=US1(4-10)對網(wǎng)孔2，應用KVL，有

R2(IL2-IL1)+R3IL2+R4(IL2+IL3)=0

(4-11)對網(wǎng)孔3，應用KVL，有

R5IL3+R4(IL3+IL2)=US5(4-12)由式(4-10)、式(4-11)、式(4-12)整理可得

(R1+R2)IL1-R2IL2=US1

-R2IL1+(R2+R3+R4)IL2+R4IL3=0

R4IL2+(R4+R5)IL3=US5

(4-13)綜上所述，可以歸納出網(wǎng)孔分析的計算方法。

網(wǎng)孔分析的步驟：

(1)設網(wǎng)孔電流及參考方向。

(2)對每個網(wǎng)孔應用KVL列寫電壓方程，用歐姆定律表示含有網(wǎng)孔電流的每一項電壓。

(3)化簡并求解網(wǎng)孔方程，從而獲得網(wǎng)孔電流。

【例4-1】

電路如圖4-3所示，求支路電流I1、I2和I3。

解設網(wǎng)孔電流如圖4-3所示。

對網(wǎng)孔1，有

-15+5IL1+10(IL1-IL2)+10=0

化簡得

3IL1-2IL2=1

(4-14)圖4-3例4-1的電路對網(wǎng)孔2，有

-10+10(IL2-IL1)+6IL2+4IL2=0

化簡得

IL1=2IL2-1

(4-15)

對式(4-14)、式(4-15)聯(lián)立求解，可得

IL1=IL2=1A

所以，支路電流為

I1=IL1=1A

I2=IL2=1A

I3=IL1-IL2=0

【例4-2】

電路如圖4-4所示，求電路中的電流I0。

解對網(wǎng)孔1，應用KVL有

-24+10(IL1-IL2)+12(IL1-IL3)=0

對網(wǎng)孔2，有

24IL2+4(IL2-IL3)+10(IL2-IL1)=0

圖4-4例4-2的電路對網(wǎng)孔3，有

4I0+12(IL3-IL1)+4(IL3-IL2)=0

用網(wǎng)孔電流表示控制量：I0=IL1-IL2，上式變?yōu)?/p>

4(IL1-IL2)+12(IL3-IL1)+4(IL3-IL2)=0

化簡以上等式，有

11IL1-5IL2-6IL3=12

-5IL1+19IL2-2IL3=0

-IL1-IL2+2IL3=0

(4-16)聯(lián)立求解式(4-16)，可解得

IL1=2.25A，IL2=0.75A，IL3=1.5A

于是，I0=IL1-IL2=1.5A。

此題說明，如果電路中含有受控源，則網(wǎng)孔電流方程必須附加適當?shù)募s束方程。4.2.2網(wǎng)孔分析的特殊方法

前面討論的網(wǎng)孔分析中，所涉及的電路只含有電壓源。如果電路中含有電流源，應用

KVL列寫網(wǎng)孔方程就會有問題。因為電流源兩端的電壓是不定的，即它的端電壓要由外電路決定。因此，用KVL列寫沿網(wǎng)孔的電壓方程就行不通了。如果電路中含有非理想的電流源，即有內阻的電流源(任何與電流源并聯(lián)的電阻都可以看成電流源的內阻)，可以通過電源等效變換，將電流源模型變換成電壓源模型。這樣，電路中又只含有電壓源了。但是，電路中含有理想電流源，即某條支路的電流源沒有電阻與之并聯(lián)，這時電流源就不可能等效變換成電壓源。列寫網(wǎng)孔方程的方法就要有所改變，這就是要討論網(wǎng)孔分析的特殊方法。有兩種方法可以解決這個問題：

第一種方法是增設未知量，即在電流源兩端設定一個未知電壓，沿每個網(wǎng)孔應用KVL列寫電壓方程，然后將電流源與網(wǎng)孔電流的關系考慮進去，這種方法使未知量的個數(shù)增加，電路方程增加，比較麻煩。第二種方法是“超網(wǎng)孔”分析法，這是較好的方法。即用含有公共電流源的兩個網(wǎng)孔來構造一個“超網(wǎng)孔”，該電流源位于超網(wǎng)孔的內部，這樣存在電流源的地方就減少了一個網(wǎng)孔。如果電流源位于電路的邊界，那么它所在的網(wǎng)孔就不必列方程，因為網(wǎng)孔電流就是電流源的電流。這樣處理后，可以對電路中的網(wǎng)孔或超網(wǎng)孔應用KVL列方程。

電路如果含有理想電流源支路，可采用超網(wǎng)孔法。位于兩個網(wǎng)孔之間的每一個電流源形成一個“超網(wǎng)孔”，對超網(wǎng)孔構成的回路可以應用KVL列方程。

【例4-3】

用網(wǎng)孔分析法求如圖4-5所示電路中的網(wǎng)孔電流I1、I2。

解由于電流源在電路的邊界，因此網(wǎng)孔2不必列方程，只要對網(wǎng)孔1列方程。

對網(wǎng)孔1，有

-10+4I1+6(I1+I2)=0圖4-5例4-3的電路其中，I2=5A，所以

-10+4I1+6(I1+5)=0

可得

I1=-2A

【例4-4】

用網(wǎng)孔分析法求如圖4-6(a)所示電路中的網(wǎng)孔電流I1、

I2和I3。

解一個電流源位于兩個網(wǎng)孔的公共邊界上。設超網(wǎng)孔包含網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔3，如圖4-6(b)虛線所示，沿該回路應用KVL，有

-7+1(I1-I2)+3(I3-I2)+1×I3=0

或

I1-4I2+4I3=7

(4-17)圖4-6例4-4的電路

對網(wǎng)孔2，應用KVL，有

1(I2-I1)+2I2+3(I2-I3)=0

或

-I1+6I2-3I3=0(4-18)電流源與網(wǎng)孔電流的關系為

I1-I3=7

(4-19)聯(lián)立求解式(4-17)、式(4-18)和式(4-19)可得

I1=9A，I2=2.5A，I3=2A圖4-7例4-5的電路

【例4-5】

用網(wǎng)孔分析法求如圖4-7所示電路中的網(wǎng)孔電流I1、I2和I3。

解由于15A的電流源位于電路的邊界，列方程時不考慮網(wǎng)孔1。受控電流源雖然位于網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2之間，但網(wǎng)孔1已去掉，這樣受控源相當于位于電路的邊界，于是不需要對網(wǎng)孔3列方程。僅剩下網(wǎng)孔2，應用KVL，有

1(I2-I1)+2I2+3(I2-I3)=0其中，I1=15A，受控源與網(wǎng)孔電流的關系為

控制量與網(wǎng)孔電流的關系為

Ux=3(I3-I2)

所以，得網(wǎng)孔方程為

2I2-I3=5

I2+2I3=45

解之得

I1=15A，I2=11A，I3=17A

【例4-6】

用網(wǎng)孔分析法求如圖4-8所示電路中的網(wǎng)孔電流I1~I4。

解網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2之間有電流源可形成一個超網(wǎng)孔。網(wǎng)孔2與網(wǎng)孔3之間有受控電流源，也形成一個超網(wǎng)孔。

兩個超網(wǎng)孔連在一起，形成一個大超網(wǎng)孔，如圖中虛線所示。圖4-8例4-6的電路對超網(wǎng)孔，應用KVL，有

2I1+4I3+8(I3-I4)+6I2=0

化簡得

I1+3I2+6I3-4I4=0

對網(wǎng)孔4，有

8(I4-I3)+2I4+10=0

化簡得

5I4-4I3=-5

電流源與網(wǎng)孔電流的關系為

I2-I1=5

受控源與網(wǎng)孔電流的關系為

I2-I3=3I0

控制量與網(wǎng)孔電流的關系為

I0=-I4

所以得方程組為

I1+3I2+6I3-4I4=0

5I4-4I3=-5

I2-I1=5

I2-I3+3I4=0

解之得

I1=-7.5A，I2=-2.5A，I3=3.93A，I4=2.143A

值得注意的是，網(wǎng)孔分析法只適用于平面電路。

自測題4-1電路如圖4-9所示，已知網(wǎng)孔方程是

300I1-200I2=3

-100I1+400I2=0

則CCVS的控制系數(shù)r=

Ω。

(Ａ)100(Ｂ)-100(Ｃ)50(Ｄ)-50

自測題4-2

在圖4-10所示電路中，網(wǎng)孔方程為

120I1-20I2=US11

R21I1+60I2=70

則R21＝

Ω。

(Ａ)0(Ｂ)20

(Ｃ)-22

(Ｄ)-20圖4-9自測題4-1的電路圖4-10自測題4-2的電路4.2.3網(wǎng)孔分析的直觀方法

在前面對如何列寫電路的網(wǎng)孔方程進行了討論，能不能用比較簡捷的方法直接對電路列寫網(wǎng)孔方程呢？下面就討論這個問題。以三個網(wǎng)孔的電路為例，網(wǎng)孔方程可以寫成一般的形式：

R11IL1+R12IL2+R13IL3=US11

R21IL1+R22IL2+R23IL3=US22

R31IL1+R32IL2+R33IL3=US33(4-20)

網(wǎng)孔方程也可以寫成矩陣形式：

(4-21)或簡寫成

RIL=US

(4-22)

其中，R為電阻矩陣；

IL為網(wǎng)孔電流列向量；US為電壓源列向量。

各元素的意義如下。

Rii：稱為自電阻，在電阻矩陣R的對角線上，始終為正，等于第i網(wǎng)孔的電阻之和。

Rij=Rji：稱為互電阻，等于第i網(wǎng)孔與第j網(wǎng)孔之間的電阻之和。正負由相鄰網(wǎng)孔電流的方向而定。相鄰兩網(wǎng)孔方向一致，取正號，否則取負號。

USii：等于第i網(wǎng)孔的電壓源電壓升的代數(shù)和。

實際上，只要找出電阻矩陣R和電壓源列向量US中的相關元素，就可以列出網(wǎng)孔方程。

【例4-7】

用直觀法列寫如圖4-11所示電路中的網(wǎng)孔電流方程。

解設三個網(wǎng)孔電流如圖所示，根據(jù)上述的規(guī)則列寫網(wǎng)孔方程。

自電阻：

R11=1+5+2=8Ω，R22=6+5+3=14Ω，R33=2+3+4=9Ω

互電阻：

R12=R21=-5Ω，R13=R31=-2Ω，R23=R32=-3Ω圖4-11例4-7的電路電壓源向量：

US11=3V，US22=-8V，US33=29V

寫成矩陣形式為

對于只含電壓源的電路，用直觀法列寫方程是十分方便的，并且電阻矩陣是對稱的。如果電路中含有受控源，則電阻矩陣將不再是對稱的了。4.3.1節(jié)點分析的一般方法

在電路中任意選一個節(jié)點為參考點，其余的每一個節(jié)點到參考點的電壓降，就稱為這個節(jié)點的節(jié)點電壓。4.3節(jié)點分析法顯然，一個具有n個節(jié)點的電路有n-1個節(jié)點電壓。

如圖4-12所示的電路，選好參考點后有兩個節(jié)點電壓Un1、Un2。節(jié)點電壓與支路電流的關系為

(4-23)圖4-12說明節(jié)點方程的電路以圖4-12所示電路為例，列寫節(jié)點方程。

對節(jié)點１，應用KCL，有

(4-24)

對節(jié)點2，應用KCL，有

(4-25)

對式(4-24)、式(4-25)整理可得

(4-26)節(jié)點分析的步驟：

(1)設參考節(jié)點和節(jié)點電壓。

(2)對每個節(jié)點應用KCL列寫電流方程，用歐姆定律求含有節(jié)點電壓的支路電流。

(3)化簡并求解節(jié)點方程，從而獲得節(jié)點電壓。

【例4-8】

電路如圖4-13所示，求各支路電流。

解設參考節(jié)點和節(jié)點電壓如圖4-13所示。

對節(jié)點1，有

化簡得

(4-27)圖4-13例4-8的電路

對節(jié)點2，有

化簡得

(4-28)對式(4-27)、式(4-28)聯(lián)立求解，可得

U1=1.5V，U2=-3V

所以，支路電流為

圖4-14例4-9的電路

【例4-9】

電路如圖4-14所示，求節(jié)點電壓U1、U2和U3。

解設參考節(jié)點和節(jié)點電壓如圖4-14所示。

對節(jié)點1，應用KCL，有

用4乘上式兩邊，合并有

3U1-2U2-U3=12

(4-29)對節(jié)點2，應用KCL，有用8乘上式兩邊，合并有

-4U1+7U2-U3=0

(4-30)

對節(jié)點3，應用KCL，有

控制量與節(jié)點電壓的關系為，用8乘上式兩邊，合并有

-6U1+9U2-3U3=0

(4-31)

聯(lián)立求解式(4-29)、式(4-30)、式(4-31)，可得節(jié)點電壓為

U1=4.8V，U2=2.4V，U3=-2.4V

此題說明，如果電路中含有受控源，則節(jié)點方程必須附加適當?shù)募s束方程。4.3.2節(jié)點分析的特殊方法

如果電路中含有理想電壓源支路，應用KCL列寫節(jié)點方程就會有問題。因為流過電壓源的電流是不定的，即它的端電流要由外電路決定。因此，用KCL列寫沿節(jié)點的電流方程就行不通了。列寫節(jié)點方程的方法就要有所改變，這就是要討論的節(jié)點分析的特殊方法。

有兩種方法可以解決這個問題。第一種方法是增設未知量，即在電壓源兩端設定一個未知

電流，對每個節(jié)點應用KCL列寫電流方程，然后將電壓源與節(jié)點電壓的關系考慮進去，這種方法是未知量的個數(shù)增加，電路方程增加，比較麻煩。

第二種方法是“超節(jié)點”分析法，這是較好的方法。即用含有公共電壓源的兩個節(jié)點來構造一個“超節(jié)點”，該電壓源位于超節(jié)點的內部，這樣存在電壓源的地方就減少了一個節(jié)點。如果電壓源與電路的參考點連接，那么它所在的節(jié)點就不必列方程，因為節(jié)點電壓就是電壓源的電壓。這樣處理后，可以對電路中的節(jié)點或超節(jié)點應用KCL列方程。電路如果含有理想電壓源支路，可采用超節(jié)點法。位于兩個節(jié)點之間的每一個電壓源形成一個“超節(jié)點”。對超節(jié)點構成的封閉面可以應用KCL列方程。圖4-15例4-10的電路

【例4-10】

電路如圖4-15所示，用節(jié)點分析法求電路中的電流I1~I4。

解電路含有兩個理想電壓源，10V電壓源與參考點連接，不列方程。與5V電壓源相連的節(jié)點2與3構成超節(jié)點，如圖中陰影部分所示。

對超節(jié)點，應用KCL，有

I1+I4=I2+I3即

化簡后可得

3U2+2U3=36

電壓源與節(jié)點電壓的關系為

U2-U3=5解之可得節(jié)點電壓為

U2=9.2V，U3=4.2V

各支路電流為

【例4-11】

對例4-2的電路重畫如圖4-16所示，用節(jié)點分析法求電路中的電流I0。

解根據(jù)超節(jié)點的形成規(guī)則，有兩個理想電壓源或受控電壓源與參考點連接，因此形成一個大的超節(jié)點，如圖中陰影部分所示。

對節(jié)點1應用KCL，有

圖4-16例4-11的電路用節(jié)點電壓表示控制量，有

10I0=24-U1

或U1=24-10I0

上式變?yōu)?/p>

于是，解得

I0=1.5A

顯然，此題用節(jié)點方程求解要簡單得多。

【例4-12】

求如圖4-17所示的節(jié)點電壓。

解節(jié)點1、2形成超節(jié)點，節(jié)點3、4形成超節(jié)點。

對超節(jié)點1-2，應用KCL，有

對超節(jié)點3-4，應用KCL，有

圖4-17例4-12的電路化簡上式有

5U1+U2-U3-2U4=60

4U1+2U2-5U3-16U4=0

還需要兩個方程，由電壓源與節(jié)點電壓的關系，得

U1-U2=20，U3-U4=3Ux=3(U1-U4)聯(lián)立求解以上四個方程，可得

U1=26.667V，U2=6.667V，U3=173.333V，U4=-46.667V值得注意的是，節(jié)點分析法不僅適用于平面電路還適用于非平面電路。

自測題4-3

電路如圖4-18所示，已知節(jié)點電壓方程是

5U1-3U2=2

-U1+5U2=0則VCCS的控制系數(shù)g=

。

(Ａ)1Ｓ(Ｂ)-1Ｓ(Ｃ)2Ｓ(Ｄ)-2Ｓ圖4-18自測題4-3的電路

自測題4-4

在圖4-19所示電路中，各節(jié)點的電位分別為U1、U2、U3，則節(jié)點②的KCL方程為()+0.5I+2=0，括號中應為

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)3(U2-U1)(Ｄ)3(U1-U2)

自測題4-5

電路如圖4-20所示，由節(jié)點分析法可求得U＝

。

(Ａ)

0V(Ｂ)8V(Ｃ)20V(Ｄ)40V圖4-19自測題4-4的電路圖4-20自測題4-5的電路*4.3.3節(jié)點分析的直觀方法

在前面對如何列寫電路的節(jié)點方程進行了討論，能不能用比較簡捷的方法直接對電路列寫節(jié)點方程呢？下面就討論這個問題。

以三個節(jié)點的電路為例，節(jié)點方程可以寫成一般的形式：

G11Un1+G12Un2+G13Un3=IS11

G21Un1+G22Un2+G23Un3=IS22

G31Un1+G32Un2+G33Un3=IS33(4-32)節(jié)點方程也可以寫成矩陣形式：

或簡寫成

GUn=IS

(4-33)其中，G為電導矩陣；Un為節(jié)點電壓列向量；IS為等效電流源列向量。

各元素的意義如下。

Gii：稱為自電導，在電導矩陣G的對角線上，始終為正，等于與第i節(jié)點相連的所有電導之和。

Gij=Gji：稱為互電導，等于第i節(jié)點與第j節(jié)點之間的電導之和，始終為負。

ISii：等于與第i節(jié)點相連的電流源或等效電流源的代數(shù)和，電流流入節(jié)點為正。

實際上，只要找出電導矩陣G和電流源列向量IS中的相關元素，就可以列出節(jié)點方程。

【例4-13】用直觀法列寫圖4-21所示電路中的節(jié)點電壓方程。

解設參考節(jié)點和三個節(jié)點電壓如圖所示，根據(jù)上述的規(guī)則列寫節(jié)點方程。

自電導：圖4-21例4-13的電路

互電導：

G12=G21=-0.5S

G13=G31=-0.5S

G23=G32=-0.25S

電流源向量：

寫成矩陣形式為

對于不含理想電壓源支路的電路，用直觀法列寫方程是十分方便的，并且電導矩陣是對稱的。如果電路中含有受控源，則電阻矩陣將不再是對稱的了。

*4.3.4彌爾曼定理

對于單節(jié)點電路，如圖4-22所示。只有一個獨立節(jié)點，故只要列一個節(jié)點方程。圖4-22單節(jié)點電路對圖中上面的節(jié)點列KCL方程，有

(4-34)

整理可得

(4-35)所以

(4-36)

對于一般電路，可以歸納成一般公式

(4-37)式中，為與該節(jié)點相連的所有電流源代數(shù)和，電流方向流入節(jié)點為正；為與該節(jié)點相連的所有等效電流源代數(shù)和，電壓正極指向節(jié)點為正；為與該節(jié)點相連的所有電導之和，即自電導。

以上就是彌爾曼定理的內容。式(4-37)對求解單節(jié)點電路非常有用。

【例4-14】

電路如圖4-23所示，求開關S打開和閉合時的A點電位UA。

解電路只有一個獨立節(jié)點，應用彌爾曼定理計算。圖4-23例4-14的電路當S打開時，由公式(4-37)得

當S閉合時，由公式(4-37)得

自測題4-6

分析不含受控源的正電阻網(wǎng)絡，得到下列節(jié)點電導矩陣Gn，其中肯定錯誤的為

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自測題4-7

如圖4-24所示電路，節(jié)點１的自電導G11

＝

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

自測題4-8

如圖4-25所示電路，A點的電位UA＝

。圖4-24自測題4-7的電路圖4-25自測題4-8的電路4.4.1運算放大器及其等效電路

運算放大器簡稱運放，是集成電路技術制作的一種多端電子器件。最初使用運算放大器電路時，把它作為模擬計算機中的模塊。之所以稱作“運算”，是因為它用在實現(xiàn)積分、微分、加法、符號變換和比例等數(shù)學運算中。近年來運放的應用遠遠超出了這個范圍，被廣泛應用于自

動控制系統(tǒng)、計算機及檢測裝置中。雖然運算放大器有多種型號，各種型號的運算放大器的內部電路不盡相同，不過從電路分析的角度來看，關心的僅僅是器件的外部特性，這樣運算放大器可用圖4-26所示的符號表示。4.4含運放電路的節(jié)點分析圖4-26運算放大器的外觀引腳與電路符號圖4-26(a)是雙列直排式運放的外部引腳圖，每個端子的名稱在端子旁邊給出，我們主要關心的端子有：反相輸入、同相輸入、輸出、正電源、負電源。其余三個端子不重要，端子1、5是用于運放的外部調零以對運放進行平衡或補償。端子8處NC代表沒有連接。

圖4-26(b)是運放的電路符號，包含了五個主要關心的端子。有時為了簡單起見，兩個電源端子被省略。運放要工作必須接電源，圖4-27(a)是典型的運放雙電源的供電方式。雖然在畫電路圖時，電源經常被省略，但由電源提供的功率是不可忽略的。由KCL得

io=i1+i2+iC++iC-

圖4-27運算放大器的供電與傳輸特性圖4-27(b)是對運算放大器實驗測得的輸入-輸出特性。由特性曲線可見：

(1)輸入電壓為ui=u+-u-，當ui<-e或ui>e時，輸出電壓趨于飽和，保持恒定值UCC和-UCC。這是由于運算放大器內部晶體管的非線性特性造成的。

(2)當-e<ui<e時，特性曲線為經過原點的直線，表明輸出電壓隨輸入電壓的增加而線性增加。設直線的斜率為A，則uo=Aui

。A稱為開環(huán)放大倍數(shù)。工作在線性工作區(qū)的運放性能的等效電路如圖4-28所示。其中，Ri稱為運放的輸入電阻；Ro稱為運放的輸出電阻。表4-1是運放參數(shù)的典型值。圖4-28運算放大器的等效電路表4-1運算放大器的典型參數(shù)4.4.2理想運算放大器的特點

作為電路元件的運算放大器，是實際運算放大器的理想化模型，理想條件包括：

?

開環(huán)放大倍數(shù)A=∞。實際運放的電壓放大倍數(shù)的典型值為2×105或更大。

?

輸入電阻Ri=∞。實際運放的輸入電阻的典型值在2×106Ω以上。

?

輸出電阻Ro=0。實際運放的輸出電阻的典型值在50～100Ω之間。

根據(jù)這些理想條件，可得出理想運放的如下特性：

?

由于A=∞，所以運放的輸出電壓uo總為有限值，

可得：

ui=0，即u+=u-，稱為“虛短路”。

?

由于Ri=∞，兩輸入端的電流為0，即i+=i-=0，稱為“虛斷路”。

?

由于Ro=0，因此輸出特性與電壓源相似，由uo=Aui

無法計算，而應通過運放外部連接的電路來進行計算。4.4.3節(jié)點分析

節(jié)點分析特別適用于含運放的電路。在理想運放的情況下，請注意以下規(guī)則：

(1)輸出端設節(jié)點，但不列該節(jié)點的方程；

(2)列寫節(jié)點方程時，運用運放的“虛短”和“虛斷”兩條規(guī)則。

含運放的簡單電路一般運用運放的兩條規(guī)則計算就行了；含運放的復雜電路采用節(jié)點法分析比較方便。

【例4-15】

設圖4-29所示電路中的運放均為理想的，試求出各電路的輸出電壓值。

解

(1)由于理想運放的輸入電壓為零，即“虛短”，即運放的輸入端為等電位，均為零電位。A點電位為2V。再由于理想運放的輸入電流為零，即“虛斷”，即有2V電壓源中無電流，兩個電阻中的電流相同，同串聯(lián)一樣看待。從電路中可知，10kΩ電阻上的電壓就是2V。那么，20kΩ電阻上的電壓就是4V。所以，輸出電壓為

uo=2+4=6V圖4-29例4-15的電路

(2)由于“虛短”，即運放的輸入端為等電位，故A點電位為2V。再由于“虛斷”，兩個電阻中的電流相同，同串聯(lián)一樣看待。從電路中可知，10kΩ電阻上的電壓就是2V，那么，20kΩ電阻上的電壓就是4V。所以，輸出電壓為

uo=2+4=6V

(3)由于“虛短”，即運放的輸入端為等電位，故A點電位為2V。再由于“虛斷”，兩個電阻中的電流相同，同串聯(lián)一樣看待。從電路中可知，10kΩ電阻上的電壓就是2-1=1V，那么，20kΩ電阻上的電壓就是2V。所以，輸出電壓uo=2+2=4V

【例4-16】

在圖4-30所示電路中的運放是理想的。

(1)如果ui1=1V，ui2=0，計算uo。

(2)如果ui1=1V，ui2=2V，計算uo。

(3)如果ui1=1.5V，為了避免放大器飽和，確定ui2的范圍。圖4-30例4-16的電路

解可以假定運放工作在線性區(qū)，在反相輸入端，即節(jié)點1列寫節(jié)點方程，注意到理想運放的兩條規(guī)則，有由“虛短”得

u1=ui2

由“虛斷”得

i1=i2所以

即

uo=5ui2-4ui1

(1)當ui1=1V，ui2=0時，uo=-4V。

由于uo處于±10V之間，因此運放工作在線性區(qū)。

(2)當ui1=1V，ui2=2V時，uo=6V。

由于uo處于±10V之間，因此運放工作在線性區(qū)。

(3)當ui1=1.5V時，有

uo=5ui2-4×1.5所以

如果運放工作在線性工作區(qū)，則-10V≤uo≤10V。將這些對uo的限制代入上式，可得到ui2的限制范圍是

-0.8V≤ui2≤3.2V

【例4-17】

圖4-31所示電路的運放是理想的，求電壓比。圖4-31例4-17的電路

解設節(jié)點1、2，輸出端設節(jié)點uo，但不列節(jié)點方程，如圖4-31所示。

對節(jié)點1，應用KCL，有

對節(jié)點2，應用KCL，有對以上方程進行整理，可得

應用運放規(guī)則：un1=0，uo1=un2，代入上式，可解得：

【例4-18】

圖4-32所示電路的運放是理想的，求電壓比。

解設節(jié)點1、2，輸出端設節(jié)點uo，但不列節(jié)點方程，如圖4-32所示。圖4-32例4-18的電路對節(jié)點1，應用KCL，有

對節(jié)點2，應用KCL，有

對以上方程進行整理，可得應用運放規(guī)則：un1=0，代入上式，可解得

自測題4-9

圖4-33所示電路的運放是理想的，則電壓比uo/ui=

。

(A)(B)(C)(D)

自測題4-10

圖4-34所示電路的運放是理想的，則電壓比uo/ui=

。

(A)

(B)

(C)

(D)

自測題4-11

圖4-35所示電路的運放是理想的，則輸出電壓uo=

。圖4-33自測題4-9的電路圖4-34自測題4-10的電路圖4-35自測題4-11的電路4.5.1關聯(lián)矩陣和KCL、KVL的矩陣形式

電路圖是電路拓撲結構的抽象描述，若圖中每一支路都標上參考方向，則它成為有向圖。

有向圖的拓撲性質可以用關聯(lián)矩陣來描述。

關聯(lián)矩陣是表示支路與節(jié)點關系的矩陣。圖4-36是電路的有向圖，有6條支路、4個節(jié)點。關聯(lián)矩陣用A表示，元素ajk定義為

+1，支路k與節(jié)點j關聯(lián)，方向背向節(jié)點

-1，支路k與節(jié)點j關聯(lián)，方向指向節(jié)點

0，支路k與節(jié)點j無關聯(lián)*4.5節(jié)點列表法ajk=圖4-36說明關聯(lián)矩陣的圖

如圖4-35的關聯(lián)矩陣為

A的每一行對應一個節(jié)點，每一列對應一條支路。設電路的支路電流列向量

I=［I1

I2

I3

I4

I5

I6］T

將關聯(lián)矩陣A與支路電流列向量相乘，有

支路123456節(jié)點A＝AI＝即

AI=0(4-38)

式(4-38)就是KCL矩陣形式。設支路電壓

U=［U1

U2

U3

U4

U5

U6］T

節(jié)點電壓列向量

Un=［Un1

Un2

Un3］T

所以，有

U=ATUn

(4-39)

式(4-39)就是KVL矩陣形式，表示支路電壓與節(jié)點電壓的關系。4.5.2節(jié)點列表法電路方程的推導

列表法采用一種新形式的支路方程，首先規(guī)定一個元件為一條支路，即

對于電阻支路有Uk=RkIk

對于電導支路有Ik=GkUk

對于VCVS支路有Uk=μkjUj

對于VCCS支路有Ik=gkjUj

對于CCVS支路有Uk=rkjIj

對于CCCS支路有Ik=βkjIj

對于獨立電壓源支路有Uk=USk

對于獨立電流源支路有Ik=ISk

對于整個電路可以寫出如下形式的支路方程

FU+HI=US+IS

(4-40)

式中，U=［U1

U2

…

Ub］T、I=［I1

I2

…

Ib］T分別為待求的支路電壓和支路電流的列向量，F(xiàn)和H均為b階方陣，US和IS分別為b階電壓源列向量和電流源列向量。下面分幾種情況討論。

?

當電路中無受控源時，F(xiàn)、H都是對角陣，它們的元素為

對于電導支路有：Fkk=Gk，Hkk=-1;對于電阻支路有：Fkk=-1，Hkk=Rk。

?

當電路中有VCVS和VCCS時，F(xiàn)是非對角陣，H仍是對角陣，它們的元素為

對于VCVS支路有：Fkk=+1，F(xiàn)kj=-μkj，Hkk=0;對于VCCS支路有：Fkk=0，F(xiàn)kj=-gkj，Hkk=+1。

?

當電路中有CCVS和CCCS時，F(xiàn)是對角陣，H仍是非對角陣，它們的元素為

對于CCVS支路有：Fkk=+1，Hkj=-rkj，Hkk=0;

對于CCCS支路有：Fkk=0，Hkj=-βkj，Hkk=+1。

?

當電路中有獨立電壓源支路時，F(xiàn)kk=+1，Hkk=0。

?

當電路中有獨立電流源支路時，F(xiàn)kk=0，Hkk=+1設節(jié)點電壓Un也為待求量，用關聯(lián)矩陣A表示的KCL、KVL以及支路方程如下：

KCLAI=0

KVLU-ATUn=0

支路方程FU+HI=US+IS

將這三個方程合并，便得到節(jié)點列表方程矩陣形式：

(4-41)在式(4-41)中，1b為b階的單位矩陣。由于A為(n-1)×b矩陣，F(xiàn)和H均為b階方陣，故方程總數(shù)為(2b+n-1)。從以上分析可知，節(jié)點列表方程即式(4-37)主要是支路方程中的F和H，而這兩個方陣的填寫如同填寫表格一樣，故稱為列表法。在本書的附錄C中，給出了用節(jié)點列表法形成電路方程的MATLAB通用分析程序，用該程序可以計算任意復雜的直流電路。

MATLAB最適合用來求解電路方程，這里介紹以下兩種方法。

1.矩陣除法

矩陣除法是MATLAB從逆矩陣的概念引申而來，用函數(shù)inv可以求逆矩陣。設方程D*X=B，X為未知矩陣，在等式兩端同時左乘inv(D)，即

inv(D)*D*X=inv(D)*B

有

X=inv(D)*B=D＼B*4.6電路方程的計算機解上式稱為“左除”。左除的條件是：兩矩陣的行數(shù)必須相等。

如例4-13的節(jié)點方程為

用MATLAB求解，命令如下：

>>Y=［2-0.5-0.5；-0.51.25-0.25；-0.5-0.251］；

I=［70-11］；U=Y＼I′

U=

0.0370

-2.2963

-11.5556

所以，U1=0.037V，U2=-2.2963V，U3=-11.5556V。

2.任意方程組的解

對于電路方程，也可以用solve()函數(shù)求解，如例4-12列寫的節(jié)點方程為

四個方程四個未知量，用MATLAB求解，命令如下：>>［U1，U2，U3，U4］=solve(′(U3-U2)/6+10=(U1-U4)/3+U1/2′，′(U3-U2)/6+U3/4+U4=(U1-U4)/3′，′U1-U2=20′，′U3-U4=3*(U1-U4)′)

U1=

80/3

U2=

20/3

U3=

520/3

U4=

-140/3以上數(shù)據(jù)是符號表達式，還可以將這些數(shù)據(jù)化成任意精度的數(shù)值，如

>>vpa(［U1，U2，U3，U4］，5)

ans=［26.667，6.6667，173.33，-46.667］

即有

U1=26.667V，U2=6.667V，U3=173.333V，

U4=-46.667V

3.用通用直流程序計算

用附錄給出的通用直流電路分析程序DCAN1可以計算任意復雜的直流電路，以例4-12為例，先給電路的節(jié)點、支路編號，并設定每一支路的方向，如圖4-37所示。然后按要求(見附錄)寫出電路的拓撲結構和元件值作為輸入數(shù)據(jù)矩陣，編寫程序DLLT4_12.m。圖4-37例4-12電路的圖

dcan1(4，8，tp)tp=在命令窗口運行如下:

>>dllt4_12

在命令窗口顯示結果為

>>節(jié)點電壓

ans=

26.66676.6667173.3333-46.6667

支路電壓

ans=

26.6667-6.666720.0000-166.6667173.3333

220.0000-46.666773.3333支路電流

ans=

13.333310.0000-37.7778-27.777843.3333-71.1111-46.666724.4444

支路功率

ans=

1.0e+004*

0.0356-0.0067-0.07560.46300.7511-1.56440.2178

0.1793功率總和

zP=

1.1369e-012

可見，與理論計算結果完全一致。用此方法可以計算、檢驗較復雜的直流電路。

?

電路分析的2b方法是電路方程的基礎，支路電流法和支路電壓法由此產生。但是支路分析法的未知量太多，進一步改進，減少未知量，便產生了網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法。?

網(wǎng)孔分析法也稱網(wǎng)孔電流法，是以網(wǎng)孔電流為未知量，方程數(shù)目為b-(n-1)，其中b是含未知電流支路的數(shù)目，n是節(jié)點的數(shù)目。網(wǎng)孔電流用來求支路電流。本章小結如果采用網(wǎng)孔分析法，首先確定該網(wǎng)絡是否為平面網(wǎng)絡。

·

對每個網(wǎng)孔，指定一個網(wǎng)孔電流及參考方向?！?/p>

如果電路只包含電壓源，沿每個網(wǎng)孔應用KVL。

·

如果電路包含電流源，對位于兩個網(wǎng)孔之間的每個電流源建立一個超網(wǎng)孔，然后沿每個網(wǎng)孔和超網(wǎng)孔應用KVL。

節(jié)點分析法也稱節(jié)點電壓法，是以節(jié)點電壓為未知量，方程數(shù)目為n，其中n是基本節(jié)點的數(shù)目。節(jié)點電壓用來求支路電流。采用節(jié)點分析法。

·

選取其中一個節(jié)點作為參考節(jié)點，然后標出節(jié)點電壓，這些節(jié)點電壓實際上是節(jié)點對參考點的電位。

·

如果電路只包含電流源，對各非參考節(jié)點應用KCL。

·

如果電路包含電壓源，分別對各個電壓源構造一個超節(jié)點，然后對所有的非參考節(jié)點和超節(jié)點應用KCL。

用直觀法列寫網(wǎng)孔方程和節(jié)點方程，可以更加簡捷、準確地確定電路方程。這要求理解和掌握自電阻、互電阻以及自電導、互電導的概念，并且要熟悉列寫方程的規(guī)則。彌爾曼定理適用于只有一個獨立節(jié)點的電路，對于支路多的電路十分有效。

對于一個平面電路，是采用網(wǎng)孔分析法還是節(jié)點分析法，應該選擇可以得到最少的聯(lián)立方程個數(shù)的方法。如果兩種方法的方程個數(shù)一樣多，則要看未知量。因為節(jié)點分析法直接給出節(jié)點電壓，而網(wǎng)孔分析法是直接給出網(wǎng)孔電流，同時還要比較方程的系數(shù)的難易程度，這也關系到解方程的難易。

理想運放的模型基于以下近似：開環(huán)增益A無限大，輸入電阻