2024-2025學年江蘇省蘇州市高二上學期期中數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年江蘇省蘇州市高二上學期期中數(shù)學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線，若，則（）A.或 B. C.或 D.【正確答案】B【分析】由條件結合直線平行結論列方程求，并對所得結果進行檢驗.因為，，所以，所以，解得或，當時，，，直線重合，不滿足要求，當時，，，直線平行，滿足要求，故選：B.2.已知等差數(shù)列前項和為，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前項和公式、等差數(shù)列性質計算即得.在等差數(shù)列中，由，得.故選：D3.已知等比數(shù)列的各項均為負數(shù)，記其前項和為，若，則（）A.－8 B.－16 C.－32 D.－48【正確答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質先計算，再根據(jù)條件建立方程解公比求值即可.設的公比為，則由題意可知，，化簡得或（舍去），則.故選：B4.已知圓C的圓心在x軸上且經(jīng)過，兩點，則圓C的標準方程是（）A B.C. D.【正確答案】A【分析】設出圓的標準方程，利用待定系數(shù)法計算即可.因為圓C的圓心在x軸上，故設圓的標準方程,又經(jīng)過，兩點，所以，解得，所以圓的標準方程.故選：A.5.已知點，，點A關于直線的對稱點為點B，在中，，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先根據(jù)對稱的性質求出點的坐標，設，再由可求出點的軌跡方程，由圖可知中邊上的高為圓的半徑時，面積最大，從而可求得結果.設的坐標為，則，則的坐標為，設，，．所以.故選：C6.已知點，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.【正確答案】D【分析】求出直線方程，利用點到直線的距離，結合圓的性質求出點到直線距離的最小值即可求得最小值.兩點，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點到直線的距離，因此點到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D7.已知和分別是雙曲線的左右焦點，以為直徑的圓與雙曲線交于不同四點，順次連接焦點和這四點恰好組成一個正六邊形，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設雙曲線和圓在第一象限的交點為，根據(jù)正六邊形可得點的坐標，然后再根據(jù)點在雙曲線上得到間的關系式，于是可得離心率．由題意得，以為直徑的圓的半徑為，設雙曲線和圓在第一象限的交點為，由正六邊形的幾何性質可得，∴點的坐標為，又點在雙曲線上，∴，即，整理得，∴，解得或，又，∴，∴．故選：C．8.已知數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為，在之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，在之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，則（）A.當時，數(shù)列單調(diào)遞減 B.當時，數(shù)列單調(diào)遞增C.當時，數(shù)列單調(diào)遞減 D.當時，數(shù)列單調(diào)遞增【正確答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的定義，求出通項，由通項討論數(shù)列的單調(diào)性.數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為，由題意，得，時，，有，，數(shù)列單調(diào)遞增，A選項錯誤；時，，，若數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，由，需要，故B選項錯誤；時，，解得，時，，由，若數(shù)列單調(diào)遞減，則，即，而不能滿足恒成立，C選項錯誤；時，，解得或，由AB選項的解析可知，數(shù)列單調(diào)遞增，D選項正確.故選：D思路點睛：此題的入手點在于求數(shù)列的通項，根據(jù)的定義求得通項，再討論單調(diào)性.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則以下四個命題正確的是（）A.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1B.圓與圓恰有三條公切線，則C.不存在點，使得D.直線經(jīng)過定點【正確答案】ABD【分析】A選項，圓心到的距離，為半徑的一半，A正確；B選項，根據(jù)公切線條數(shù)得到兩圓外切，從而由圓心距和半徑之和相等，列出方程，求出；C選項，求出⊥直線時，OP最小，此時最大，求出此時，C正確；D選項，四點共圓，且為直徑，設，求出此圓的方程，兩圓方程相減得到直線的方程為，求出定點坐標.A選項，的圓心為，半徑為2，圓心到的距離，為半徑的一半，故圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1，A正確；B選項，圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，即，解得，B正確；C選項，當點運動到⊥直線時，OP最小，此時最大，設，因為的斜率為，則，解得，故，，此時切線長，故，故，故存在點，使得，C錯誤；D選項，因為⊥，⊥，故四點共圓，且為直徑，設，則的中點為，半徑為，故以為直徑的圓方程為，化簡得，與相減后得到，即直線方程為，令，解得，直線經(jīng)過定點，D正確.故選：ABD結論點睛：設Ax1,y110.在數(shù)列中，如果對任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列說法錯誤的是（）A.等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差B.等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列C.若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定是比等差數(shù)列D.若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列【正確答案】ABC【分析】根據(jù)比等差數(shù)列定義直接驗證可判斷A；令，依定義驗證可判斷B；令，，然后依定義驗證可判斷C；根據(jù)遞推公式求出前4項，然后依定義驗證可判斷D.若為等比數(shù)列，公比，則，，所以，故選項A錯誤；若，是等差數(shù)列，則，故為比等差數(shù)列，故選項B錯誤；令，，則，此時無意義，故選項C錯誤；因為數(shù)列滿足，，所以，，故，所以不是比等差數(shù)列，故選項D正確.故選：ABC.11.法國著名數(shù)學家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.若為正方形，則的邊長為C.若是橢圓蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，則面積的最大值為18D.若是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，或【正確答案】ABD【分析】A選項，求出，可得到蒙日圓方程；B選項，設出邊長，得到方程，求出答案；C選項，，由基本不等式求出最值；D選項，直線與的交點即為所求點，聯(lián)立后得到點坐標，進而得到.解：對于A，橢圓的四個頂點處的切線，恰好圍成長、寬分別為和的矩形，蒙日圓為此矩形的外接圓，半徑，故橢圓的蒙日圓方程為，故A正確；對于B，由題意可知正方形是圓的內(nèi)接正方形，設正方形的邊長為，可得，解得，即正方形的邊長為，故B正確；對于C，由題意可得，則為圓一條直徑，則，由勾股定理可得，所以當且僅當時，等號成立，因此，面積的最大值為9，故C錯誤；對于D，過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，當為直角時，點在橢圓的蒙日圓上，即為直線與圓的交點，由，解得或，即點的坐標為或，則直線（為坐標原點）的斜率為0或，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，，則以為焦點，且過點的雙曲線的離心率為______.【正確答案】3【分析】由雙曲線定義以及焦距、離心率公式即可列式求解.由題意知.故3.13.數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列前5項和可能是___________(填一個值即可）【正確答案】5（答案不唯一）【分析】由條件可得，即有或，結合運算即可得．因為，即，所以或，又，故該數(shù)列前5項可能為：1、1、1、1、1，或1、1、1、1、2，或1、1、1、2、2，或1、1、2、2、2，或，或1、2、4、8、8，或1、2、4、8、16，該數(shù)列前5項和可能是5、6、7、8、、23、31.故5（答案不唯一）.14.已知直線l：的圖象與曲線C：有且只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_____________．【正確答案】或【分析】求出動直線所過定點，化簡曲線為半圓，作出圖象，數(shù)形結合可得解.由可得，即直線過定點，由可得，即曲線C：，作出曲線與直線的圖象，如圖，當直線過點時，斜率，當直線過點時，斜率，直線與曲線相切時，圓心到直線的距離，即，解得或（由圖可知不符合題意，舍去），由圖可知，當直線斜率滿足或時，直線與曲線只有一個交點.故或四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，且，若，求的最小值.【正確答案】（1）（2）10【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，然后利用公式構建基本量的方程求解即可.（2）先將等差數(shù)列的通項代入,得到數(shù)列的通項,再求和,解不等式即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則解得，故.【小問2詳解】由（1）可得，則，所以,則數(shù)列是是等差數(shù)列，故.因為，所以，所以，所以或.因為，所以的最小值是10.16.已知直線過點.（1）若直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程；（2）已知的一個頂點為A，AB邊上的中線CM所在的直線方程為，AC邊上的高BH所在的直線方程為.求BC所在直線的方程.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）分直線在兩坐標軸上的截距為0和不為0兩種情況，設出直線方程，將代入得到直線方程；（2）根據(jù)垂直得到直線的方程為，將代入，求出直線的方程，聯(lián)立直線CM和直線的方程求出，再設，則，在直線，在，從而得到方程組，求出，得到，利用兩點式求出直線方程.【小問1詳解】當直線在兩坐標軸上的截距為0時，設直線的方程為，，將代入得，，解得，故直線的方程為，當截距不為0時，設直線的方程為，將代入得，解得，故直線的方程為，所以直線方程為或；【小問2詳解】因為⊥，高BH所在的直線方程為，所以設直線的方程為，將代入得，，解得，故直線的方程為，聯(lián)立與得，故，設，則，在直線上，故①，又在上，故②，聯(lián)立①②得，，故，BC所在直線的方程為，即.17.已知圓．（1）直線過點且與圓相切，求直線的方程；（2）圓與圓交于兩點，求公共弦長．【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)直線斜率是否存在分類討論，再結合點到直線距離及直線與圓相切列出關系式求解即可得出答案.（2）先聯(lián)立方程組求出公共弦所在直線方程；再根據(jù)點到直線距離求出圓心到直線的距離；最后根據(jù)弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】由圓可得：圓心坐標為，半徑為1°若直線斜率不存在，則直線方程為，此時點到直線的距離為，故直線與圓相切，符合題意；2°若直線斜率存在，設直線方程為，即.由直線與圓相切可得：，解得．此時直線的方程為：，綜上直線的方程為：或．【小問2詳解】聯(lián)立，得：直線方程為．圓心到直線距離為，故公共弦長．18.若數(shù)列共有項，都有，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列是一個項數(shù)為的“對數(shù)等和數(shù)列”，其中稱為“對數(shù)等和常數(shù)”.已知數(shù)列是一個項數(shù)為的對數(shù)等和數(shù)列，對數(shù)等和常數(shù)為.（1）若，，，求的值；（2）定義數(shù)列滿足：，，2，3，…，m.（i）證明：數(shù)列是一個項數(shù)為的對數(shù)等和數(shù)列；（ii）已知數(shù)列是首項為1024，公比為的等比數(shù)列，若，求的值.【正確答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）由題干信息可得，即可得答案；（2）（i）注意到，即可證明結論；（ii）由題可得表達式，后由裂項求和法可得答案.【小問1詳解】依題意，又，所以，即.【小問2詳解】（i）依題意，則，因此，從而，即數(shù)列是一個項數(shù)為的對數(shù)等和數(shù)列.（ii）依題意，，即，即，則，又，故，即，此時，即，，注意到，所以.19.已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點，且右焦點到雙曲線漸近線的距離為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于兩點．①若直線過橢圓右焦點，且的面積為，求實數(shù)的值；②若直線過定點，且，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，則求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）①；②存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義和點到雙曲線漸近線的距離求出橢圓方程；（2）①聯(lián)立后根據(jù)弦長公式求出弦長