2024年北師大版高二數學上冊階段測試試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年北師大版高二數學上冊階段測試試卷478考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、【題文】的值是()A.B.C.D.2、【題文】為了調查某城市自行車年檢情況，在該城市主干道上采取抽取車牌個數為6的自行車檢驗，這種抽樣方法是（）A.簡單隨機抽樣B.抽簽法C.系統(tǒng)抽樣D.分層抽樣3、【題文】．在等比數列中,和是方程的兩個根,則()A.B.C.D.4、數列{an}的前n項和是Sn，下列可以判斷{an}是等差數列的是（）A.B.C.D.5、函數f(x)=x3鈭?x鈭?1

的零點所在的區(qū)間是(

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

6、用反證法證明：若整系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a鈮?0)

有有理數根，那么abc

中至少有一個是偶數.

用反證法證明時，下列假設正確的是(

)

A.假設abc

都是偶數B.假設abc

都不是偶數C.假設abc

至多有一個偶數D.假設abc

至多有兩個偶數評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)7、點P在平面ABC上的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是△ABC的____．（填：外心，內心，重心，垂心）8、已知雙曲線方程為則該雙曲線的漸近線方程為____．9、如圖，雙曲線-=1（a，b＞0）的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F2．若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2；切點分別為A，B，C，D．則：

（Ⅰ）雙曲線的離心率e=____；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值=____．

10、空間兩點AB到平面α的距離分別為8cm和2cm，則線段AB的中點M到平面α的距離為____．11、【題文】已知拋物線焦點為準線為為拋物線上一點，為垂足，如果直線的斜率為那么____。12、【題文】已知數列滿足當1時，__________評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)13、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

14、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）15、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）16、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

17、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）18、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）19、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共15分)20、已知數列中，（為常數）；是的前項和，且是與的等差中項。K^S*5U.C#O（I）求（II）猜想的表達式，并用數學歸納法加以證明。21、如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．22、假設關于某種設備的使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）有如下統(tǒng)計資料：

。x23456y235.56.58（1）求出y關于x的線性回歸方程；

（2）估計使用年限期完成為10時的維修費用y的值．評卷人得分五、計算題(共2題，共8分)23、1.（本小題滿分12分）已知函數在處取得極值.(1)求實數a的值；(2)若關于x的方程在[，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；(3)證明：(參考數據：ln2≈0.6931).24、解關于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、A【分析】【解析】

試題分析：

考點：1、特殊角的三角函數值；2、三角函數的誘導公式.【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】根據系統(tǒng)抽樣的定義可知，本題的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣，選C.【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D4、A【分析】【解答】{an}是等差數列?an=An+B?Sn=Cn2+Dn；

可得：Sn=﹣2n2是等差數列．

故選：A．

【分析】利用{an}是等差數列?an=An+B?Sn=Cn2+Dn，即可判斷出．5、B【分析】解：因為f(鈭?1)=鈭?1+1鈭?1=鈭?1<0

f(0)=鈭?1<0

f(1)=1鈭?1鈭?1=鈭?1<0

f(2)=8鈭?2鈭?1=5>0

f(3)=27鈭?3鈭?1=23>0

所以函數f(x)=x3鈭?x鈭?1

的零點所在區(qū)間是[1,2]

故選：B

．

利用函數零點存在定理；對區(qū)間端點函數值進行符號判斷，異號的就是函數零點存在的區(qū)間．

本題考查了函數零點的存在區(qū)間的判斷；根據函數零點的判定定理，只要區(qū)間端點的函數值異號，就是函數零點存在區(qū)間．【解析】B

6、B【分析】解：根據反證法的步驟；假設是對原命題結論的否定。

“至少有一個”的否定“都不是”．

即假設正確的是：假設abc

都不是偶數。

故選：B

．

本題考查反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定.

根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，故只須對“bc

中至少有一個偶數”寫出否定即可．

一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n

個”的否定：“至少有n+1

個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．【解析】B

二、填空題(共6題，共12分)7、略

【分析】

若PA；PB、PC兩兩互相垂直；

可得AP⊥平面PBC；BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB；

由此可證得BC⊥OA；AB⊥OC，AC⊥OB；

即此時點O是三角形三邊高的交點；

故此時點O是三角形的垂心；

故應填：垂心．

故答案為：垂心．

【解析】【答案】根據題意畫出圖形；如圖P是△ABC所在平面外一點，O是P點在平面ABC上的射影．然后利用線面的位置關系進行判定即可．

8、略

【分析】

∵雙曲線方程為

∴a=3，b=2

∴雙曲線的漸近線方程為即

故答案為：

【解析】【答案】利用雙曲線方程確定幾何量；即可得到雙曲線的漸近線方程．

9、略

【分析】

（Ⅰ）直線B2F1的方程為bx-cy+bc=0，所以O到直線的距離為

∵以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2；

∴

∴（c2-a2）c2=（2c2-a2）a2

∴c4-3a2c2+a4=0

∴e4-3e2+1=0

∵e＞1

∴e=

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc

設矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴

∵m2+n2=a2，∴

∴面積S2=4mn=

∴==

∵bc=a2=c2-b2

∴

∴=

故答案為：

【解析】【答案】（Ⅰ）直線B2F1的方程為bx-cy+bc=0，所以O到直線的距離為根據以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，可得由此可求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc，求出矩形ABCD的長與寬，從而求出面積S2=4mn=由此可得結論．

10、略

【分析】

如圖所示：當A；B在平面的同一側時，過線段的兩個端點向平面做垂線，得到一個梯形。

根據梯形的中位線定理，得中點M到直線I的距離為=5

當線段的兩個端點在平面的兩側時；過線段的兩個端點向平面做垂線，得到兩個三角形。

做出輔助線如圖所示。

根據三角形的中位線定理，得點C到直線l的距離為=3．

故答案為：5或3．

【解析】【答案】根據線與面的位置關系看出線段的兩個端點在平面的同一側或在異測；畫出圖形，根據梯形的中位線定理和三角形的中位線定理解答，得到結果．

11、略

【分析】【解析】

試題分析：由拋物線的參數方程為得其標準方程為∴準線l：x=-2，

考點：本題考查了參數方程及直線與拋物線的位置關系。

點評：有關拋物線的焦半徑問題，往往利用定義轉化求解【解析】【答案】812、略

【分析】【解析】解：【解析】【答案】三、作圖題(共7題，共14分)13、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

14、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．16、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

17、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．19、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共15分)20、略

【分析】【解析】

（I）∵是與的等差中項，∴當時，解得當時，解得【解析】【答案】21、略

【分析】

（Ⅰ）取AB中點，連接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，運用AB⊥平面OCA1；即可證明．

（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向建立坐標系，可向量的坐標，求出平面BB1C1C的法向量；代入向量夾角公式，可得答案．

本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質和平面與平面垂直的判定，屬中檔題．【解析】（Ⅰ）證明：取AB中點，連接OC，OA1；

∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°

∴OC⊥AB，OA1⊥AB；

∵OC∩OA1=O；

∴AB⊥平面OCA1；

∵CA1?平面OCA1；

∴AB⊥A1C；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，

所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1；OC兩兩垂直．

以O為坐標原點，的方向為x軸的正向；建立如圖所示的坐標系；

可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，）；B（-1，0，0）；

則=（1，0，），==（-1，0），=（0，-）；

設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量；

則

可取y=1，可得=（1，-1），故cos＜＞=-

又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值；

故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．22、略

【分析】

（1）根據所給的數據，做出變量x，y的平均數，根據最小二乘法做出線性回歸方程的系數b；在根據樣本中心點一定在線性回歸直線上，求出a的值．

（2）根據第一問做出的a，b的值；寫出線性回歸方程，當自變量為10時，代入線性回歸方程，求出維修費用，這是一個預報值．

本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點，這是求解線性回歸方程的步驟之一．【解析】解：（1）由題意知=（2+3+4+5+6）=4，=（2+3+5.5+6.5+8）=5

b==1.55；

a=5-4×1.55=-1.2；

∴y=1.55x-1.2；

（2）根據第一問知線性回歸方程是y=1.55x-1.2；

當自變量x=10時，預報維修費用是y=1.55×10-1.2=14.3．五、計算題(共2題，共8分)23、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由題意，得f'(1)＝0Ta＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x