《電工基礎(chǔ)》課件第3章

技能訓(xùn)練七RC一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)研究技能訓(xùn)練八RC一階電路的零輸入響應(yīng)研究

3.1線性動(dòng)態(tài)電路及換路定律3.2電路初始值與穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算3.3一階電路的零輸入響應(yīng)3.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)3.5一階電路的全響應(yīng)和三要素法3.6微分電路與積分電路3.7一階電路的階躍響應(yīng)小結(jié)

習(xí)題三

1.訓(xùn)練目的

(1)加深對(duì)一階電路動(dòng)態(tài)過程的理解。

(2)掌握用示波器等儀器測試一階電路動(dòng)態(tài)過程的方法。2.原理說明

1)零狀態(tài)響應(yīng)

訓(xùn)練圖7-1所示為RC充、放電電路。電容的初始電壓為零。t=0時(shí)，開關(guān)S合至1，電源向電容充電，則電容電壓uC和充電電流i分別為技能訓(xùn)練七RC一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)研究訓(xùn)練圖7-1RC充、放電電路其中τ=RC。

uC和i隨時(shí)間變化的一階零狀態(tài)響應(yīng)曲線如訓(xùn)練圖7-2所示。t=4.6τ時(shí)，uC=99%US，，可認(rèn)為充電過程已結(jié)束，電路進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。訓(xùn)練圖7-2一階零狀態(tài)響應(yīng)曲線

2)RC電路的矩形脈沖響應(yīng)

將訓(xùn)練圖7-3所示的矩形脈沖電壓接到RC電路兩端，在

內(nèi)，u=U，電路的工作情況相當(dāng)于在t=0時(shí)RC電路被接通到直流電源的充電過程。在內(nèi)，u=0，電路的工作情況相當(dāng)于在

時(shí)的放電過程。如果τ=RC<<T，電容的充電和放電過程均在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)全部完成，以后出現(xiàn)的則是多次重復(fù)的連續(xù)過程，用示波器可以將uC連續(xù)變化的波形顯示出來。訓(xùn)練圖7-3RC電路輸入方波的波形3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)電路板1塊

(2)雙束示波器1臺(tái)

(3)方波發(fā)生器1臺(tái)

(4)單刀雙擲開關(guān)1只

4.訓(xùn)練內(nèi)容

(1)實(shí)訓(xùn)電路如訓(xùn)練圖7-4所示。選擇方波的頻率為1kHz，幅值為4V，電路參數(shù)為R=5kΩ、C=0.02μF、r=1Ω。使方波的半周期T/2與時(shí)間常數(shù)RC保持約5︰1的關(guān)系。

(2)調(diào)解示波器的有關(guān)旋鈕，使屏幕上顯示穩(wěn)定的uC和i的波形，并把波形描繪出來。

確認(rèn)RC充電過程。訓(xùn)練圖7-4

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)要嚴(yán)格遵守實(shí)訓(xùn)規(guī)程和安全操作規(guī)程。

(2)注意電解電容器的正負(fù)極性。

6.思考題

(1)示波器的使用應(yīng)注意哪些方面？

(2)如何判斷RC電路充電過程已結(jié)束？

(3)如何理解零狀態(tài)響應(yīng)？

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)定性畫出RC電路充、放電波形。

(2)將測量數(shù)據(jù)與計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。1.訓(xùn)練目的

(1)加深對(duì)一階電路動(dòng)態(tài)過程的理解。

(2)掌握用示波器等儀器測試一階電路動(dòng)態(tài)過程的方法。

(3)學(xué)習(xí)測定一階電路時(shí)間常數(shù)的方法。技能訓(xùn)練八RC一階電路的零輸入響應(yīng)研究

2.原理說明

1)零輸入響應(yīng)

技能訓(xùn)練電路仍如訓(xùn)練圖7-1所示，當(dāng)電容充電至電壓US時(shí)，將開關(guān)S合至2(計(jì)時(shí)開始，t=0)，RC電路便短接放電。電容電壓uC和放電電流i分別為

它們的曲線如訓(xùn)練圖8-1所示。i的實(shí)際方向與訓(xùn)練圖7-1中箭頭所標(biāo)的方向相反。訓(xùn)練圖8-1一階零輸入響應(yīng)的電壓和電流變化曲線

2)時(shí)間常數(shù)的測定

在電容充電過程中，t=τ時(shí)，uC=0.632US；在電容放電過程中，t=τ時(shí)，uC=0.368US

故由充、放電過程uC的曲線可測得時(shí)間常數(shù)τ。改變R和C的數(shù)值，也就改變了τ。若增大τ，充、放電過程變慢，過渡過程的時(shí)間增長；反之，則縮短。

3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)RC電路板1塊

(2)雙蹤示波器1臺(tái)

(3)方波發(fā)生器1臺(tái)

(4)單刀雙擲開關(guān)1只

4.訓(xùn)練內(nèi)容

(1)技能訓(xùn)練電路仍如訓(xùn)練圖7-4所示。選擇方波的頻率為1kHz，幅值為4V，電路參數(shù)為：R=5kΩ、C=0.02μF、r=1Ω。使方波的半周期T/2與時(shí)間常數(shù)RC保持約5︰1的關(guān)系。

(2)調(diào)節(jié)示波器的有關(guān)旋鈕，使屏幕上顯示穩(wěn)定的uC和i的波形，并把波形描繪出來。

確認(rèn)RC放電過程。

(3)改變電路的參數(shù)，使R分別等于500Ω和50kΩ，即分別使及，觀察uC和i的波形。

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)要嚴(yán)格遵守實(shí)訓(xùn)規(guī)程和安全操作規(guī)程。

(2)注意電解電容器的正負(fù)極性。

6.思考題

(1)示波器的使用應(yīng)注意哪些方面？

(2)如何控制RC電路放電過程的快慢？

(3)如何理解零輸入響應(yīng)？

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)定性畫出RC電路中電容元件放電過程的電壓、電流波形。

(2)將測量數(shù)據(jù)與計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。由于電路包含電感、電容等儲(chǔ)能元件，在電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)，電路中的電流和電壓的改變是有一定規(guī)律的。本章介紹有關(guān)動(dòng)態(tài)電路的一些基本概念：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)

響應(yīng)，全響應(yīng)，瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)，時(shí)間常數(shù)等。在此基礎(chǔ)上，研究由RC、RL組成的一階電路，總結(jié)出分析一階電路的一般方法——三要素法。3.1線性動(dòng)態(tài)電路及換路定律3.1.1線性電路動(dòng)態(tài)分析

含有動(dòng)態(tài)元件的電路稱之為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)元件是指描述其端口電壓、電流關(guān)系的方程是微分方程或積分方程的元件，前面學(xué)過的電容元件和電感元件以及即將學(xué)習(xí)的耦合電感元件等都是動(dòng)態(tài)元件。

動(dòng)態(tài)元件的一個(gè)特征就是當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)(例如電路中電源或無源元件的斷開或接入、信號(hào)的突然注入等)可能使電路從原來的工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)變到另

一個(gè)工作狀態(tài)，這種轉(zhuǎn)變往往需要經(jīng)歷一個(gè)過程，在工程上稱為過渡過程。上述電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化引起的電路變化統(tǒng)稱為換路。圖3-1-1動(dòng)態(tài)電路動(dòng)態(tài)電路與電阻電路重要的區(qū)別在于：電阻電路不存在過渡過程而動(dòng)態(tài)電路存在過渡過程。如圖3-1-1所示，當(dāng)閉合開關(guān)S時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)電阻支路的燈泡L1立即發(fā)光，且亮度不再變化，說明這一支路沒有經(jīng)歷過渡過程，立即進(jìn)入了新的穩(wěn)態(tài)；電感支路的燈泡L2由暗漸漸變亮，最后達(dá)到穩(wěn)定，說明電感支路經(jīng)歷了過渡過程；電容支路的燈泡L3由亮變暗直到熄滅，說明電容支路也經(jīng)歷了過渡過程。這是因?yàn)閯?dòng)態(tài)(儲(chǔ)能)元件換路時(shí)能量的儲(chǔ)存和釋放需要一定時(shí)間來完成。表現(xiàn)在：

(1)要滿足電荷守恒，即換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓(電荷)在換路前后保持不變。

(2)要滿足磁鏈?zhǔn)睾悖磽Q路瞬間，

若電感電壓保持有限值，則電感電流(磁鏈)在換路前后保持不變。3.1.2換路定律

通常我們認(rèn)為換路是在t=0時(shí)刻進(jìn)行的。為了敘述方便，把換路前的最終時(shí)刻記為t=0-，把換路后的最初時(shí)刻記為t=0+，換路經(jīng)歷的時(shí)間為0-到0+。

1.具有電感的電路

從能量的角度出發(fā)，由于電感電路換路的瞬間，能量不能發(fā)生躍變，即t=0+時(shí)刻，電感元件所儲(chǔ)存的能量為與t=0-時(shí)刻電感元件所儲(chǔ)存的能量相等，則有：

iL(0+)=iL(0-)

(3-1)

結(jié)論：在換路的一瞬間，電感中的電流應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變。

等效原則：在換路的一瞬間，流過電感的電流iL(0+)=iL(0-)=0，電感相當(dāng)于開路；iL(0+)=iL(0-)≠0，電感相當(dāng)于直流電流源，其電流的大小和方向與電感換路瞬間的電流的大小和方向一致。

2.具有電容的電路

從能量的角度出發(fā)，由于電容電路換路的瞬間，能量不能發(fā)生躍變，即t=0+時(shí)刻，電容元件所儲(chǔ)存的能量為與t=0-時(shí)刻電容元件所儲(chǔ)存的能量相等，則有：

uC(0+)=uC(0-)

(3-2)

結(jié)論：在換路的一瞬間，電容兩端的電壓應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變。

等效原則：在換路的一瞬間，電容兩端電壓uC(0+)=uC(0-)=0，電容相當(dāng)于短路；uC(0+)=uC(0-)≠0，電容相當(dāng)于直流電壓源，其電壓的大小和方向與電容換路瞬間的電壓的大小和方向一致。3.2.1電路初始值及其計(jì)算

換路后的最初一瞬間(即t=0+時(shí)刻)的電流、電壓值統(tǒng)稱為初始值。研究線性電路的過渡過程時(shí)，電容電壓的初始值uC(0+)及電感電流的初始值iL(0+)可按換路定律來確定。

其他可以躍變的量的初始值要根據(jù)uC(0+)、iL(0+)，應(yīng)用KVL、KCL和歐姆定律來確定。3.2電路初始值與穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算確定初始值的步驟為：

(1)根據(jù)換路前的電路，確定uC(0-)、iL(0-)；

(2)依據(jù)換路定則確定uC(0+)、iL(0+)；

(3)根據(jù)已求得的uC(0+)和iL(0+)，依據(jù)前述的等效原則，畫出t=0+時(shí)刻的等效電路；

(4)再根據(jù)等效電路，應(yīng)用KVL、KCL及歐姆定律來確定其他躍變量的初始條件。

例3-1

如圖3-2-1(a)所示電路，在開關(guān)閉合前t=0-時(shí)刻處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)刻開關(guān)閉合。求初始值iL(0+)、uC(0+)、u1(0+)、uL(0+)、iC(0+)。圖3-2-1例3-1圖

解

(1)開關(guān)閉合前t=0-時(shí)刻，電路是直流穩(wěn)態(tài)，于是求得

(2)開關(guān)閉合時(shí)t=0-時(shí)刻，由換路定則得

iL(0+)=iL(0-)=1.2A,uC(0+)=uC(0-)=7.2V

(3)根據(jù)上述結(jié)果，t=0+時(shí)的等效電路如圖3-2-1(b)所示，其節(jié)點(diǎn)電壓方程為

將iL(0+)=1.2A帶入上式，求得：

u1(0+)=2.4V

根據(jù)KVL、KCL求得：

uL(0+)=u1(0+)-uC(0+)=2.4-7.2=-4.8V

iC(0+)=iL(0+)-i2(0+)=iL(0+)-

=1.2-

=1.2-1.2=03.2.2電路穩(wěn)態(tài)值及其計(jì)算

換路后的最后時(shí)刻(即t=∞時(shí)刻)的電流、電壓值統(tǒng)稱為穩(wěn)態(tài)值。如果外施激勵(lì)是直流量，則穩(wěn)態(tài)值也是直流量，可將電容代之以開路，將電感代之以短路，按電阻性電路計(jì)

算。確定穩(wěn)態(tài)值的步驟如下：

(1)首先，做出換路后電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的等效電路(將電容代之以開路，將電感代之以短路)。

(2)然后，按電阻性電路的計(jì)算方法計(jì)算各穩(wěn)態(tài)值。

例3-2

在圖3-2-2(a)所示電路中，直流電壓源的電壓US=6V，直流電流源的電流IS=2A、R1=2Ω、R2=R3=1Ω、L=0.1H，求換路后的i(∞)和u(∞)。圖3-2-2例3-2圖

解換路后電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的等效電路如圖3-2-2(b)所示。由該電路可得

例3-3

圖3-2-3(a)所示電路中，US=9V、R1=2kΩ、R2=3kΩ、R3=4kΩ，開關(guān)閉合時(shí)，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，在t=0時(shí)將開關(guān)斷開，求換路后的和uC(∞)。圖3-2-3例3-3圖

解首先做出換路后電路達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)的等效電路，如圖3-2-3(b)所示。由該電路可得

只含有一個(gè)動(dòng)態(tài)(儲(chǔ)能)元件的電路稱為一階動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路中無外施激勵(lì)電源，僅由動(dòng)態(tài)(儲(chǔ)能)元件初始儲(chǔ)能的釋放所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)。3.3一階電路的零輸入響應(yīng)圖3-3-1RC電路的零輸入響應(yīng)3.3.1RC電路的零輸入響應(yīng)

在圖3-3-1所示電路中，開關(guān)S閉合前，電容C已充電，其電壓uC=uC(0-)。開關(guān)閉合后，電容儲(chǔ)存的能量將通過電阻以熱能形式釋放出來?，F(xiàn)把開關(guān)動(dòng)作時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)

(t=0)。開關(guān)閉合后，即t≥0+時(shí)，根據(jù)KVL可得：

uR-uC=0

(3-3)由于電流iC與uC參考方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)參考方向，則，又uR=RiC，代入

上述方程，有：

(3-4)

這是一階齊次微分方程，t=0+時(shí)，uC=uC(0+)=uC(0-)，求得滿足初始值的微分方程的解為

(3-5)這就是放電過程中電容電壓uC的表達(dá)式。

電容電流為

(3-6)

從以上表達(dá)式可以看出，電容電壓uC、電流iC都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。它們衰減的快慢取決于指數(shù)中1/RC的大小。

令

τ=RC

(3-7)τ稱為RC電路的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)電阻的單位為歐姆(Ω)，電容的單位為法(F)時(shí)，τ的單位為秒(s)。引入時(shí)間常數(shù)τ后，電容電壓uC和電流iC可以分別表示為

(3-8)

(3-9)時(shí)間常數(shù)τ的大小反映了一階電路過渡過程的進(jìn)展速度，它是反應(yīng)過渡過程特征的一個(gè)重要的量。通過計(jì)算可以得到表3-1。

從表3-1可見，經(jīng)過一個(gè)時(shí)間常數(shù)τ后，電容電壓uC衰減了63.2%，或?yàn)樵档?6.8%。在理論上要經(jīng)歷無限長的時(shí)間,uC才能衰減到零值。但工程上一般認(rèn)為換路后，經(jīng)過(3～5)τ的時(shí)間，過渡過程基本結(jié)束。表3-1時(shí)間常數(shù)τ=RC僅由電路的參數(shù)決定。在一定的uC(0+)下，當(dāng)R越大時(shí)，電路放電電流就越小，放電時(shí)間就越長；當(dāng)C越大時(shí)，儲(chǔ)存的電荷就越多，放大時(shí)間就越長。實(shí)際

中常通過選擇RC的值來控制放電時(shí)間的長短。

例3-4

供電局向某一企業(yè)的供電電壓為10kV，在切斷電源瞬間，電網(wǎng)上遺留的電壓為10

kV。已知送電線路長L=30km，電網(wǎng)對(duì)地絕緣電阻為500MΩ，電網(wǎng)的每千米分布電容為C0=0.08μF/km，問：

(1)拉閘后1min，電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多少？

(2)拉閘后10min，電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多少？

解電網(wǎng)拉閘后，儲(chǔ)存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過對(duì)地絕緣電阻放電，這是一個(gè)RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)問題。由題意知，長30km的電網(wǎng)總電容量為

C=C0L=0.08×30=0.24μF=2.4×10-7F

放電電阻為

R=500MΩ=5×108Ω

時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=5×108×2.4×10-7=120s電容上初始電壓為

在電容放電過程中，電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律為

故

由此可見，電網(wǎng)斷電，電壓并不是立即消失，此電網(wǎng)斷電經(jīng)歷了1min，仍有8.6kV的高壓，當(dāng)t=5τ=5×120=600s時(shí)，即在斷電10min時(shí)電網(wǎng)上仍有95.3V的電壓。3.3.2RL電路的零輸入響應(yīng)

在圖3-3-2所示電路中，開關(guān)S閉合前，電感中的電流已經(jīng)恒定不變，其電流iL=iL(0-)。開關(guān)閉合后，電感儲(chǔ)存的能量將通過電阻以熱能的形式釋放出來?，F(xiàn)把開關(guān)動(dòng)作時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)。開關(guān)閉合后，即t≥0+時(shí)，根據(jù)KVL可得：

uR+uL=0

(3-10)圖3-3-2RL電路由于電流iL與uL參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，則uL=L

，又uR=RiL，代入上述方程，有：

(3-11)

這是一階齊次微分方程，t=0+時(shí)，iL=iL(0+)=iL(0-)，求得滿足初始值的微分方程的解為(3-12)這就是放電過程中電感電流iL的表達(dá)式。

電感電壓為(3-13)從以上表達(dá)式可以看出，電感電壓uL、電流iL都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。它們的衰減的快慢取決于指數(shù)中R/L的大小。

令

τ=

(3-14)

τ稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)。上述各式可以寫為

iL(t)=iL(0+)

(3-15)

uL(t)=-RiL(0+)

(3-16)

例3-5

圖3-3-3所示是一臺(tái)300kW汽輪發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁回路。已知?jiǎng)?lì)磁繞組的電阻R=0.189Ω，電感L=0.398H，直流電壓U=35V。電壓表的量程為50V，內(nèi)阻RV=5kΩ。開關(guān)未斷開時(shí)，電路中電流已經(jīng)恒定不變。在t=0時(shí)，斷開開關(guān)。求：(1)電阻、電感回路的時(shí)間常數(shù)；

(2)電流i的初始值和開關(guān)斷開后電流i的最終值；

(3)電流i和電壓表處的電壓UV；

(4)開關(guān)斷開時(shí)，電壓表處的電壓。圖3-3-3例3-5圖

解

(1)時(shí)間常數(shù)為

τ=

=

=79.6μs

(2)開關(guān)斷開前，由于電流已恒定不變，電感L兩端電壓為零，故

i=

=

=185.2A

由于電感中電流不能躍變，電流的初始值iL(0+)=iL(0－)=185.2A。

(3)由iL(t)=iL(0+)可得：

i=185.2e-12560tA電壓表處的電壓

UV=-RVi=-5×103×185.2e-12560t=-926e-12560tkV

(4)開關(guān)斷開時(shí)，電壓表處的電壓為

UV(0+)=-926kV在這個(gè)時(shí)刻電壓表要承受很高的電壓，其絕對(duì)值遠(yuǎn)大于直流電源的電壓U，而且初始瞬間的電流也很大，可能損壞電壓表。由此可見，切斷電感電流時(shí)必須考慮磁場能量的

釋放。如果磁場能量較大，而又必須在短時(shí)間內(nèi)完成電流的切斷，則必須考慮如何熄滅因此而出現(xiàn)的電弧(一般出現(xiàn)在開關(guān)處)問題。零狀態(tài)響應(yīng)就是電路在零初始狀態(tài)下(動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能為零)由外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。3.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖3-4-1RC電路3.4.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

在圖3-4-1所示電路中，開關(guān)S閉合前，電路處于零初始狀態(tài)，其電壓uC=uC(0－)=0。

開關(guān)S閉合后，電路接入直流電壓源US。現(xiàn)把開關(guān)動(dòng)作時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)。開關(guān)閉合后，即t≥0+時(shí)，根據(jù)KVL可得：

uR+uC=US

(3-17)由于電流iC與uC參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，則iC=，又uR=RiC，代入上述方程，有：

RC

+uC=US

(3-18)

這是一階非齊次微分方程，US其實(shí)也是電容充滿電后的穩(wěn)態(tài)電壓UC(∞)。該微分方程的解為

uC(t)=US(1-

)=UC(∞)(1-

)

(3-19)這就是充電過程中電容電壓uC的表達(dá)式，其中，τ=RC。電容電流為

(3-20)

RC電路接通直流電壓源的過程也就是電源通過電阻對(duì)電容充電的過程。在充電過程中，電源供給的能量一部分轉(zhuǎn)換成電場能量儲(chǔ)存于電容中，一部分被電阻轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芟牡?。電阻消耗的電能為從上式可見，不論電路中電容C和電阻R的數(shù)值為多少，在充電過程中，電源提供的能量只有一半轉(zhuǎn)變成電場能量儲(chǔ)存于電容中，另一半則被電阻所消耗，也就是說，充電效率只有50%。

例3-6

在圖3-4-1所示電路中，已知US=200V，R=200Ω,C=1μF，電容事先未充電，在t=0時(shí)合上開關(guān)S。

(1)求時(shí)間常數(shù)和最大充電電流；

(2)求uC、uR和i的表達(dá)式及各自1ms時(shí)的值。

解

(1)時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=200×1×10-6=200μs最大充電電流為

電路穩(wěn)定時(shí)的uC(∞)為

uC(∞)=uS=220V

(2)uC、uR和i的表達(dá)式：

3.4.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

在圖3-4-2所示電路中，開關(guān)S閉合前，電感中沒有電流通過，其電流iL=iL(0－)=0。

開關(guān)閉合后，電感中的電流逐漸增大到一個(gè)恒定值?，F(xiàn)把開關(guān)動(dòng)作時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)。開關(guān)閉合后，即t≥0+時(shí)，根據(jù)KVL可得：

uR+uL=US

(3-21)圖3-4-2由于電流iL與uL參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiL，代入上述方程，有：

(3-22)

這是一階非齊次微分方程。是電感充滿電后的穩(wěn)態(tài)電流iL(∞)。該微分方程的解為

(3-23)這就是充電過程中電感電流iL的表達(dá)式，其中τ=L/R。電感電壓為

(3-24)

例3-7

圖3-4-3所示電路為一直流發(fā)電機(jī)電路的簡圖，已知?jiǎng)?lì)磁繞組R=20Ω，勵(lì)磁電感L=20H，外加電壓為US=200V。

(1)試求當(dāng)S閉合后，勵(lì)磁電流的變化規(guī)律和達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。

(2)如果將電源電壓提高到250V，求勵(lì)磁電流達(dá)到額定值所需要的時(shí)間。圖3-4-3例3-7圖

解

(1)這是一個(gè)RL串聯(lián)零狀態(tài)響應(yīng)的問題，可求得τ=L/R=20/20=1s，則

一般認(rèn)為當(dāng)t=(3~5)τ時(shí)過渡過程基本結(jié)束，取t=5τ=5s，則合上開關(guān)S后，電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需要的時(shí)間為5s，即認(rèn)為勵(lì)磁繞組的額定電流就等于其穩(wěn)態(tài)值10A。

(2)由上述計(jì)算知，勵(lì)磁電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)需要5s。為縮短勵(lì)磁時(shí)間常采用“強(qiáng)迫勵(lì)磁法”，就是在勵(lì)磁開始時(shí)提高電源電壓，當(dāng)勵(lì)磁電流達(dá)到額定值后，再將電壓調(diào)回到額定值。這種強(qiáng)迫勵(lì)磁所需要的時(shí)間t計(jì)算如下：

由額定電流值相等，得：

10=12.5(1-e-t)

解上式得：

t=1.6s

由此可見，采用電壓250V對(duì)勵(lì)磁繞組進(jìn)行勵(lì)磁要比電壓200V時(shí)所需的時(shí)間短，這樣就縮短了起勵(lì)時(shí)間，有利于發(fā)電機(jī)盡快進(jìn)入到正常工作狀態(tài)。3.5.1一階電路的全響應(yīng)

當(dāng)一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵(lì)時(shí)，電路的響應(yīng)稱為一階電路的全響應(yīng)。

在圖3-5-1所示電路中，開關(guān)S閉合前，電容已充電，其電壓uC=uC(0－)≠0。開關(guān)S閉合后，電路接入直流電壓源US?，F(xiàn)把開關(guān)動(dòng)作時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)。開關(guān)閉合后，即t≥0+時(shí)，根據(jù)KVL可得：

uR+uC=US

(3-25)3.5一階電路的全響應(yīng)和三要素法圖3-5-1RC一階電路由于電流iC與uC參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiC，代入上述方程，有：

(3-26)

這是一階非齊次微分方程，US其實(shí)也是電容達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的電壓uC(∞)，求得的微分方程的解為

(3-27)這就是電容電壓在t≥0+時(shí)的全響應(yīng)，其中，τ=RC。

可以看出，式(3-27)右邊的第一項(xiàng)是電路的零輸入響應(yīng)，右邊的第二項(xiàng)則是電路的零狀態(tài)響應(yīng)，這說明全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。即全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)將圖3-5-1所示一階電路的全響應(yīng)分解成零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)后，電路如圖3-5-2表示。圖3-5-2RC一階電路全響應(yīng)的分解對(duì)式(3-27)稍作變形，可進(jìn)一步化為

(3-28)

可以看出，式(3-28)右邊的第一項(xiàng)是恒定值，大小等于直流電壓源電壓，是換路后電容電壓達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的量，右邊的第二項(xiàng)取決于時(shí)間常數(shù)τ，隨著時(shí)間的增長按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零，是電容電壓瞬態(tài)的量，所以又常將全響應(yīng)看作是穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量的疊加，即

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+瞬態(tài)分量3.5.2一階電路的三要素法

無論是把全響應(yīng)分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，還是分解為穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量，都不過是從不同的角度去分析全響應(yīng)的。而全響應(yīng)總是由初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)分量f(∞)，

時(shí)間常數(shù)τ三個(gè)要素決定的。在直流電源激勵(lì)下，仿式(3-28)，則全響應(yīng)f(t)可寫為

f(t)=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］(3-29)由式(3-29)可以看出，若已知初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)分量f(∞)和時(shí)間常數(shù)τ三個(gè)要素，就可以根據(jù)式(3-29)直接寫出直流激勵(lì)下一階電路的全響應(yīng)，這種方法稱為三要素法。

而前面講述的通過求解微分方程的方式求得儲(chǔ)能元件響應(yīng)函數(shù)的方法稱為經(jīng)典法。兩種方法的對(duì)比見表3-2。表3-2三要素法簡單易算，特別是對(duì)于求解復(fù)雜的一階電路尤為方便。下面歸納出用三要素法解題的一般步驟：

(1)畫出換路前(t=0－)的等效電路，求出電容電壓uC(0－)或電感電流iL(0－)；

(2)根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)，求出響應(yīng)電壓u(0+)或電流i(0+)的初始值，即f(0+)；

(3)畫出t=∞時(shí)的穩(wěn)態(tài)電路(穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開路，電感元件相當(dāng)于短路)，求出穩(wěn)態(tài)下電壓響應(yīng)u(∞)或電流i(∞)，即f(∞)；

(4)求出電路的時(shí)間常數(shù)τ。τ=RC或L/R，其中R值是換路后斷開儲(chǔ)能元件C或L，直流電壓源相當(dāng)于短路，直流電流源相當(dāng)于斷路，由儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去，用戴維寧等效電路求得的等效內(nèi)阻。

例3-8

在圖3-5-3所示電路中，開關(guān)S斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)。已知US=20V，R1=R2=1kΩ，C=1μF。求開關(guān)打開后，uC和iC的解析式，并畫出其曲線。

解選定各電流電壓的參考方向如圖3-5-3所示。圖3-5-3例3-8圖因?yàn)閾Q路前電容上電流iC(0－)=0，故有

換路前電容上電壓為

uC(0－)=i2(0－)R2=10×10-2×1×103=10V

由于uC(0－)<US，因此換路后電容將繼續(xù)充電，其充電時(shí)間常數(shù)為

τ=R1C=1×103×1×10-6=10-3s=1ms電容充滿電后的穩(wěn)態(tài)電壓U(∞)=US=20V，將上述數(shù)據(jù)代入式(3-28)，得

uC、iC隨時(shí)間變化的曲線如圖3-5-4所示。圖3-5-4

uC、iC隨時(shí)間變化曲線

例3-9

圖3-5-5(a)所示電路中，t=0－時(shí)處于穩(wěn)態(tài)，設(shè)US1=38V，US2=20V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω，L=0.2H。求t≥0時(shí)，電流iL。

解由圖3-5-5(a)，計(jì)算換路前的電感電流：

圖3-5-5例3-9圖

由換路定律得：

iL(0+)=iL(0－)=1A

計(jì)算直流穩(wěn)態(tài)電流的電路如圖3-5-5(b)所示。

列網(wǎng)孔電流方程：

(R1+R2)i1-R2i2=US1-R2i1+(R2+R3)i2=-US2

求得：

i2=iL(∞)=0.44A令US1=US2=0，即直流電壓源等效為短路，而電感元件相當(dāng)于短路，根據(jù)戴維寧等效電路的原則畫出等效電阻Req

的電路如圖3-5-5(c)所示。其中，

則

由三要素法公式，得：iL(t)=iL(∞)+［iL(0+)-iL(∞)］=(0.44+0.56e-50t)A

例3-10

電路如圖3-5-6所示，US1=12V，US2=10V，R1=2kΩ，R2=2kΩ，C=10μF，開關(guān)S合在1端，電路處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時(shí)刻，開關(guān)S由1端合到2端，求換路后電路中各量的初始值及電容電壓的響應(yīng)uC(t)。圖3-5-6例3-10圖

解

(1)求初始值。當(dāng)開關(guān)S合在1端時(shí)

根據(jù)換路定律，當(dāng)S合到2端瞬間

uC(0+)=uC(0－)=6V

uR2(0+)=uC(0+)=6V

則

由基爾霍夫電壓定律可得

i1(0+)R1+uC(0+)+US2=0

則

(2)求穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)開關(guān)合到2端后，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)C相當(dāng)于開路。則

(3)求時(shí)間常數(shù)。電阻R為從C兩端看進(jìn)去的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻:

則時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=1×103×10×10-6=0.01s

由一階電路的三要素法可得

微分電路和積分電路是由電阻R和電容C構(gòu)成的兩個(gè)重要電路，這兩種電路處理的信號(hào)多為脈沖信號(hào)，通過選擇合適的時(shí)間常數(shù)可進(jìn)行脈沖整形和產(chǎn)生脈沖信號(hào)。

3.6.1微分電路

微分電路即輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的微分成正比的電路，一般可用于電子開關(guān)加速電路、整形電路和觸發(fā)信號(hào)電路中。其電路如圖3-6-1所示，當(dāng)R、C參數(shù)選擇合適時(shí)可以滿足微分電路的條件。3.6微分電路與積分電路圖3-6-1微分電路根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出方程

當(dāng)時(shí)，周期，

此時(shí)

(3-30)即輸出與輸入的微分成正比，其條件為τT(即要求電路的時(shí)間常數(shù)τ遠(yuǎn)小于方波信號(hào)的脈沖寬度T)。

微分電路可將矩形波轉(zhuǎn)化為如圖3-6-2所示的尖脈沖，尖脈沖常用做觸發(fā)器或晶閘管的觸發(fā)信號(hào)。

用微分電路構(gòu)成的放大器加速電容電路，可以加快三極管的導(dǎo)通和截止的轉(zhuǎn)換速度。圖3-6-2微分電路的波形變換3.6.2積分電路

積分電路即輸出與輸入的積分成正比的電路，這種電路可用于電視機(jī)的掃描電路中。

對(duì)如圖3-6-3所示的電路，根據(jù)基爾霍夫電壓定律可列方程

ui=uR+uo

其中

圖3-6-3積分電路則

當(dāng)時(shí)，周期,uRuo,此時(shí)

則

(3-31)

該電路為積分電路，即輸出與輸入的積分成正比。條件為τT，電路的時(shí)間常數(shù)τ遠(yuǎn)大于方波脈沖的寬度T。積分電路可以將矩形波轉(zhuǎn)化為如圖3-6-4所示的鋸齒波和三角波。

積分電路可構(gòu)成電視機(jī)場掃描電路中的場積分電路，此電路可在混合的同步信號(hào)中，取出場脈沖信號(hào)。微分電路與積分電路總結(jié)對(duì)比如下：

(1)微分電路與積分電路在電路形式上與前面介紹的電阻分壓電路相似，但是電路的工作原理和分析方法是不同的。(2)微分電路的輸出信號(hào)取自電阻R上，而積分電路的輸出信號(hào)取自電容C上。

(3)微分電路中，要求RC電路的時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于脈沖寬度，而積分電路則要求RC電路的時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)大于脈沖寬度。圖3-6-4積分電路的波形變換3.7.1階躍函數(shù)

階躍函數(shù)是動(dòng)態(tài)電路分析中常用的函數(shù)。用u(t)表示單位階躍函數(shù)，它的數(shù)學(xué)定義式為

(3-32)*3.7一階電路的階躍響應(yīng)它的波形如圖3-7-1(a)所示。在t=0－到t=0+之間發(fā)生了單位階躍。當(dāng)t<0時(shí)，u(t)=0；當(dāng)t>0時(shí)，u(t)=1；當(dāng)t=0時(shí)，u(t)從0躍變到1。當(dāng)躍變量不是一個(gè)單位，而是k個(gè)單位時(shí)，可以用階躍函數(shù)ku(t)來表示，其波形如圖3-7-1(b)所示。當(dāng)躍變不是發(fā)生在t=0時(shí)刻，而是發(fā)生在t=t0時(shí)，可以用延遲階躍函數(shù)u(t-t0)來表示，其波形如圖3-7-1(c)所示。圖3-7-1階躍函數(shù)u(t-t0)數(shù)學(xué)式為

(3-33)階躍函數(shù)可以用來描述開關(guān)的動(dòng)作，如圖3-7-2(a)所示。用階躍函數(shù)代替開關(guān)來表示在t=0時(shí)開關(guān)的作用，即可以用階躍函數(shù)表示電路接到直流電壓源上；圖3-7-2(b)則用延時(shí)的階躍函數(shù)來表示在t=t0時(shí)把電路接通2A的直流電流源。圖3-7-2階躍函數(shù)的開關(guān)作用單位階躍函數(shù)還可以方便地表示分段函數(shù)，起到截取波形的作用。如圖3-7-3(a)所示，從t=0起始的波形可以用階躍函數(shù)表示為

(3-34)

若只需取f(t)的t>t0部分，可用式(3-34)得到如圖3-23(b)所示的波形，則

(3-35)圖3-7-3單位階躍函數(shù)截取波形的作用3.7.2一階電路的階躍響應(yīng)

電路在(單位)階躍電壓或電流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為(單位)階躍響應(yīng)，用符號(hào)s(t)表示，它可以利用三要素法計(jì)算出來。

對(duì)于圖3-7-4(a)所示的RC串聯(lián)電路，其初始值uC(0+)=0V，穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=1V，時(shí)間常數(shù)τ=RC。用三要素公式得到電容電壓uC(t)的階躍響應(yīng)為s(t)=(1-

)u(t)。對(duì)于圖3-7-4(b)所示的RL并聯(lián)電路，其初始值iL(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值iL(∞)=1，時(shí)間常數(shù)τ=L/R。利用三要素公式得到電感電流iL(t)的階躍響應(yīng)為s(t)=(1-

)u(t)。圖3-7-4RC串聯(lián)電路和RL并聯(lián)電路的階躍響應(yīng)

RC串聯(lián)電路和RL并聯(lián)電路的階躍響應(yīng)可以用一個(gè)表達(dá)式表示為

(3-36)

式中，時(shí)間常數(shù)τ=RC或τ=L/R。

如果階躍激勵(lì)不是在t=0而是在t=t0時(shí)施加的，則將電路階躍響應(yīng)中的t改為t-t0，即得到電路的階躍延遲響應(yīng)。例如，上述RC電路的階躍延遲響應(yīng)為

由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。二階電路在電路結(jié)構(gòu)上必須包含有兩種獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，而且在這種電路中，既儲(chǔ)存電場能量又儲(chǔ)存磁場能量。本節(jié)將通過對(duì)RLC

串聯(lián)電路的討論來闡明二階電路的分析求解方法。*3.8二階電路的響應(yīng)圖3-8-1在如圖3-8-1所示的RLC串聯(lián)電路中，若電容電壓及電感電流的初始值分別為uC(0+)和iL(0+)，開關(guān)S在t=0時(shí)閉，則儲(chǔ)能元件將通過電路進(jìn)行放電。這是一個(gè)零輸入響應(yīng)電路。下面對(duì)電路的響應(yīng)情況進(jìn)行分析。由KVL，得

uR+uL-uC=0

按圖中標(biāo)定的電壓、電流參考方向有

將以上各式代入KVL方程，便可以得出以u(píng)C為響應(yīng)變量的微分方程

(3-37)式(3-37)為一常系數(shù)二階線性齊次微分方程，其特征方程為

LCp2+RCp+1=0

其特征根為

(3-38)式中，稱為衰減系數(shù)，稱為固有振蕩角頻率。

由式(3-38)可見，特征根由電路本身的參數(shù)R、L、C的數(shù)值來確定，反映了電路本身的固有特性。根據(jù)電路參數(shù)R、L、C數(shù)值的不同，特征根p1、p2可能出現(xiàn)如下4種情況:

(1)當(dāng)(R/2L)2>1/LC時(shí)，p1、p2為不相等的負(fù)實(shí)根，稱為過阻尼情況。特征根為

微分方程的通解為

(3-39)

式中待定常數(shù)A1、A2由初始條件來確定，其方法是當(dāng)t=0+時(shí)刻，由式(3-39)可得

uC(0+)=A1+A2

(3-40)對(duì)式(3-39)求導(dǎo)，可得t=0+時(shí)刻uC對(duì)t的導(dǎo)數(shù)的初始值為

(3-41)

聯(lián)立求解式(3-40)和式(3-41)，便可以解出A1、A2。由式(3-39)可見，零輸入響應(yīng)uC(t)是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的，沒有振蕩性質(zhì)。uC(t)的波形如圖3-8-2所示。圖3-8-2過阻尼時(shí)uC的波形圖3-8-3臨介阻尼時(shí)uC的波形

(2)當(dāng)時(shí)，p1、p2為相等的負(fù)實(shí)根，稱為臨界阻尼情況。特征根為

p1=p2=-α

微分方程的通解為

uC(t)=(A1+A2t)e-αt

(3-42)式中常數(shù)A1、A2由初始條件uC(0+)和uC′(0+)來確定。

根據(jù)式(3-42)可知，這種情況的響應(yīng)也是非振蕩的。uC(t)的波形如圖3-8-3所示。

(3)當(dāng)時(shí)，p1、p2為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼情況。

特征根為

式中

(3-43)

稱為阻尼振蕩角頻率。微分方程的通解為

uC=Ae-αtsin(ωdt+φ)

(3-44)式中常數(shù)A和φ由初始條件確定。根據(jù)式(3-44)可知，uC隨時(shí)間變化的規(guī)律具有衰減振蕩的特性，它的振幅Ae-αt隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于衰減系數(shù)α的大小，α越大則衰減得就越快。衰減

振蕩的角頻率為ωd。ωd越大，則振蕩周期t=2π/ωd就越小。uC(t)的波形如圖3-8-4所示。

(4)當(dāng)R=0時(shí)，p1、p2為一對(duì)共軛虛根，稱為無阻尼情況。特征根為

p1,2=±jω0

響應(yīng)的表達(dá)式為

uC=Asin(ω0t+φ)

(3-45)

A和φ可以直接由初始條件確定。uC的波形如圖3-8-5所示。圖3-8-4欠阻尼時(shí)的uC波形圖3-8-5無阻尼等振幅振蕩時(shí)的uC波形從式(3-45)和uC的波形圖中可見，電路的零輸入響應(yīng)是不衰減的正弦振蕩，其角頻率為ω0。由于電路電阻為零，故稱為無阻尼等幅振蕩情況。

1.過渡過程產(chǎn)生的原因

電路從一