2024-2025學(xué)年湖北省荊州市沙市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北省荊州市沙市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由直線方程，結(jié)合斜率與傾斜角關(guān)系求傾斜角的大小.由直線方程為，即斜率為，若傾斜角為，則，故.故選：B2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即得.依題意，點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：B3.李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色不全相同的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式結(jié)合對(duì)立事件運(yùn)算求解.由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，記“3次摸取的顏色不全相同”為事件A，則，所以.故選：B.4.已知直線的方程為，則過點(diǎn)且與垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)垂直得到，由點(diǎn)斜式可求直線的方程.直線的方程為，則，根據(jù)兩直線垂直知所求直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以與直線垂直的線方程為，即.故選：B.5.空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M，N分別為OA，BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由N為BC中點(diǎn)，可得，由M為OA的中點(diǎn)，可得，利用，即可求出結(jié)果.為BC中點(diǎn)，，為OA的中點(diǎn)，，.故選：B6.已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】確定點(diǎn)到直線的距離，即為的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得答案.由題意可知點(diǎn)到直線的距離，即為的最小值，所以的最小值為，故選：B.7.已知圓C的圓心在直線上，并且圓C經(jīng)過圓與圓的交點(diǎn)，則圓C的圓心是（）A. B. C. D.【正確答案】D聯(lián)立兩圓方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，得的垂直平分線方程，與直線聯(lián)立即可求解.設(shè)圓與圓的交點(diǎn)為聯(lián)立兩圓方程，得，解得，或不妨記，，于是的中點(diǎn)為，從而可得AB的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立與，得，解得，即圓心坐標(biāo)為.故選：D8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則面積的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)到直線距離的最小值等于異面直線與的距離，進(jìn)而利用向量法求異面直線與的距離，從而可得面積的最小值.因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)面積取得最小值,而點(diǎn)在線段上，直線與互為異面直線，因此點(diǎn)到直線距離的最小值等于異面直線與的距離.下面用向量法求異面直線與的距離：以D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，,,，，,設(shè)異面直線與公垂線的方向向量為，則，即，得，令，則，即，于是異面直線與的距離為，又，所以面積的最小值為.故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.事件A，B的概率分別為：，，則（）A.若A，B為互斥事件，B.C.若A，B相互獨(dú)立，D.若，則A，B相互獨(dú)立【正確答案】AD【分析】利用互斥事件的定義及性質(zhì)判斷A選項(xiàng)；利用和事件的關(guān)系判斷B選項(xiàng)；利用相互獨(dú)立事件的定義及性質(zhì)判斷C選項(xiàng)；利用條件概率公式，求解事件A與B的積事件，根據(jù)獨(dú)立事件關(guān)系確定A、B的獨(dú)立性可判斷D.選項(xiàng)A：若A，B為互斥事件，則，所以，故A正確；選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若A，B相互獨(dú)立，所以，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，則A，B相互獨(dú)立，故D正確；故選：AD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通常判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，常用以下兩種方法：1、事件獨(dú)立性的定義：如果事件A和事件B相互不影響，則稱事件A和事件B是相互獨(dú)立的；2、乘法原理：如果事件A和事件B是相互獨(dú)立，則它們同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積.10.已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則下列說法不正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最大值為 D.的最大值為【正確答案】CD【分析】設(shè)，則只需直線與圓有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得不等式求得z的范圍，可判斷A；同理可判斷D；設(shè)，利用幾何意義求得t的范圍判斷B；設(shè)，則直線和圓有公共點(diǎn)，進(jìn)而可得不等式求得k的范圍判斷C.由題意知方程即表示圓，圓心為，半徑為，對(duì)于A，設(shè)，則只需直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，A正確；對(duì)于B，設(shè)，其幾何意義為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，即t最大值為，故的最大值為，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，則直線和圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，即的最大值為，D錯(cuò)誤；故選：CD11.已知空間四面體OABC，則（）A.當(dāng)，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)B.若該四面體的棱長(zhǎng)都為a，則異面直線OA，BC間的距離為C.若M為AB中點(diǎn)，則直線OC上存在點(diǎn)N，使得D.若，，則【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)四點(diǎn)共面的結(jié)論分析判斷；對(duì)于B：將正四面體嵌套在正方體內(nèi)，結(jié)合正方體的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C：分類討論點(diǎn)N是否與點(diǎn)O重合，結(jié)合異面直線的判定定理分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合向量垂直分析判斷.對(duì)于A：若，且，所以四點(diǎn)共面，即點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，故A正確；對(duì)于B：若該四面體的棱長(zhǎng)都為a，可知四面體OABC為正四面體，將其嵌套在正方體內(nèi)，如圖所示：可知正方體的棱長(zhǎng)為，異面直線OA，BC間的距離即為正方體的棱長(zhǎng)，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)辄c(diǎn)N在直線OC上，若點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，則，不滿足；若點(diǎn)N與點(diǎn)O不重合，則平面OBC，平面，，可知為異面直線，不滿足；綜上所述：直線OC上不存在點(diǎn)N，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，則即，即∴，可得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則__________.【正確答案】.【分析】本道題關(guān)鍵抓住，代入向量的坐標(biāo)，計(jì)算，即可．，即可．本道題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量的加減法，難度較容易．13.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【正確答案】##0.3【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故14.過直線上任意一點(diǎn)作圓：的兩條切線，則切點(diǎn)分別是，則面積的最大值為______.【正確答案】##【分析】由得出點(diǎn)在以為直徑的圓上是關(guān)鍵，通過兩圓方程相減得到直線的方程，從而求出面積的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)思想求解即得.如圖，設(shè)點(diǎn)，因,故點(diǎn)在以為直徑的圓上，因圓心，半徑為，故圓方程為：，又圓：，將兩式左右分別相減，整理得直線的方程為：，于是，點(diǎn)到直線的距離為：，，故的面積為：，不妨設(shè)則，且，故，因在上單調(diào)遞增，故，此時(shí)，即時(shí)，點(diǎn)時(shí)，面積的最大值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，如果，，.（1）求證：是平面的法向量；（2）求平行四邊形的面積.【正確答案】(1)證明見解析；(2).試題分析：(1)由題意結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算可得，.則，，結(jié)合線面垂直的判斷定理可得平面，即是平面的法向量.(2)利用平面向量的坐標(biāo)計(jì)算可得，，，則，，.試題解析：（1）∵，.∴，，又，∴平面，∴是平面的法向量.（2）∵，，∴，∴，故，.16.已知點(diǎn)、、，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，垂足為.（1）求直線的方程；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的面積.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式可得出直線的方程；（2）求出直線的方程，將直線、的方程聯(lián)立，即可解得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求出、，由可得結(jié)果.【小問1】解：因?yàn)椤ⅲ缘闹悬c(diǎn)為，所以直線的方程為，即.【小問2】解：由（1）知，因?yàn)椋?，所以直線方程，即.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問3】解：因?yàn)?，，所?17.某市為傳播中華文化，舉辦中華文化知識(shí)選拔大賽.決賽階段進(jìn)行線上答題.題型分為選擇題和填空題兩種，每次答題相互獨(dú)立.選擇題答對(duì)得5分，否則得0分；填空題答對(duì)得4分，否則得0分，將得分逐題累加.（1）若小明直接做3道選擇題，他做對(duì)這3道選擇題的概率依次為45，，23.求他得分不低于10（2）規(guī)定每人最多答3題，若得分高于7分，則通過決賽，立即停止答題，否則繼續(xù)答題，直到答完3題為止.已知小紅做對(duì)每道選擇題的概率均為，做對(duì)每道填空題的概率均為.小紅依次做一道選擇題兩道填空題，求小紅通過考試的概率.【正確答案】（1）（2）【分析】由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可【小問1】記“他得分不低于10分”為事件，則，即得分不低于10分的概率；【小問2】記“小紅通過考試”為事件，則，即小紅通過考試的概率為.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，邊長(zhǎng)是，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）連接，利用中位線可證線線平行，進(jìn)而可證線面平行；（2）根據(jù)線面垂直及正方形可證平面，即，再由，可得證；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得平面的法向量，進(jìn)而可得面面角.【小問1】連接，設(shè)，連接，則為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；【小問2】底面，底面，，又是正方形，，又，平面，且，平面，平面，，，，，平面，，平面，平面，，，且，，平面，平面；【小問3】由（2）得平面，則平面，所以可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，即，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，即平面與平面夾角余弦值為，所以平面與平面夾角為.19.已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，傾斜角為的直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求AB的長(zhǎng)；（2）是否存在弦AB被點(diǎn)三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.并計(jì)算出定值.【正確答案】（1）（2）存在，（3）證明見解析，【分析】（1）由題意求出直線方程，利用圓的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)即可；（2）假設(shè)存在，求出弦心距，討論直線的斜率是否存在，利用點(diǎn)到直線距離即可得解；（3）分類討論直線斜率是否存在，存在時(shí)由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式化簡(jiǎn)即可證明.【小問1】因?yàn)?，所以，直線的方程為，圓的圓心為，半徑