2024-2025學年廣東省珠海市高三上學期第三次考試（10月）數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年廣東省珠海市高三上學期第三次考試（10月）數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．若，則的一個充分不必要條件為（

）A． B．C． D．4．已知向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C．3 D．65．甲?乙等6位同學去三個社區(qū)參加義務(wù)勞動，每個社區(qū)安排2位同學，每位同學只去一個社區(qū)，則甲?乙到不同社區(qū)的不同安排方案共有（

）A．6種 B．18種 C．36種 D．72種6．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，都有成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（

）A． B．． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中，正確的是（

）A．數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32B．已知隨機變量服從正態(tài)分布，；則C．已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為410．設(shè)正實數(shù)，滿足，則()A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值11．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實數(shù)使得 B．方程有唯一正實數(shù)解C．方程有唯一負實數(shù)解 D．有負實數(shù)解三、填空題（本大題共3小題）12．的展開式中常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）13．已知隨機事件滿足，則．14．對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則數(shù)列的前12項和.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，證明：為直角三角形.16．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.17．在直三棱柱中，在上，且．

(1)證明：；(2)當四棱錐的體積為時，求平面與平面所成二面角的正弦值．18．某校組織知識競賽，有兩類問題．若A類問題中每個問題回答正確得20分，否則得0分；若B類問題中每個問題回答正確得50分，否則得0分．已知李華同學能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為．(1)若李華從這兩類問題中隨機選擇一類問題進行回答，求他回答正確的概率；(2)若李華連續(xù)兩次進行答題，有如下兩個方案：方案一：第一次答題時，隨機選擇兩類問題中的一類問題回答，若答對，則第二次繼續(xù)回答該類問題；若答錯，則第二次回答另一類問題．方案二：第一次答題時，隨機選擇兩類問題中的一類問題回答，無論是否答對，第二次回答另一類問題．為使累計得分的期望最大，李華應(yīng)該選擇哪一種方案？19．已知（，且）.(1)當時，求在處的切線方程；(2)當時，求證：在上單調(diào)遞增；(3)設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【詳解】集合,,或,故選：2．【正確答案】C【分析】首先化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的特征求虛部.【詳解】，所以的虛部是.故選C.3．【正確答案】D【詳解】依題意可知選項是的充分不必要條件，則選項的范圍是的子集，對于選項A，不是的子集，故A不滿足；對于選項B，不是的子集，故B不滿足；對于選項C，不是的子集，故C不滿足；對于選項D，不是的子集，故D滿足.故選：D4．【正確答案】B【詳解】，因為與垂直，所以，解得，所以.故選B.5．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意，分成兩步進行分析：第一步，將6位同學分成3組，要求甲、乙不到同一組，有種分組方法，第二步，將分好的3組全排列，安排到三個不同的社區(qū)，有種情況，則共有種不同的安排方法.故選：D6．【正確答案】A【詳解】因為底面半徑，所以底面周長，又圓錐母線長，所以圓錐側(cè)面積．故選：A．7．【正確答案】C【分析】首先分析出函數(shù)單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義得到不等式組，解出即可.【詳解】因為對于，都有成立，所以函數(shù)是增函數(shù)，則函數(shù)和均為增函數(shù)，且有，即，解得.故選C.8．【正確答案】D【分析】利用三角恒等變換化簡得到，從而得到，根據(jù)函數(shù)極大值點的個數(shù)得到方程，求出答案.【詳解】，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，故，解得.故選D.9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)第50百分位數(shù)為中位數(shù)判斷A；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B；根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)判斷C；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對數(shù)據(jù)由小到大排列為，因為第50百分位數(shù)為中位數(shù)，所以第50百分位數(shù)為，故A錯誤；因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以，所以，所以，所以，故B正確；因為，，，則，故C正確；因為樣本數(shù)據(jù)的方差為2，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】對于選項A：利用基本不等式中，結(jié)合“1”的靈活用法，即可求解；對于選項BCD：使用基本不等式即可求解.【詳解】選項A：，取等號時，故A正確；選項B：，取等號時，所以有最大值，故B錯誤；選項C：，所以，取等號時，故C正確；選項D：由，化簡得，，取等號時，故D正確.故選：ACD.11．【正確答案】ABC【詳解】因為，.由，設(shè)，因為函數(shù)定義域為，且，，可知方程一定有實數(shù)根，故A正確；由或.所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且為極大值，為極小值.做出函數(shù)草圖如下：

觀察圖象可知,方程有唯一正實數(shù)解，有唯一負實數(shù)解，故BC正確；又，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，當時，，所以無負實數(shù)解.故D錯誤.故選ABC.12．【正確答案】【分析】利用二項式展開式的通項公式求出指定項即可.【詳解】由的展開式的通項得：，令，得，故．故答案為.13．【正確答案】【詳解】，.故答案為.14．【正確答案】/0.375【詳解】由題意可知，，，，……，所以，，，，當時，上式也成立，故，，所以數(shù)列，.故15．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由正弦定理和兩角和正弦公式的逆運用得到，求出答案；（2）由（1）得到，結(jié)合，得到，化簡得到，，得到答案.【詳解】（1）由，可得，所以，所以，則，即.（2）證明：由（1）可得.又，所以，即，故，所以，即，因為，所以為銳角，解得（負值舍去），即，所以為直角三角形.16．【正確答案】(1)，(2)，.【分析】（1）利用得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項公式；（2）由已知求得，得出是等差數(shù)列，求出其前項和，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出數(shù)列與的前項和的關(guān)系，從而求得結(jié)論．【詳解】（1）由，則當時兩式相減得，所以.將代入得，，所以對于，故an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）.，因為當時，當時，所以當時，，當時，.故.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，且，所以兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖空間直角坐標系：

設(shè)，則，，，，.所以，.因為,所以.故.（2）因為梯形的面積：，，所以.所以，，所以.設(shè)平面的法向量為，則，取.取平面的法向量為：，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以.18．【正確答案】(1)(2)選擇方案二【分析】（1）利用全概率公式計算即可；（2）利用離散型隨機變量的分布列、期望公式一一計算判定兩種方案的期望大小即可.【詳解】（1）設(shè)“選擇A類問題”，“選擇B類問題”，“選中的問題回答正確”,則，所以．（2）若選方案一：設(shè)李華累計得分為X，則X可能取值為0，20，40，50，100，，，，，，則X的分布列為X0204050100P．若選方案二：設(shè)李華累計得分為Y，則Y可能取值為0，20，50，70，，，，，則Y的分布列為X0205070P，所以，故選擇方案二．19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）當時，，