2024-2025學(xué)年廣東省湛江市高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省湛江市高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．3 B．4 C．8 D．102．已知是實(shí)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在方格邊長(zhǎng)為的方格紙中，向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則（

）A． B． C． D．5．現(xiàn)有一盛水實(shí)心容器，其外形可以通過(guò)如下方式得到：在中，，，以邊所在直線為軸將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體即為該容器，則該容器最多能容納水的體積為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)在橢圓上，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．過(guò)點(diǎn)分別作曲線的切線，則這兩條切線的斜率之積為（

）A． B．1 C．e D．8．已知正數(shù)滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某衛(wèi)星主要用于開(kāi)展低軌星座系統(tǒng)新技術(shù)試驗(yàn)，其主要功能用于記錄飛行過(guò)程中觀測(cè)到的低軌行星的數(shù)目，已知該衛(wèi)星連續(xù)8天內(nèi)觀測(cè)到的低軌行星數(shù)目分別為：9，8，6，10，9，7，6，9，則這組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．極差為3 B．平均數(shù)是8C．上四分位數(shù)是9 D．方差為210．已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，以為圓心、1為半徑的動(dòng)圓與圓交于兩點(diǎn)，則（）A．存在唯一的圓，使得兩點(diǎn)重合 B．C．若存在，則其不可能為等邊三角形 D．的最大值為11．已知水平放置的正方形的邊長(zhǎng)為，利用斜二測(cè)畫法繪制該正方形在水平平面內(nèi)的直觀圖四邊形，則（

）A．的最小值小于 B．的最大值小于C．的最小值大于 D．的最大值大于三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的最小正周期為.13．已知集合，若集合中有且只有一個(gè)元素，則14．把3個(gè)紅球和33個(gè)白球隨機(jī)排成一圈，則連續(xù)排列的白球個(gè)數(shù)不超過(guò)13個(gè)的概率是四、解答題（本大題共5小題）15．已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為為上不同的兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明:直線AB的斜率存在且為定值，并求出該定值.16．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，求.17．如圖，平行六面體的棱長(zhǎng)均為，且AD的中點(diǎn)為.

(1)證明:；(2)求二面角的余弦值.18．已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足.(1)探究數(shù)列的單調(diào)性；(2)證明：.19．小明和小王按照規(guī)定在奇妙種植園中采摘水果，水果越采摘越多.奇妙種植園中的每個(gè)園區(qū)在最初始時(shí)會(huì)提供有限個(gè)橙子和蘋果供采摘，且每次采摘均為隨機(jī)采摘，當(dāng)每次從種植園中隨機(jī)采摘一次得到一個(gè)水果后，將水果退回種植園，并再添加同種水果個(gè)放入種植園.(1)若小王選擇的園區(qū)初始有5個(gè)橙子和15個(gè)蘋果，小明選擇的園區(qū)初始有4個(gè)橙子和12個(gè)蘋果，且a=2.試比較:小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率大小;(2)證明:無(wú)論初始時(shí)橙子和蘋果的個(gè)數(shù)是多少，每一次采摘到橙子的概率都相等；(3)若初始有個(gè)橙子和個(gè)蘋果，證明:第次采摘后，累計(jì)采摘到的橙子個(gè)數(shù)的期望是.(附:若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，)

答案1．【正確答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.故選：B.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得.故選：B.3．【正確答案】C【詳解】解：由為奇函數(shù)知，，令可得，C正確，設(shè)，則，，，，ABD錯(cuò)誤，故選：C.4．【正確答案】A【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，所以.故選：A.5．【正確答案】B【詳解】

由題意知，該容器的盛水部分為圓錐形，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線(為垂足)，則即為圓錐的高，為圓錐的底面半徑，因?yàn)?，，所以，，其中，，故該容器最多能容納水的體積為.故選：B.6．【正確答案】C【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得:，因?yàn)?，所以，所以橢圓方程，其中，故離心率.故選：C.7．【正確答案】B【詳解】由于是互為反函數(shù)的曲線，所以其關(guān)于直線對(duì)稱，由于點(diǎn)在直線上，所以這兩條切線也關(guān)于直線對(duì)稱，不妨設(shè)其中一條切線的傾斜角為，則另一條的傾斜角為，故這兩條切線的斜率之積為.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，故原題干等式可轉(zhuǎn)化為，得，設(shè)，則，解得，因?yàn)?，所以，解得或，又因?yàn)?，所以，整理得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，即2，所以的取值范圍是.故選：D.9．【正確答案】BCD【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10.這組數(shù)據(jù)的極差為，故A錯(cuò)誤.平均數(shù)為，故B正確.因?yàn)椋陨纤姆治粩?shù)為，故C正確.方差為，故D正確.故選：BCD.10．【正確答案】BCD【詳解】依題意，坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)之一重合，不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，當(dāng)動(dòng)圓與圓內(nèi)切或外切時(shí)，均有兩點(diǎn)重合，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)在以為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，B正確；對(duì)于C，，要使為等邊三角形，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，則不可能為等邊三角形，C正確；對(duì)于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，此時(shí)，，D正確．故選：BCD11．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，考慮正方形的一條邊與軸重合，由斜二測(cè)畫法的性質(zhì)，另一條邊與軸重合，如圖所示，由于對(duì)稱性與旋轉(zhuǎn)可換性，圖中與均等價(jià)為所求角.而由斜二測(cè)圖性質(zhì)，，過(guò)作的垂線，則，即，故的最小值小于，故正確；過(guò)作的垂線，易有，且，故，則的最大值大于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，設(shè)圖形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則，即，其中，則最小值為，最大值為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.12．【正確答案】【詳解】由題意可得，故的最小正周期為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，表示拋物線的一部分；當(dāng)時(shí)，為空集，因此當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，集合表示一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)元素.故14．【正確答案】【詳解】如圖，位于紅球之間的白球個(gè)數(shù)記為，故滿足方程的解共有組，滿足時(shí)的解有以下情形：①若時(shí)，有，，共7種；同理，時(shí)，有7種；時(shí)，有7種，去掉重復(fù)的共有18種，②若時(shí)，有，共4種；同理，時(shí)，有4種；時(shí)，有4種，去掉重復(fù)的共有9種，③若，有，此時(shí)只有1種，④若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑤若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑥若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑦若，有，與前面重復(fù)，舍去，⑧若，不存在，共有種，連續(xù)排列的白球個(gè)數(shù)不超過(guò)13個(gè)的概率是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值2【詳解】（1）由題意得，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c，0)，雙曲線漸近線方程為，故，解得，又，故，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，兩式相減得若或，則AB的中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，不滿足，故且，即直線AB的斜率存在且不為0，此時(shí)，即，解得，故直線AB的斜率存在且為定值2.

16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由及正弦定理得.因?yàn)?，所以，所以，所?由正弦定理，得.（2）因?yàn)?，由余弦定理可得，整理得，即，解得?因?yàn)?，所以，即，?17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）在中，由余弦定理可得:，

所以，所以，同理可得，又因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫?，又平面，所以，依題意，有，所以；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)作軸垂直于平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

在中，由余弦定理得，所以，得，又，所以，由(1)可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即，取.則，所以二面角的余弦值為.18．【正確答案】(1)數(shù)列為遞減數(shù)列，理由見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）數(shù)列為遞減數(shù)列，理由如下：由題意可得，則，令函數(shù)，則，∴fx在上單調(diào)遞減，則，令，則，，即數(shù)列為遞減數(shù)列；（2）令函數(shù)，，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，?'x<0，當(dāng)x>0時(shí)，?故?x在單調(diào)遞減，在0,+∞為單調(diào)遞增，故，則，，，故在定義域上單調(diào)遞增，，令，則，又，.當(dāng)時(shí)，.即，又時(shí)，.所以.19．【正確答案】(1)都是(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）記第次采摘到橙子的概