2024-2025學(xué)年河南省高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)且以為方向向量，為直線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．3．若圓過(guò)，兩點(diǎn)，則當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．4．在四面體中，為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C．2 D．35．若直線與圓相離，則點(diǎn)（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．位置不確定6．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或7．曲線的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)不可能在直線上B．直線恒過(guò)點(diǎn)C．若點(diǎn)到直線的距離相等，則D．直線上恒存在點(diǎn)，滿足11．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在，，使得B．不存在點(diǎn)，，使得C．的最小值為D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.13．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)與圓心的距離的最小值是.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題15．已知圓的圓心在直線和直線的交點(diǎn)上，且圓過(guò)點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關(guān)系.16．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知直線.(1)若直線與.平行，且之間的距離為，求的方程；(2)為上一點(diǎn)，點(diǎn)，，求取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).18．如圖，在斜三棱柱中，平面平面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.(1)設(shè)向量為平面的法向量，證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值.19．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到的“切比雪夫距離”，記作.(1)已知點(diǎn)和點(diǎn)，直線，求和.(2)已知圓和圓.①若兩圓心的切比雪夫距離，判斷圓和圓的位置關(guān)系；②若，圓與軸交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在圓外，且，過(guò)點(diǎn)任作一條斜率不為0的直線與圓交于兩點(diǎn)，記直線為，直線為，證明.答案：題號(hào)12345678910答案BCDCBABABDABD題號(hào)11答案BCD1．B【分析】先求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得直線方程.【詳解】由題意，直線的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，故其方程為，即.故選：B.2．C【分析】求出向量，再利用空間向量共線的充要條件列式判斷即得.【詳解】依題意，，，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是.故選：C.3．D【分析】根據(jù)給定條件，求出以為直徑的圓的方程即可.【詳解】依題意，線段的中點(diǎn)，，圓過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，線段為圓的直徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D4．C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，，又，所以，則.故選：C5．B【分析】利用點(diǎn)線距離公式及到的距離，即可判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系.【詳解】由題意，到的距離，即，所以在在圓內(nèi).故選：B6．A【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)，利用垂徑定理求出圓心到直線的距離.然后分直線斜率存在與不存在兩種情況來(lái)求直線的方程.【詳解】已知弦長(zhǎng)，半徑.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線的距離為.把，代入可得.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，所以直線斜率不存在時(shí)不滿足條件.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，由圓心到直線的距離，可得.對(duì)進(jìn)行求解.兩邊平方得，展開得.解得或.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.

故選：A.7．B【分析】分類討論寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，畫出圖得出結(jié)論.【詳解】曲線曲線的圖像如圖所示：該圖是以四個(gè)點(diǎn)為圓心，半徑為的四個(gè)半圓，所以該圖的周長(zhǎng)為.故選：B8．A【分析】由題意可得兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈酌嫫矫?，所?因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)或1，或1時(shí)，取得最大值4.故選：A9．BD【分析】根據(jù)給定條件，利用共面向量定理逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】由構(gòu)成空間的一個(gè)基底，得向量不共面，對(duì)于A，若向量，，共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，則向量共面，矛盾，，，不共面，A不是；對(duì)于C，由，得，，共面，B是；對(duì)于C，若，，共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得，于是，此方程組無(wú)解，向量，，不共面，C不是；對(duì)于D，由，得向量，，共面，D是.故選：BD10．ABD【分析】當(dāng)時(shí)，即可判斷A；將線方程可化為，即可判斷B；利用點(diǎn)線的距離公式計(jì)算即可判斷C；利用平面向量的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)的軌跡方程，證明點(diǎn)在圓的內(nèi)部即可判斷D.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不可能在直線上，故A正確；B：直線方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；C：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)，則，所以，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.又直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有公共點(diǎn)，即直線上恒存在點(diǎn)，滿足，故D正確.故選：ABD11．BCD【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】在三棱錐中，平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，對(duì)于A，由，得，則，方程無(wú)解，因此不存在、使得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由是線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，，由，則不存在點(diǎn)，使得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：BCD12．【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱性列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故13．【分析】根據(jù)題意得到，再利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.【詳解】由題意可知直線經(jīng)過(guò)圓心，所以，即，點(diǎn)到圓心距離最小值就是圓心到直線的距離的最小值，又圓心到直線的距離.故14．【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)，利用待定系數(shù)法得的坐標(biāo)為，即可根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，則，依題意，圓是由點(diǎn)，確定的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理得，而該圓的方程為，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，所以當(dāng)時(shí)，的值最小為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)的形式，設(shè)，則，利用阿波羅尼斯圓的定義待定出點(diǎn)，即可利用點(diǎn)到直線的距離求解.15．(1)(2)圓與圓相交.【分析】（1）先求出兩直線的交點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可求解；（2）由題意知的圓心為，半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論.【詳解】（1）由，得，即圓心坐標(biāo)為.，圓的方程為.（2）由（1）知，圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，則圓的圓心為，半徑.，，圓與圓相交.16．(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定逆定理可證得，，然后利用線面垂直的判定定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：，，.，，.平面，平面，又平面，.（2）解：四邊形是矩形，，平面，平面，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，可得，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)或；(2)【分析】（1）設(shè)出直線m的方程，利用平行線間距離公式列式求解.（2）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形，利用線段和差關(guān)系確定點(diǎn)位置，進(jìn)而求出其坐標(biāo).【詳解】（1）由直線m與平行，設(shè)直線m的方程為，由m，之間的距離為，得，解得或，所以直線m的方程為或.（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，直線的方程為，即，由，解得，點(diǎn)，所以取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).18．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，進(jìn)而得出法向量,最后應(yīng)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可；（2）應(yīng)用空間向量法求法向量及向量應(yīng)用公式運(yùn)算即可；（3）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值即可.【詳解】（1）如圖，連接.，平面平面，平面平面平面，平面.是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.是平面的一個(gè)法向量，令.，，.（2）.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面的距離為.（3）.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個(gè)法向量為.由（2）可知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為..19．(1)3，.(2)①圓與圓相切；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“切比雪夫距離”定義計(jì)算；（2）①轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系判定即可；②運(yùn)用直線與圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理證明即可.【詳解】（1）.設(shè)上任意一點(diǎn)為，