2024-2025學年廣東省深圳市高三上學期數(shù)學階段調(diào)研檢測試卷（附解析）

2024-2025學年廣東省深圳市高三上學期數(shù)學階段調(diào)研檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則的真子集的個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．16 D．152．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．設，都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，則=（

）A． B． C． D．5．已知單位向量，的夾角為，則下列結論正確的有（）A．B．在方向上的投影向量為C．若，則D．若，則6．已知數(shù)列的前項和為，其中，且，則（

）A． B． C． D．7．函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法正確的是（）A．B．函數(shù)圖象關于點對稱C．函數(shù)圖象向右移（）個單位后，圖象關于軸對稱，則的最小值為D．若，則函數(shù)的最大值為8．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)有兩個零點B．當時，C．的解集是D．都有二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，，則（）A．與的值域相同B．與的最小正周期相同C．曲線與有相同的對稱軸D．曲線與有相同的對稱中心10．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結論正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，且，則B．若是等比數(shù)列，且，則C．若，則是等差數(shù)列D．若是公比大于1的等比數(shù)列，則11．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若是偶函數(shù)，且，令，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．C．函數(shù)的圖象關于點對稱 D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是．13．已知的外心為，內(nèi)角的對邊分別為，且.若，則.14．若存在實數(shù)m，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時，．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．(1)求；(2)若，則面積為，求、的值．16．已知數(shù)列中，，(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列的前n項和.17．已知直三棱柱中，，分別為和的中點，為棱上的動點，.(1)證明：平面平面；(2)設，是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?18．如圖，廣東省某機器人比賽設計了一個矩形場地ABCD（含邊界和內(nèi)部，A為坐標原點），AD長10米，在AB邊上距離A點4米的F處放一只電子狗，在距A點2米的E處放一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為2v，若電子狗和機器人在場地內(nèi)沿直線方向同時到達場地內(nèi)某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫“成功點”．(1)求在這個矩形場地內(nèi)“成功點”M的軌跡方程；(2)若P為矩形場地AD邊上的一點，電子狗在線段FP上總能逃脫，求|AP|的取值范圍．19．已知函數(shù)，且在上的最小值為0.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，，將中元素代入，驗證可得，所以的真子集的個數(shù)為.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】因為，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】若，可得，則，所以，即等價于；若，等價于，顯然可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.4．【正確答案】D【詳解】由，得，即，所以，所以，所以．故選：D．5．【正確答案】B【詳解】對于A，因為，是單位向量，所以，所以，故A錯誤；對于B，因為，是單位向量，所以在方向上的投影向量為，故B正確；對于C，因為，所以，又因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，故D錯誤；故選：B．6．【正確答案】C【分析】由，采用構造數(shù)列的方法，，則可以確定數(shù)列為等比數(shù)列，然后進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以．故選C.7．【正確答案】C【詳解】易知；對于A，由最小正周期為可得，即可得，即A錯誤；對于B，由A可得，將代入檢驗可得，可得B錯誤；對于C，若將函數(shù)圖象向右移（）個單位可得到，若的圖象關于軸對稱，則可得，即，又因為，則當時，的最小值為，故C正確；對于D，若，，即，所以函數(shù)的最大值為，即D錯誤.故選C.8．【正確答案】C【詳解】設，則，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以f?x=?fx，，，所以，即，所以函數(shù)的解析式為，故不正確；當時，令，解得，當時，令，解得，所以函數(shù)有三個零點，故不正確；當時，令，解得，當時，令，解得，所以的解集為，故正確；當時，，所以當時，f'x<0，函數(shù)當時，f'x>0，函數(shù)所以當時，函數(shù)取得最小值，當時，，所以當時，f'x>0，函數(shù)當時，f'x<0，函數(shù)所以當時，函數(shù)取得最大值，當時，，所以，都有，所以不正確.故選.9．【正確答案】ABC【詳解】對于A，，，則與的值域相同，故A正確．對于B，與的最小正周期均為，故B正確．對于C，曲線與的對稱軸方程均為，C正確．對于D，曲線沒有對稱中心，曲線有對稱中心，故D錯誤．故選：ABC.10．【正確答案】AB【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式判斷選項AB；利用判斷選項C；通過舉例，判斷選項D.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，則，且，故，故A正確；對于B，若是等比數(shù)列，則當時，，且，則；當時，，舍去，故B正確；對于C，若，則，，，故，所以不是等差數(shù)列，故C錯誤；對于D，若，則,此時，不滿足，故D錯誤.故選AB.11．【正確答案】BCD【詳解】對A，因為，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯誤；對B，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正確；對C，因為，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故C正確；對D，因為，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】8【詳解】解：因為的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，因為，令，則，令，則所以，在上單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，當時，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增所以，當時，有最小值，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，因為，，所以，的最小值，當且僅當，即時等號成立.故13．【正確答案】【詳解】由題意，不妨設，所以，解得k=1，則，又因為是的外心，過點作又因為,所以則，故填.14．【正確答案】【分析】以為變量，結合一元二次不等式的存在性問題可得，解不等式結合題意得，由此可得答案.【詳解】因為恒成立，即恒成立，若存在實數(shù)，使得上式成立，則，則，可得，可得，解得，由，則取得最大值時，此時.故答案為.【思路導引】雙變量問題的解題關鍵是一次只研究其中一個變量，本題先以為變量，轉化為存在性問題分析求解.15．【正確答案】(1)(2)，或，【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，因為，則，所以，，即，即，因為，則，所以，，解得.（2）因為，所以，①，由余弦定理可得②，聯(lián)立①②可得或.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為，所以，即，為常數(shù)，故數(shù)列是等比數(shù)列．（2）由（1）知，數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，故，所以，兩式相減得，，所以．17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)存在.【詳解】（1）由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故，同時有，且，故，由于，，且和在平面內(nèi)交于點A，故平面，由于在平面內(nèi)，故，取的中點，由于分別是和的中點，故，而，故，即，由于分別是和的中點，可以得到，所以有平行四邊形，故，設和交于點，由于，，，從而得到全等于，故，這就得到，從而，即，而，故，由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點，故平面，由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面.（2）有，又因為平面，和在平面內(nèi)，故，，由于兩兩垂直，故我們能夠以A為原點，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標系，由于題設條件和需要求證的結論均只依賴于線段間的比值，不妨設，這就得到，，，，，，，，據(jù)題設有，顯然，此時，從而有，，，，設和分別是平面和平面的法向量，則，，即，，從而可取，.此時平面與平面所成的角的余弦值為，故條件等價于，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）分別以AD，AB為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設成功點，依題意，，即，則，化簡得，所以這個矩形場地內(nèi)成功點M的軌跡方程是.（2）由（1）知，點M的軌跡是以為圓心，為半徑的右半圓，由電子狗在線段FP上總能逃脫，得直線與點M的軌跡在軸右側且相離，此時直線的斜率，方程為，即，由，得，則有，即，此時，而，所以的取值范圍是.19．【正確答案】(1)；(2)（i）證明見詳解；（ii）證明見詳解.【分析】（1）求出，可得在上單調(diào)遞增，所以，再分和兩種情況討論，得到的單調(diào)性，進而求出的最小值，判斷是否符合題意；（2）（i）要證函數(shù)在上具有性質(zhì)，即證當時，，令，，求導可得在上的單調(diào)遞增，所以，得證；（ii）由（i）得，當時，，再利用導數(shù)證明兩個不等式：①，其中，②，其中，再利用不等式放縮證明即可.【詳解】（1），，，，，令，，等號不同時取，所以當時，，在上單調(diào)遞增，，①若，即，，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，符合題意；②若，即，此時，，又函數(shù)在的圖象不間斷，據(jù)零點存在性定理可知，存在，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減，所以，與題意矛盾，舍去；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）（i）由（1）可知，當時，，要證：函數(shù)在上具有性質(zhì)，即證：當時，，即證：當時，，令，，則，即，，，所以在上單調(diào)遞增，，即當時，，得證；（ii）法一：由（i）得，當時，，所以當時，，下面先證明兩個不等