2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題1．求長軸長是短軸長的倍，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（

）A． B．C．或 D．2．已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（

）A． B． C． D．3．已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（

）A．1或 B．1 C．3 D．或34．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，，，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．16．已知圓和圓，則圓和圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線與圓有三個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于D．過直線的平行線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則8．在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．二、多選題9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B．若空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．若空間向量滿足，則與夾角為鈍角D．若空間向量，則在上的投影向量為10．已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為B．C．若，則的面積為D．最大值為11．如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．；B．當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，，，共面；C．當(dāng)時(shí)，；D．的最小值為．三、填空題12．過兩點(diǎn)的直線l的傾斜角為，求的值為．13．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，若為橢圓上一點(diǎn)，14．在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點(diǎn)是正方體表面上的一點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題15．在中，邊，上的高所在直線的方程分別為與，點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)求邊的高所在直線的一般式方程；(2)求邊的中線所在直線的斜率.16．已知直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.17．已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方.(1)求圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長等于，求直線的方程.18．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且分別為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值；(3)在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，請求出點(diǎn)的軌跡長度；若不存在，請說明理由．19．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作直線，交軌跡于，兩點(diǎn)，，不在軸上.（i）過點(diǎn)作與直線垂直的直線，交軌跡于，兩點(diǎn)，記四邊形的面積為，求的最大值；（ii）設(shè)軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)為，直線，相交于點(diǎn)，試證明點(diǎn)在定直線上，求出該直線方程.答案：題號12345678910答案CDCDDCCCABDBCD題號11答案BCD1．C【分析】分析可知，，對橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，，若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.2．D【分析】分析可知，，根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出的值.【詳解】因?yàn)槭侵本€的方向向量，是平面的法向量，且，則，則，所以，，解得，，因此，.故選：D.3．C【分析】根據(jù)圓方程可得，確定或，再根據(jù)圓關(guān)于直線對稱可得圓心在直線上即可求解.【詳解】因?yàn)槭菆A的方程，所以，解得或，又因?yàn)閳A的圓心為，且圓關(guān)于直線對稱，所以，即，解得，（舍）或，故選：C.4．D【分析】由得，然后兩邊平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量的夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，得，兩邊同時(shí)平方得，所以1，解得，又，所以.故選：D5．D【分析】利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為，即求的最小值，根據(jù)三角形性質(zhì)，當(dāng)三點(diǎn)共線得答案.【詳解】，為一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為，且，因?yàn)?，所以在橢圓外部，所以，即求的最小值，由于，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值，此時(shí)，，所以的最小值為1.故選：D6．C【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，再求解公切線條數(shù)即可.【詳解】我們將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，故它的圓心為，半徑，由題意得，半徑，則由兩點(diǎn)間距離公式得，故兩圓圓心距為5，滿足，故兩圓外切，圓和圓的公切線條數(shù)為3，故C正確.故選：C7．C【分析】將直線的方程化為，由可求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；求出與直線平行且距離為的直線方程，并判斷所求直線與圓的位置關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)；求出的值，分析可知，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，PC取最小值，結(jié)合勾股定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，直線的方程可化為，由可得，所以，直線恒過定點(diǎn)，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)與直線平行且與直線的距離為的直線的方程為，由平行線間的距離公式可得，解得，圓心為C?2,0，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以，直線、都與圓相交，所以，當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)橹本€與直線平行，則，解得，即點(diǎn)在直線上，連接，則，由勾股定理可得，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，PC取最小值，且，則，D錯(cuò).故選：C.8．C【分析】利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.【詳解】∵，∴．∵，∴．∵四點(diǎn)共面，∴，即．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，∴的最小值為1．故選：C9．ABD【分析】對于A，根據(jù)條件，利用線面位置判斷的向量法，即可求解；對于B，利用空間向量共面定理，即可求解；對于C，取，即可判斷選項(xiàng)C的正誤；選項(xiàng)D，根據(jù)條件，利用投影向量的定義，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，則，所以，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，得到，所以，即，所以共面，故選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與夾角不為鈍角，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，，所以在上的投影向量為，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10．BCD【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的定義可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由對勾函數(shù)可判斷D.【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因?yàn)椋?，設(shè)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，故D正確.故選：BCD.11．BCD【分析】以為基底，表示出相關(guān)向量，可直接判斷A的真假，借助空間向量共面的判定方法可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算可判斷CD的真假.【詳解】以為基底，則，，,.對A：因?yàn)?所以，故A錯(cuò)誤；對B：當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)，即時(shí)，，又，所以.故，，共面.故B正確；對C：因?yàn)椋裕?，所以，故，故C正確；對D：設(shè)，.因?yàn)?所以，.當(dāng)時(shí)，有最小值，為：，故D正確.故選：BCD12．.【分析】根據(jù)傾斜角計(jì)算出直線的斜率，再根據(jù)坐標(biāo)形式下斜率的計(jì)算公式求解出的值.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合，當(dāng)時(shí)，，符合，綜上.故答案為:13．【分析】由內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式，利用等面積法表示焦點(diǎn)三角形的面積，得到方程，即可得到離心率的方程，計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由題意，可知為橢圓通徑的一半，故，的面積為，又由于的內(nèi)切圓的半徑為，則的面積也可表示為，所以，即，整理得：，兩邊同除以，得，所以或，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率為.故答案為.14．【分析】求出外接球半徑，再由向量數(shù)量積運(yùn)算得出，分析范圍即可得解.【詳解】設(shè)正方體外接球的球心為，半徑為，則，即，所以，，當(dāng)與正方體的側(cè)面或底面垂直時(shí)，的長度取最小值，即最小值為1；當(dāng)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，的長取最大值，即最大值為.所以，故.故15．(1)；(2)【分析】（1）由兩條高線所在直線方程聯(lián)立求得垂足坐標(biāo)后，再計(jì)算直線的斜率得直線方程；（2）由垂直得出直線的斜率，從而可得直線方程，聯(lián)立方程組分別求得兩點(diǎn)坐標(biāo)后，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算出中點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算斜率．【詳解】（1）由，解得，因此垂足為，所以高所在直線的斜率為，直線方程為，即；（2）因?yàn)檫叄系母咚谥本€的方程分別為與，所以，，直線方程為，即，直線方程為，即，由，得，即，由得，即，所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．16．(1)或(2)或【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，消得到，利用，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)違達(dá)定量，利用（1）結(jié)果，得到，進(jìn)而有，根據(jù)題設(shè)有，即可求解.【詳解】（1）由，消得到，由題知，整理得到，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.（2）設(shè)，由（1），根據(jù)韋達(dá)定理得到，所以，又，所以，得到，又，所以，得到，整理得到，解得或，所以實(shí)數(shù)的值為或.17．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得出，利用點(diǎn)到直線的距離求出的值，可得出圓心坐標(biāo)，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離為，然后對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線的斜率，綜合可得出直線的方程.【詳解】（1）解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在直線上方，則，可得，因?yàn)榘霃綖榈膱A與相切，則，因?yàn)?，解得，所以，圓心為原點(diǎn)，故圓的方程為.（2）解：由勾股定理可得，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合乎題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.18．(1)證明見解析(2)(3)存在；【分析】（1）利用線面垂直的判定直接證明即可；（2）利用向量法求得線面角的正弦值即可；（3）推出點(diǎn)的軌跡是半徑為的一個(gè)圓，求出圓的周長即可.【詳解】（1）

（法一）如圖：連接，中，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，且，底面為菱形，所以，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，且，，平面，平面，

（法二）如圖：連接，中，為等邊三角形，為中點(diǎn)，，且，底面為菱形，，為中點(diǎn)，，在中，由余弦定理得：，即，平面平面（2）

由（1）知：，如圖：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，分別為的中點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則．則，所以，取，則，平面的一個(gè)法向量為．平面的一個(gè)法向量為，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則．即直線與平面所成角的正弦值為．（3）（3）（法一）存在點(diǎn)，使．理由如下：點(diǎn)在以線段中點(diǎn)為球心，2為半徑的球面上．，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則．則，則，取，則．平面的一個(gè)法向量為．點(diǎn)到平面的距離為．，記，在平面內(nèi)存在點(diǎn)，且點(diǎn)的軌跡是半徑為的一個(gè)圓，即點(diǎn)的軌跡長度為．（3）（法二）存在點(diǎn)，使．理由如下：點(diǎn)在以線段中點(diǎn)為球心，2為半徑的球面上．是的中點(diǎn)點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，連接，在中，由余弦定理得：即，，即，，．，即點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為．，記，

在平面內(nèi)存在點(diǎn)，且點(diǎn)的軌跡是半徑為的一個(gè)圓，即點(diǎn)的軌跡長度為．19．(1)(2)（i）7（ii）證明見解析，【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式和幾何法求弦長表示.（i）結(jié)合點(diǎn)線距公式、基本不等式和三角形面積公式，分類討論當(dāng)、時(shí)S的取值范圍即可；（ii）設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，直線【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，化簡得，所以點(diǎn)的軌