《電路分析基礎(chǔ)》課件第11章

11.1頻率特性和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

11.2RC電路的頻率特性

11.3RLC串聯(lián)諧振

11.4GCL并聯(lián)諧振

11.5練習(xí)題及解答提示

習(xí)題11第11章電路的頻率特性11.1.1頻率特性與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義

當(dāng)電路中包含儲能元件時，由于感抗和容抗是頻率的函數(shù)，從而使得不同頻率的正弦信號作用于電路時，即使激勵信號的振幅和初相相同，電路響應(yīng)的振幅與初相也是不同的。這種電路響應(yīng)隨激勵頻率變化而變化的特性稱為電路的頻率特性或頻率響應(yīng)。11.1頻率特性和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在電路分析中，電路的頻率特性用正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來描述，其定義為正弦穩(wěn)態(tài)電路的響應(yīng)相量與激勵相量之比，即

上式中并未對信號的頻率ω加以限制，說明H(jω)是頻率ω的函數(shù)，故網(wǎng)絡(luò)函數(shù)又被稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。H(jω)反映了電路自身的特性，僅由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與外加激勵無關(guān)。(11-1)

一般情況下，H(jω)是ω的復(fù)函數(shù)，可寫成極坐標(biāo)形式

H(jω)=|H(jω)|∠θ(ω)(11-2)

式中：|H(jω)|是ω的實函數(shù)，反映了電路響應(yīng)與激勵振幅的比值(或有效值的比值)隨ω變化的關(guān)系，稱為電路的幅頻特性；θ(ω)也是ω的實函數(shù)，反映了電路響應(yīng)與激勵的相位差隨ω變化的關(guān)系，稱為電路的相頻特性。幅頻特性和相頻特性總稱為電路的頻率特性。習(xí)慣上常把|H(jω)|和θ(ω)隨ω變化的情況用曲線來表示，分別稱為幅頻特性曲線和相頻特性曲線。11.1.2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的分類

根據(jù)響應(yīng)與激勵對應(yīng)關(guān)系的不同，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有多種不同的具體含義。

當(dāng)響應(yīng)與激勵在電路的同一端口時，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為策動點函數(shù)。它又分為策動點阻抗與策動點導(dǎo)納，分別如圖11-1(a)和(b)所示。圖11-1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的六種不同形式如圖11-1(a)所示，策動點阻抗為

如圖11-1(b)所示，策動點導(dǎo)納為

顯然，策動點阻抗與策動點導(dǎo)納即為電路的輸入阻抗和輸入導(dǎo)納。

當(dāng)響應(yīng)與激勵在電路的不同端口時，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)或傳輸函數(shù)。它又分為轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、轉(zhuǎn)移電壓比(或電壓傳輸系數(shù))及轉(zhuǎn)移電流比(或電流傳輸系數(shù))四種，分別如圖11-1(c)、(d)、(e)和(f)所示。

如圖11-1(c)所示，轉(zhuǎn)移阻抗為

如圖11-1(d)所示，轉(zhuǎn)移導(dǎo)納為

如圖11-1(e)所示，轉(zhuǎn)移電壓比為

如圖11-1(f)所示，轉(zhuǎn)移電流比為

在這四類轉(zhuǎn)移函數(shù)中，響應(yīng)電壓指開路電壓，而響應(yīng)電流指短路電流。11.1.3網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的計算方法

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)取決于網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。已知網(wǎng)絡(luò)相量模型，計算網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的方法是外加電源法：在輸入端加一個電壓源或電流源，用正弦穩(wěn)態(tài)分析的任一種方法求輸出相量的表達式，然后根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義將輸出相量與輸入相量相比，得到相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。由RC元件按各種方式組成的電路能起到選頻和濾波的作用，在通信與無線電技術(shù)中得到廣泛的應(yīng)用。本節(jié)介紹幾種常用的RC電路的頻率特性。11.2RC電路的頻率特性11.2.1RC低通網(wǎng)絡(luò)

圖11-2所示電路為最簡單的RC串聯(lián)電路，為激勵電壓相量，為響應(yīng)電壓相量，則電路的轉(zhuǎn)移電壓比為

圖11-2RC低通網(wǎng)絡(luò)

式中，具有頻率的量綱。為了分析方便，不妨令

，則有

(11-3)由式(11-3)可得其幅頻特性和相頻特性分別為:

由式(11-4)和式(11-5)可知：隨ω從0到∞變化，當(dāng)ω=0時，|KU(jω)|＝1，θ(ω)=0；當(dāng)時，

，；當(dāng)ω→∞時，|KU(jω)|→

0，。由此可作出其幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖11-3(a)、(b)所示。(11-4)(11-5)圖11-3RC低通網(wǎng)絡(luò)的頻率特性由圖11-3(a)所示幅頻特性曲線易知，對于該RC電路，在輸入電壓幅度一定的情況下，信號頻率越高，輸出電壓越小，也即直流和低頻信號更容易通過該網(wǎng)絡(luò)，因此這種RC電路被稱為低通網(wǎng)絡(luò)。由于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)KU(jω)表達式中jω的最高階數(shù)為1，故又稱為一階低通網(wǎng)絡(luò)。工程技術(shù)中認(rèn)為，輸出信號幅度大于最大輸出信號幅度的時，信號能順利通過該網(wǎng)絡(luò)，小于最大輸出信號幅值的時，信號不能順利通過該網(wǎng)絡(luò)。另外，定義輸出信號幅度等于最大輸出信號幅度的所對應(yīng)的頻率為通帶與阻帶的分界點，稱為截止角頻率，用ωC表示。由以上分析可知，對于一階RC低通網(wǎng)絡(luò)而言，當(dāng)ω<ωC時，其輸出信號幅度大于最大輸出信號幅度的，故把0~ωC的頻率范圍稱為一階RC低通網(wǎng)絡(luò)的通頻帶；當(dāng)ω>ωC時，其輸出信號幅度小于最大輸出信號幅度的

，故把ω>ωC的頻率范圍稱為一階RC低通網(wǎng)絡(luò)的阻帶；當(dāng)時，其輸出信號幅度等于最大輸出信號幅度的，故把頻率稱為一階RC低通網(wǎng)絡(luò)的截止角頻率。又由于網(wǎng)絡(luò)的輸出功率與輸出電壓(或電流)的平方成正比，當(dāng)ω=ωC時，網(wǎng)絡(luò)輸出功率是最大輸出功率的一半，因此又稱ωC為半功率點頻率。

RC低通網(wǎng)絡(luò)可以濾除電路中的高頻分量，因此被廣泛應(yīng)用于整流電路和檢波電路中，用以濾除電路中的交流高頻分量。11.2.2RC高通網(wǎng)絡(luò)

若將圖11-2所示RC串聯(lián)電路的電阻電壓作為輸出電壓，如圖11-4所示，則電路的轉(zhuǎn)移電壓比為

圖11-4RC高通網(wǎng)絡(luò)令，則有

(11-6)由式(11-6)可得其幅頻特性和相頻特性分別為：

由式(11-7)和式(11-8)可知：隨ω從0到∞變化，當(dāng)ω＝0時，|KU(jω)|=0，；當(dāng)時，

，；當(dāng)ω→∞時，|KU(jω)|→1，θ(ω)→0。由此可作出其幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖11-5(a)、(b)所示。(11-7)(11-8)圖11-5RC高通網(wǎng)絡(luò)的頻率特性顯然，此RC電路為一階高通網(wǎng)絡(luò)。

為截止角頻率或半功率點頻率；ω>ωC的頻率范圍為通頻帶；0~ωC的頻率范圍為阻帶。這一電路常用作電子電路放大器級間的RC耦合電路。

與RC串聯(lián)電路相似，由RL串聯(lián)而成的電路通過選擇不同的輸出點亦可分別構(gòu)成高通和低通網(wǎng)絡(luò)。這一結(jié)論可直接由RC和RL電路的對偶特性得出，在此不再贅述。

11.2.3RC帶通網(wǎng)絡(luò)

圖11-6為RC帶通網(wǎng)絡(luò)，其轉(zhuǎn)移電壓比為

(11-9)圖11-6RC帶通網(wǎng)絡(luò)

由式(11-9)可得其幅頻特性和相頻特性分別為：

(11-11)(11-10)其幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖11-7(a)、(b)所示。由幅頻特性曲線可知，當(dāng)時，為最大，且電路對頻率在ω0附近的信號有較大的輸出，因而該網(wǎng)絡(luò)具有帶通濾波的作用。一般ω0稱為中心頻率，并且對于帶通網(wǎng)絡(luò)可求得兩個截止角頻率，由式(11-10)可求得圖11-6所示RC帶通網(wǎng)絡(luò)的下截止角頻率和上截止角頻率。圖11-6所示RC帶通網(wǎng)絡(luò)常用作RC低頻振蕩器中的選頻電路(文氏電橋)，以產(chǎn)生不同頻率的正弦信號。圖11-7RC帶通網(wǎng)絡(luò)的頻率特性11.2.4RC帶阻網(wǎng)絡(luò)

圖11-8為RC帶阻網(wǎng)絡(luò)，其轉(zhuǎn)移電壓比為

由式(11-12)可得其幅頻特性和相頻特性分別為：

(11-12)(11-13)其幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖11-9(a)、(b)所示。由幅頻特性曲線可知，電路對頻率在附近的信號有較大的衰減，因而網(wǎng)絡(luò)具有帶阻濾波的作用。

(11-14)

圖11-8RC帶阻網(wǎng)絡(luò)

圖11-9RC帶阻網(wǎng)絡(luò)的頻率特性11.2.5RC全通網(wǎng)絡(luò)(移相網(wǎng)絡(luò))

圖11-10為RC全通網(wǎng)絡(luò)，其轉(zhuǎn)移電壓比為

(11-15)圖11-10RC全通網(wǎng)絡(luò)

由式(11-15)可得其幅頻特性和相頻特性分別為：

|KU(jω)|=1(11-16)

θ(ω)=－2arctan(ωCR)(11-17)

其幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖11-11(a)、(b)所示。由圖11-11可知，所有頻率的信號都以相同的增益通過該電路，且不隨頻率變化，而相移隨頻率從0°～180°變化。故該電路又稱為RC移相網(wǎng)絡(luò)。圖11-11RC全通網(wǎng)絡(luò)的頻率特性電路諧振是在特定條件下出現(xiàn)在電路中的一種現(xiàn)象。對一個端口的電路，若出現(xiàn)了其端口電壓與端口電流同相的現(xiàn)象，則說明此電路發(fā)生了諧振。能發(fā)生諧振的電路稱為諧振電路，而使諧振發(fā)生的條件稱為諧振條件。11.3RLC串聯(lián)諧振在電子和無線電工程中，經(jīng)常要從許多電信號中選取出我們所需要的電信號，同時把不需要的電信號加以抑制或濾除，為此需要一個選擇電路，即諧振電路。另一方面，在電力工程中，有可能由于電路中出現(xiàn)諧振而產(chǎn)生某些危害，例如過電壓或過電流。所以對諧振電路的研究，無論是從利用方面，還是從限制其危害方面來看，都有重要意義。本節(jié)討論RLC串聯(lián)諧振，下節(jié)討論GCL并聯(lián)諧振。11.3.1RLC串聯(lián)諧振條件和諧振頻率

圖11-12所示RLC串聯(lián)電路，設(shè)其激勵為振幅和初相不變而頻率可變的正弦電壓，則電路的策動點阻抗可表示為

由于感抗、容抗均為頻率的函數(shù)，故在式(11-18)中，電抗X、阻抗模|Z|、阻抗角θZ均為ω的函數(shù)。圖11-13給出了電抗X、阻抗模|Z|隨ω變化的曲線。(11-18)

圖11-12RLC串聯(lián)諧振電路

圖11-13RLC串聯(lián)電路的X—ω和|Z|—ω曲線由圖可見，當(dāng)ω從0向∞變化時，由于XL和XC隨頻率變化的特性不同，使得總電抗X從－∞向+∞變化，電抗由容性變?yōu)楦行?。?dāng)ω=ω0這一特定角頻率時，感

抗等于容抗，電抗為0，即有

(11-19)

此時阻抗Z(jω)=Z0=R,為純電阻且|Z(jω)|最小，端口電流，電流與激勵電壓同相，電路呈純電阻性。RLC電路在正弦穩(wěn)態(tài)下所呈現(xiàn)的這種特殊工作狀態(tài)稱為諧振。由于這種諧振發(fā)生在RLC串聯(lián)電路中，因此稱為串聯(lián)諧振，相應(yīng)的電路就稱為RLC串聯(lián)諧振電路。顯然，式(11-19)是RLC串聯(lián)諧振電路發(fā)生串聯(lián)諧振的條件。使電路發(fā)生串聯(lián)諧振的頻率稱為串聯(lián)諧振頻率。由式(11-19)可得，電路發(fā)生諧振的角頻率和頻率分別為：

(11-20)

(11-21)式(11-20)和式(11-21)表明，電路的諧振頻率僅與電路本身的元件參數(shù)L、C有關(guān)，與電阻R無關(guān)。故ω0(或f0)稱為電路的固有頻率。顯然，只有當(dāng)激勵信號的頻率與電路的固有頻率一致時，電路才發(fā)生諧振。由此可見，通過以下兩種方法可使電路發(fā)生諧振：

(1)若諧振電路LC一定，則可通過改變激勵信號頻率，使激勵信號頻率等于電路的固有頻率，從而使電路發(fā)生諧振；

(2)若激勵信號頻率一定，則可通過調(diào)L或C(通常改變C)的值，改變電路的固有頻率，從而使電路對某個所需頻率發(fā)生諧振，這種操作方法稱為調(diào)諧。例如，收音機選電臺就是一種常見的調(diào)諧操作。11.3.2RLC串聯(lián)諧振電路的特性阻抗與品質(zhì)因數(shù)

串聯(lián)諧振時，電路的感抗XL0等于容抗XC0，且均不為零。通常將此時的感抗和容抗稱為串聯(lián)諧振電路的特性阻抗，并用字母ρ表示，即

由式(11-22)可以看出，特性阻抗ρ僅由串聯(lián)電路的元件參數(shù)L、C決定，與其它因數(shù)無關(guān)，其單位為Ω。(11-22)在工程中，通常用電路的特性阻抗與電路的電阻值之比來表征諧振電路的性質(zhì)，并將此比值稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，用字母Q表示，即

由式(11-23)可以看出，品質(zhì)因數(shù)Q是僅由串聯(lián)電路的元件參數(shù)R、L和C決定的無量綱的常數(shù)。(11-23)11.3.3RLC串聯(lián)諧振時的電路特性

為了強調(diào)諧振特性，相關(guān)變量附加“0”下標(biāo)。

1.RLC串聯(lián)諧振時電路的阻抗與導(dǎo)納

諧振時，RLC串聯(lián)諧振電路的阻抗與導(dǎo)納分別為：

Z0=R+jX=R=|Z|min(11-24)

(11-25)

即此時阻抗和導(dǎo)納為純電阻，且阻抗達到阻抗模的最小值，導(dǎo)納達到導(dǎo)納模的最大值。

2.諧振時各元件的電流與電壓

諧振時，電路中的電流為

(11-26)

由于諧振時電路的阻抗達到阻抗模的最小值，且為純電阻，故此時電流不僅與激勵電壓同相，而且達到電流模的最大值。串聯(lián)諧振時各元件上的電壓分別為：

(11-29)(11-27)(11-28)此時電容與電感上的電壓相量之和為

式(11-28)和式(11-29)表明，當(dāng)電路諧振時，電感上電壓和電容上電壓大小相等，均為激勵的Q倍，且相位相反。式(11-27)和式(11-30)表明，當(dāng)電路諧振時，L、C串聯(lián)部分對外相當(dāng)于短路，與激勵之間沒有能量的交換，故此時激勵電壓全部施加在電阻兩端，如圖11-14所示。通信與無線電技術(shù)中的串聯(lián)諧振電路，一般情況下，R<<ρ,Q值可達幾十到幾百,因此,諧振時電感或電容上的電壓可達激勵電壓的幾十到幾百倍。所以，串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。RLC串聯(lián)諧振時，電壓、電流相量圖如圖11-15所示。

(11-30)圖11-14RLC串聯(lián)電路諧振時的相量模型圖圖11-15RLC串聯(lián)電路諧振時的相量圖在無線電技術(shù)中，串聯(lián)諧振電路的典型應(yīng)用是作為接收機的輸入回路，它可將微弱而不同頻率的電臺信號，從天線經(jīng)過耦合，在電感上感應(yīng)出比輸入電壓高得多的電壓信號。需要指出的是，在電力系統(tǒng)中，由于電壓較高，故需避免因串聯(lián)諧振而引起的過電壓損壞電氣設(shè)備。

3.諧振時電路的功率與能量關(guān)系

設(shè)RLC串聯(lián)電路中，諧振時瞬時電流為

則電容電壓瞬時值為

電感電壓瞬時值為

電感和電容吸收的功率分別為：

由式(11-31)和式(11-32)可以看出，諧振時任何時刻電感和電容吸收的瞬時功率大小相等，相位相反，即電感和電容吸收的總瞬時功率為零，pL0(t)+pC0(t)=0。這說明，電感和電容與電壓源和電阻之間沒有能量交換，電壓源發(fā)出的功率全部為電阻吸收，即ps(t)=pR(t)。(11-31)(11-32)電感和電容的瞬時儲能分別為：

兩電抗元件的瞬時儲能之和為

(11-33)(11-34)(11-35)由式(11-33)、式(11-34)和式(11-35)可以看出，諧振時電路總儲能在任何瞬間恒為常數(shù)，表明電路諧振時儲能元件與激勵源間確無能量交換，存在的只是電容與電感間的電磁能量的相互轉(zhuǎn)換。

諧振時，一個周期內(nèi)電阻上消耗的能量為

一個周期內(nèi)，電路中儲存的能量與其消耗的能量之比為

得品質(zhì)因數(shù)Q從能量角度的定義為

由上式可以進一步看出，電路的Q值實質(zhì)上描述了諧振時電路的儲能與耗能之比。11.3.4RLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性

諧振電路中的電流、電壓、阻抗、導(dǎo)納等物理量隨電源角頻率ω變化的函數(shù)關(guān)系，稱為諧振電路的頻率特性。研究電路頻率特性的目的在于進一步研究諧振電路的頻率選擇性和通頻帶問題。

1.電路導(dǎo)納和電流的頻率特性

圖11-12所示電路中的電流為

(11-36)電路的導(dǎo)納為

(11-37)由于、Y0均為常量，故有

若取為自變量，為電路的頻率特性，則電路的品質(zhì)因數(shù)Q將唯一地影響頻率特性曲線的形狀，具有通用性。故取隨頻率變化的特性稱為串聯(lián)諧振電路的頻率特性。(11-38)其幅頻特性為

相頻特性為

相應(yīng)的諧振曲線如圖11-16(a)、(b)所示，并把幅頻特性曲線稱為串聯(lián)諧振電路的諧振曲線。(11-39)(11-40)圖11-16不同Q值下RLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性由圖11-16可知，當(dāng)ω=ω0即電路諧振時，|H(jω)|最大，相移為零；當(dāng)ω偏離ω0即失諧時，|H(jω)|逐漸減小而趨于0，相移絕對值增大而趨于。當(dāng)ω<ω0時，相移為正，電路呈容性；當(dāng)ω>ω0時，相移為負(fù)，電路呈感性。Q值越大，諧振曲線的峰越尖銳，諧振點附近的曲線越陡峭，相頻特性在ω=ω0處斜率越大。由以上分析可知，串聯(lián)諧振電路對不同頻率的信號具有不同的響應(yīng)且具有帶通濾波器的特性。在諧振點附近響應(yīng)較大，而偏離諧振點則響應(yīng)逐漸減小，即對偏離諧振頻率的信號有抑制作用，不易通過。諧振電路所具有的選出所需信號而抑制不需要信號的能力稱為電路的選擇性。由諧振曲線可知，電路Q值越大，諧振曲線越尖銳，電路對偏離諧振頻率的信號的抑制能力越強，電路的選擇性越好。但如果Q值太高，則會造成一部分所需傳輸?shù)闹饕l率成分被削弱而產(chǎn)生失真，因此，從這方面考慮Q值不宜太高。為了保證諧振電路所能通過的信號頻率有一定的范圍，工程上通常將|H(jω)|曲線上所對應(yīng)的頻率范圍定義為電路的通頻帶或帶寬。如圖11-16(a)所示，ωC1~

ωC2所對應(yīng)的頻率范圍即為Q=10時串聯(lián)諧振電路的通頻帶，其中ωC1為下截止角頻率，ωC2為上截止角頻率。若用BW表示通頻帶，則根據(jù)通頻帶的概念，由式(11-39)可得

即

可以解得

所以有:

因此，串聯(lián)諧振電路的通頻帶為

(11-41)或

可見，通頻帶BW與品質(zhì)因數(shù)Q成反比關(guān)系，Q值越高，電路的選擇性越好，但通頻帶越窄。

將分別代入式(11-41)和式(11-42)，可以得到通頻帶的另一種表示形式：

(11-42)(11-43)或

式(11-41)、式(11-42)、式(11-43)和式(11-44)又稱為諧振回路的絕對通頻帶，表示了諧振回路通頻帶的絕對寬度。通常稱

為相對通頻帶。(11-44)(11-45)

2.電壓頻率特性

由圖11-12得，RLC串聯(lián)諧振電路中電阻電壓的頻率特性為

與式(11-38)比較可知，其頻率特性與的相同。(11-46)電容電壓的頻率特性為

(11-47)電感電壓的頻率特性為

(11-48)利用求極值的方法可求得

(11-49)(11-50)由式(11-49)、式(11-50)可知，當(dāng)時,UC、UL均無峰值。時出現(xiàn)峰值，且電容電壓和電感電壓的最大值不在諧振點上，但隨Q值的增大，出現(xiàn)|HL(jω)|和|HL(jω)|最大值時的頻率越來越靠近諧振頻率ω0，當(dāng)Q值較大，即Q≥10時，可以認(rèn)為ωCmax≈ω0≈ωLmax，且實際使用的串聯(lián)諧振電路都滿足這一條件。所以，通常認(rèn)為電流、電壓均在諧振頻率ω0處達到最大值。圖11-17畫出了時|HL(jω)|—ω和|HC(jω)|—ω的曲線。由圖可以看出，電容電壓、電感電壓具有帶通特性。圖11-17電壓傳輸幅頻特性

例11-1

RLC串聯(lián)諧振電路中，已知：R=10Ω，L=4mH，C=0.001μF，。試求電路中的ω0、Q、UL0、UC0、BW及I0。

解電源電壓有效值為

例11-2

RLC串聯(lián)諧振電路的電源有效值Us=10V，角頻率ω=5×103rad/s，調(diào)電容C，使電路發(fā)生諧振，這時I0=100μA，UC0=600V。試求電路的R、L、C及Q。

解

串聯(lián)諧振電路適用于信號源內(nèi)阻較小的情況。當(dāng)信號源內(nèi)阻很大時，串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)將很低，電路的諧振特性將變壞，這時宜采用并聯(lián)諧振電路。11.4GCL并聯(lián)諧振11.4.1GCL并聯(lián)諧振電路

圖11-18所示的GCL并聯(lián)諧振電路是與圖11-12所示的RLC串聯(lián)諧振電路相對偶的另一種形式的諧振電路。對于該諧振電路的特性，可由對偶原理從RLC串聯(lián)諧振電路的特性推導(dǎo)得出。圖11-18GCL并聯(lián)諧振電路

1.GCL并聯(lián)諧振條件和諧振頻率

圖11-18所示GCL并聯(lián)電路，設(shè)其激勵為振幅和初相不變而頻率可變的正弦電流，則電路的策動點導(dǎo)納可表示為

圖11-19給出了電納B、導(dǎo)納模|Y|隨ω變化的曲線。(11-51)圖11-19GCL并聯(lián)電路的B—ω

和|Y|—ω曲線由圖可見，當(dāng)ω從0向∞變化時，總電納B從－∞向+∞變化，電納由感性變?yōu)槿菪浴．?dāng)ω=ω0這一特定角頻率時，感納等于容納，電納為0，即有

此時導(dǎo)納Y(jω)=Y0=G為純電導(dǎo)，且|Y(jω)|最小，端口電壓，電壓與激勵電流同相，電路呈純電阻性。此時GCL并聯(lián)電路處于諧振狀態(tài)，稱為并聯(lián)諧振，相應(yīng)的電路就稱為GCL并聯(lián)諧振電路。顯然式(11-52)是GCL并聯(lián)諧振電路發(fā)生并聯(lián)諧振的條件。(11-52)由式(11-52)可得并聯(lián)諧振頻率為

(11-53)

或

(11-54)

2.GCL并聯(lián)諧振電路諧振時的電路特性

并聯(lián)諧振時，電路的感納和容納為

(11-55)

品質(zhì)因數(shù)Q為

(11-56)導(dǎo)納與阻抗分別為：

Y0=G+jB=G=|Y|min(11-57)

(11-58)

諧振時，并聯(lián)諧振電路的電壓為

(11-59)

顯然，此時電壓不僅與激勵電流同相，而且達到電壓模的最大值。

(11-60)(11-61)(11-62)此時電容與電感上的電流相量之和為

式(11-61)、式(11-62)和式(11-63)表明，當(dāng)電路諧振時，電感電流和電容電流大小相等，均為激勵的Q倍，且相位相反而相互抵消。故諧振時L、C并聯(lián)部分對外相當(dāng)于開路，與激勵之間沒有能量的交換，故此時激勵電流全部施加在電導(dǎo)上，如圖11-20所示。由于并聯(lián)諧振時IC0=IL0=QIs，故并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。GCL并聯(lián)諧振時的電壓、電流相量圖如圖11-21所示。(11-63)圖11-20GCL并聯(lián)電路諧振時的相量模型圖圖11-21GCL并聯(lián)電路諧振時的相量圖

3.GCL并聯(lián)諧振時的頻率特性

圖11-18所示電路中電壓為

(11-64)電路中的阻抗為

由于、Z0均為常量，故有

(11-65)(11-66)比較式(11-66)與(11-38)可以發(fā)現(xiàn)，這兩套公式在形式上一致，故RLC串聯(lián)諧振曲線同樣可用于GCL并聯(lián)諧振，區(qū)別是縱軸表示的物理量不同。顯然，并聯(lián)諧振電路同樣具有帶通濾波的特性，其通頻帶的定義及計算公式與串聯(lián)諧振電路相同。

并聯(lián)諧振電路的通頻帶為

(11-67)或

(11-68)

相應(yīng)地通頻帶的另一種表示形式為

(11-69)

(11-70)11.4.2實際并聯(lián)諧振電路

實際的并聯(lián)諧振電路是由電感線圈和電容器并聯(lián)組成的，電容器的損耗極小，可以忽略不計，電感線圈的損耗電阻r是不可忽略的?？紤]以上特點，實際的并聯(lián)諧振電路的電路模型可用圖11-22(a)所示電路表征。圖11-22實際的并聯(lián)諧振電路圖11-22(a)所示電路的策動點導(dǎo)納為

當(dāng)式(11-71)中的虛部B=0時，電路發(fā)生并聯(lián)諧振，即

(11-71)由此得電路的諧振頻率為

由式(11-72)可以看出，一般情況下諧振頻率與電路參數(shù)r、L和C均有關(guān)，且當(dāng)時，ω0為虛數(shù)，表示電壓和電流不可能同相,故電路不發(fā)生諧振；當(dāng)時，ω0為實數(shù)，電路才可能發(fā)生諧振。通常情況下在通信和無線電技術(shù)中，線圈損耗電阻r很小，即在諧振頻率附近滿足，因此諧振頻率為(11-72)

諧振頻率附近導(dǎo)納等效為(11-73)(11-74)由式(11-74)可得實際的并聯(lián)諧振電路的等效電路如圖11-22(b)所示。其中:

顯然，當(dāng)時，圖11-22(a)所示的實際并聯(lián)諧振電路改用等效電路圖11-22(b)后分析較為方便。實際并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)為

電路的諧振阻抗為

(11-75)(11-76)前面介紹了RLC串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振，若將串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的概念推廣，那么對于由多個電抗元件組成的諧振電路，一般來講，當(dāng)電路的策動點阻抗為零時，電路發(fā)生串聯(lián)諧振；當(dāng)電路的策動點導(dǎo)納為零時，電路發(fā)生并聯(lián)諧振。相應(yīng)的頻率分別稱為串聯(lián)諧振頻率和并聯(lián)諧振頻率。其中的特殊情況是，當(dāng)電路中全部電抗元件組成純電抗局部電路(支路)，且局部電路的阻抗為零時，該局部電路發(fā)生串聯(lián)諧振；局部電路的導(dǎo)納為零時，該局部電路發(fā)生并聯(lián)諧振。

例11-3

在圖11-23(a)所示電路中，已知：C=234pF，L=500μH，r=18Ω，Rs=RL=236kΩ，電流源電流is=

0.1cos(2π×465×103t)mA。試求：電路的諧振頻率f0、品質(zhì)因數(shù)Q、通頻帶BW和輸出電壓u(t)。

圖11-23例11-3題圖

解因為圖11-23(a)所示電路中

，故在諧振頻率附近,圖11-23(a)所示電路可等效為圖11-23(b)所示電路，其中:

電路的諧振頻率為由題意知,電路的激勵頻率與電路的固有頻率一致，因此此時電路處于諧振狀態(tài)。

整個電路的等效電阻為

R=Rs∥RL∥R0=236∥236∥118=59kΩ

電路的品質(zhì)因數(shù)為

通頻帶為

電路的輸出電壓為

u=Ris=59×103×0.1×10－3×cos(2π×465×103t)

=5.9cos(2π×465×103t)V

例11-4

圖11-24所示電路中，L=10mH，試求C1和C2為何值時，才能使電源頻率為100kHz時流經(jīng)RL的電流為零，而電源頻率為50kHz時流經(jīng)RL的電流為最大。

圖11-24例11-4題圖

解

ad為純電抗支路，當(dāng)Yad=0也即Yab=0時，C1、L發(fā)生并聯(lián)諧振，a、b端相當(dāng)于開路，流經(jīng)RL的電流為零。由ω0并可求得：

由題意得，當(dāng)Zad=0時，流經(jīng)RL的電流最大，此時C1、C2、L發(fā)生串聯(lián)諧振，a、d端相當(dāng)于短路，即

解上式可得

將f0串=50kHz以及C1和L的值代入上式，得

1.圖11-25所示電路是由電阻R與電感L串聯(lián)組成的。如果以為輸入相量，為輸出相量，試求電路的轉(zhuǎn)移電壓比和截止角頻率，并大致畫出其幅頻特性曲線，判斷電路性質(zhì)。

提示：根據(jù)阻抗的分壓關(guān)系，求兩個電壓比，從而得到頻率響應(yīng)及幅頻特性，可從幅頻特性判斷出電路的性質(zhì)。

［一階低通網(wǎng)絡(luò)］11.5練習(xí)題及解答提示圖11-25

2.RLC串聯(lián)電路，已知C=200pF，L=20mH，R=

100Ω，正弦電壓源電壓有效值U=10V。試求：電路的諧振頻率f0、品質(zhì)因數(shù)Q及諧振時的UC0和UL0。

提示：本題可直接利用RLC串聯(lián)諧振電路的諧振條件、諧振時的電路特點加以求解。

［f0=79.6kHz,Q=100,UC0=UL0=1000V］

3.若RLC串聯(lián)電路的輸出電壓取自電容，則該電路具有帶通、高通、低通三種性質(zhì)中的哪一種？

提示：本題可根據(jù)RLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性分析判斷。

［帶通］

4.RLC并聯(lián)諧振電路的|Z|—ω特性曲線如圖11-26所示，試求R、L、C之值。

提示：這是一個RLC并聯(lián)諧振電路，當(dāng)電路達到諧振時，電路阻抗為純電阻且阻抗模達到最大值，故圖11-26所示阻抗諧振曲線的最高點所對應(yīng)頻率f0應(yīng)為諧振頻率；最高點所對應(yīng)的阻值即為并聯(lián)諧振電路的并聯(lián)電阻；所對應(yīng)的頻率點為上、下截止角頻率；f1、f2所對應(yīng)的頻率范圍為通頻帶。

［R＝10Ω，L=0.005H，C=0.5F］圖11-26

5.電路如圖11-27所示，已知,ωL1=ωL2=10Ω,ωM=6Ω,ω=106rad/s。求C為何值時，此時？

提示：這是一個含有耦合電感的諧振電路。在求電路響應(yīng)前，可先對電路進行去耦等效，然后根據(jù)諧振電路的諧振條件及諧振時的電路特點進行分析，從而求得所求響應(yīng)。

［C=0.1μF，］圖11-27

6.求圖11-28所示電路的串聯(lián)諧振及并聯(lián)諧振頻率的表達式。

提示：本題是由多個電抗元件組成的諧振電路，當(dāng)電路的策動點阻抗為零時，電路發(fā)生串聯(lián)諧振，從而可求得串聯(lián)諧振頻率表達式；當(dāng)電路的策動點導(dǎo)納為零時，電路發(fā)生并聯(lián)諧振,從而可求得并聯(lián)諧振頻率表達式。

圖11-28

11-1試求題圖11-1所示電路的轉(zhuǎn)移電壓比，并畫出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

題圖11-1習(xí)題11

11-2試求題圖11-2所示電路的電流傳輸函數(shù)、截止角頻率和通頻帶。

題圖11-2

11-3試求題圖11-3所示相移網(wǎng)絡(luò)在頻率f=50Hz時u2對u1的相移。

題圖11-3

11-4RLC串聯(lián)電路，電源電壓

，當(dāng)C=8μF時，電路吸收的功率最大，Pmax=100W。求L和Q。

11-5RLC串聯(lián)諧振電路，已知L=160μH，C=250pF,R=10Ω，電源電壓Us=1V。試求f0、Q、BW、