《電路基礎》課件第6章

6.1非正弦周期量

6.2非正弦周期信號的諧波分析

6.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率

6.4濾波器

6.5本章實訓非正弦周期電流電路的研究第6章非正弦周期電流電路常見的非正弦周期波主要有:全波整流電路輸出的電壓波形(如圖6.1所示)，半波整流電路輸出的電壓波形(如圖6.2所示)，脈沖數(shù)字電路中尖脈沖波形(如圖6.3所示)，矩形脈沖波形(如圖6.4所示)，電子示波器中常用的鋸齒波掃描波形(如圖6.5所示)。6.1非正弦周期量圖6.1全波整流電壓波形圖6.2半波整流電壓波形圖6.3尖脈沖波形圖6.4矩形脈沖波形圖6.5鋸齒波形6.2.1非正弦波的合成

在正弦交流電路中，幾個同頻率的正弦量之和還是一個同頻率的正弦量。對于幾個不同頻率的正弦量相加，其結果如何？

設有三個正弦電壓

u1=U1msinωt

6.2非正弦周期信號的諧波分析把兩個正弦電壓u1、u3的瞬時值相加，可得到另一個電壓

其波形如圖6.6所示，比較接近于方波。圖6.6正弦波u1、u3合成非正弦波u若加上第三個正弦電壓

則

其波形如圖6.7所示，非常接近方波波形。圖6.7正弦波u1、u3、u5合成非正弦波u6.2.2非正弦波的分解

幾個不同頻率的正弦量之和是周期性非正弦量，反過來，任何一個周期性非正弦量也可以分解為一系列不同頻率的正弦量。

由高等數(shù)學知識可知，凡滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)都可以分解為傅里葉級數(shù)。在電工技術中所遇到的周期性非正弦量，一般情況下都能滿足狄利赫里條件，因此都可以分解為傅里葉級數(shù)。

設f(t)為一周期函數(shù)f(t)=f(t+kT)，其中周期為T，角頻率ω=2π／T，則f(t)的傅里葉級數(shù)可表示為

(6-1)

其中:a0／2為常數(shù)項，

akcoskωt為余弦項，bksinkωt為正弦項；a0、ak和bk稱為傅里葉級數(shù)的系數(shù)，分別為

若把式(6.1)中的同頻率正弦項和余弦項合并，則有

(6-2)

其中:，,

,而

ak=Aksinψk,bk=Akcosψk

例6-1

如圖6.8所示鋸齒波，其解析式為

(0＜t＜T)

求其傅里葉級數(shù)展開式。圖6.8例6-1圖

解因為

所以，i(t)的傅里葉級數(shù)展開式為

圖6.9例6-2圖

例6-2

求如圖6.9所示方形脈沖波的傅里葉級數(shù)展開式

解因為當k=2n,其中n=0，1，2，3…時，bk=0；

當k=2n+1,其中n=0，1，2，3…時，

；所以

以上介紹了非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)求解方法，但在實際應用中，工程上常采用查表的方法獲得非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式。常用幾種典型非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式如表6.1所示。表6.1幾種典型非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式6.3.1非正弦周期量的有效值

非正弦周期量的有效值是根據(jù)其熱效應來確定的。

如果非正弦周期電流i通過電阻R在一個周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量和直流電流I通過同一電阻R在相同時間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等，則直流電流I的數(shù)值稱為非正弦周期電流i的有效值，用公式表示為

6.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率同理，非正弦周期電壓的有效值定義可表示為

由于非正弦周期量可分解為傅里葉級數(shù)，因此可根據(jù)其各次諧波的有效值來計算其有效值。

下面以非正弦周期電流為例,設

其有效值為

同理，非正弦周期電壓的有效值為

例6-3

試求非正弦周期電壓

的有效值。

解u(t)的有效值為6.3.2非正弦周期量的平均值

一個非正弦周期量的平均值就是它的直流分量。

非正弦周期電壓u(t)的平均值為

對于傅里葉級數(shù)展開式中直流分量為零的非正弦周期量，在一個周期內(nèi)的平均值為零。為了便于對非正弦周期量進行分析和測量(如分析整流效果)，一般定義非正弦周期量的平均值為其絕對值在一個周期內(nèi)的平均值，又稱為整流平均值。非正弦周期電流平均值為

例如，半波整流電流波

其平均值為

I=1.57Iav

即非正弦周期量半波整流電流波的有效值是其平均值的1.57倍。

非正弦周期電壓平均值為

非正弦周期量有效值與平均值的比值稱為波形因數(shù)，用Kf表示:

非正弦周期量振幅值與有效值的比值稱為波峰因數(shù)，用Kc表示:

例6-4

分別用磁電系電壓表和電磁系電壓表測量一個全波整流電壓，已知其振幅值為311V，求各電壓表的讀數(shù)。

解經(jīng)計算或查表，全波整流電壓波的平均值、有效值分別為

所以，磁電系電壓表讀數(shù)為198.1V，電磁系電壓表的讀數(shù)為220V。6.3.3非正弦周期量的平均功率

非正弦周期性電流電路中的瞬時功率等于電壓和電流瞬時值的乘積，即p=ui，其在一個周期中的平均功率是指一個周期內(nèi)消耗在電路中的電能與消耗這些電能所用時間的比值，即

若非正弦周期電壓u和非正弦周期電流i的瞬時值分別為

其中ψuk、ψik分別為電壓和電流k次諧波分量的初相位。則有

經(jīng)過計算可得

其中,Uk和Ik分別為電壓、電流k次諧波分量的有效值，φk=ψuk－ψik為k次諧波電壓超前k次諧波電流的相位角。非正弦周期電流電路的無功功率定義為各次諧波無功功率之和，即

非正弦周期電流電路的視在功率定義為電壓和電流有效值的乘積，即

平均功率和視在功率的比值定義為非正弦周期電流電路的功率因數(shù):

式中,φ為一個假想的角。該功率因數(shù)無實際意義，并不表示非正弦電壓與電流之間存在相位差。

例6-5

已知某二端網(wǎng)絡的端口電壓、端口電流分別為

求該二端網(wǎng)絡的平均功率、無功功率和視在功率。

解平均功率為

P=U0I0+U1I1cosφ1+U2I2cosφ2+U3I3cosφ3

=20×10+20×10cos60°

=200+100=300W

無功功率為

視在功率為

例6-6

如圖6.10所示RL串聯(lián)電路，已知R=3Ω，L=12.7mH，外加電壓。試求：

(1)電路中電流i；

(2)電流i的有效值I；

(3)電路中消耗的平均功率P。

解在直流分量U0=60V單獨作用下，電感L相當于短路，有

圖6.10例6-6圖

在單獨作用下，有

電流為

電流i的有效值為

電路中消耗的平均功率為

P=P0+P1=1200+108=1308W按照濾波器的功能，一般情況下，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等類型。它們的電路結構可以設計成Γ型、Τ型和Π型等,如圖6.11所示。6.4濾波器圖6.11濾波器的基本電路形式6.4.1低通濾波器

在電路中，使低頻分量的信號順利通過，而高頻分量的信號受到抑制的電路稱為低通濾波器，其典型電路如圖6.12所示。

低通濾波器的作用是讓直流分量及低于某一頻率的諧波分量通過，這一頻率稱為濾波器的截止頻率，即濾波器的通頻帶和止頻帶的交界處。

以圖6.13Π型低通濾波器為例，電路中串聯(lián)臂為電感元件，并聯(lián)臂為電容元件。從輸入端輸入電流i1，其中的高頻分量大部分經(jīng)左邊電容C1分流而返回。流經(jīng)電感L的高頻分量，幅度受到抑制后，經(jīng)過右邊電容C2再次分流，從而使輸出端電流i2所含高頻分量很小。從電壓來講，輸入端電壓u1中的高頻分量主要分布在電感L上，輸出端電壓u2中含有的高頻分量也很小，這樣輸出的高頻分量被大大削弱，得到的主要是低頻分量。圖6.12低通濾波器圖6.13Π型低通濾波器6.4.2高通濾波器

使高頻分量順利通過，而低頻分量受到阻止的濾波電路稱為高通濾波器，其典型電路如圖6.14所示。

圖6.14中，串聯(lián)電容抑制低頻分量通過，并聯(lián)電感則對低頻分量起旁路作用。高通濾波器的作用與低通濾波器相反，其目的是讓高于截止頻率的諧波分量通過，把低于截止頻率的諧波分量和直流分量濾掉。圖6.14高通濾波器6.4.3帶通濾波器

使某一頻率范圍內(nèi)的諧波分量順利通過而其他頻率的諧波分量受到抑制的濾波電路稱為帶通濾波器。帶通濾波器的工作原理是應用了串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路的特點，LC串聯(lián)電路在諧振時其電路阻抗值最小，且為阻性；LC并聯(lián)電路在諧振時，其電路阻抗值最大，且為阻性。其通頻帶在電路的固有頻率f0附近，通過調(diào)節(jié)參數(shù)L、C就可以調(diào)節(jié)通頻帶的頻率范圍。其典型電路如圖6.15所示。

電路中串聯(lián)臂為L1C1串聯(lián)電路，并聯(lián)臂為L2C2并聯(lián)電路，適當選擇參數(shù)L1、C1、L2、C2使兩臂的諧振頻率相同，均為

圖6.15帶通濾波器6.4.4帶阻濾波器

使某一頻率范圍內(nèi)的諧波分量受到抑制，而其他頻率的諧波分量順利通過的濾波電路稱為帶阻濾波器，其典型電路如圖6.16所示。

帶阻濾波器的作用與帶通濾波器的作用相反，串聯(lián)臂為L1C1并聯(lián)電路，并聯(lián)臂為L2C2

串聯(lián)電路，兩臂的諧振頻率相等,均為

圖6.16帶阻濾波器

1.實訓目的

(1)了解非正弦周期電流電路響應的規(guī)律。

(2)了解非正弦周期量的測量方法。

(3)加深對非正弦周期電流電路及諧波概念的理解。

(4)了解濾波器的概念。6.5本章實訓非正弦周期電流電路的研究

2.實訓設備

(1)信號發(fā)生器。

(2)雙蹤示波器。

(3)交流毫伏表。

(4)10mH電感、10μF電容、1kΩ電阻等元器件。

3.實訓原理

1)傅里葉級數(shù)

任何一個非正弦周期量，只要滿足狄利赫里條件，都可以分解成傅里葉級數(shù)。

設周期函數(shù)f(t)=f(t+kT),k=0，1，2…,其周期為T，角頻率ω=2π／T，則有

式中：

f(t)傅里葉級數(shù)還有另一種形式:

其中，

2)非正弦周期量的有效值

非正弦周期量的有效值是根據(jù)其熱效應定義的。

非正弦周期電壓u(t)的有效值用公式表示為

又可以表示為

4.實訓步驟

(1)按圖6.17連接實驗電路。

(2)信號發(fā)生器為電路提供幅度為3V的鋸齒波信號，用示波器分別觀察輸入電壓ui和輸出電壓uo的波形，并分別測出其振幅值Uim、Uom。

(3)用交流毫伏表測出輸入電壓ui和輸出電壓uo的有效值。

(4)將信號源換為3V的矩形波重復步驟(2)、(3)。