2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．73．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．4．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．7．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點(diǎn)A到直線BC的距離為（

）A． B．1 C． D．8．已知直線與曲線恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．直線在軸上的截距為B．直線必過(guò)定點(diǎn)C．若過(guò)點(diǎn)1,2的直線的截距相等，則該直線方程為或D．若兩直線平行，則或10．已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， B．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．直線的方程為 D．11．如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若為的中點(diǎn)，則直線平面C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是D．直線與平面所成角的正弦的最大值為三、填空題12．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為13．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，與的右支交于點(diǎn)，若，則的離心率為．四、解答題15．求經(jīng)過(guò)直線和直線的交點(diǎn)C，并且滿(mǎn)足下列條件的直線方程.(1)與直線平行；(2)到原點(diǎn)的距離等于1.16．在平面內(nèi)，，，C為動(dòng)點(diǎn)，若，(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)（1，2），求曲線C截直線l所得的弦長(zhǎng)的最小值.17．如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是半球面上一點(diǎn)，且．

(1)證明：平面：(2)若點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為.過(guò)橢圓左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求線段的垂直平分線的方程；（3）求三角形的面積.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）19．已知雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線方程為，過(guò)做直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)與雙曲線右支交于兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：題號(hào)12345678910答案ADACBCADBCCD題號(hào)11答案ACD1．A【分析】求出直線的斜率，然后根據(jù)斜率的定義即可求得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，方程可化為，所以直線的斜率為，即，又，所以?xún)A斜角.故選：A.2．D【分析】根據(jù)兩平面垂直可得法向量垂直，即可根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由，所以，，解得.故選：D.3．A【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸以及離心率即可求解.【詳解】由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，可得，又離心率為，即，解得，故，所以橢圓方程為，故選：A4．C【分析】求出垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點(diǎn)為，由，解得：，∴,∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：C.5．B根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)閳A，圓，所以，，所以，所以?xún)蓤A相交，所以?xún)蓤A的公切線的條數(shù)為2，故選：B6．C【分析】根據(jù)雙曲線離心率求得，再根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線垂直列出，求解.【詳解】，所以，得漸近線為，因?yàn)槠渲幸粭l漸近線與直線垂直，則，得．故選：C7．A【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點(diǎn)A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選：A本題主要考查了向量坐標(biāo)的運(yùn)算，向量的模，向量的夾角，屬于容易題.8．D【分析】先運(yùn)算轉(zhuǎn)化曲線的方程形式，再作出圖形，數(shù)形結(jié)合，隨著直線平行移動(dòng)，與曲線有三個(gè)不同交點(diǎn)，求出直線截距范圍即可.【詳解】曲線可化為，當(dāng)時(shí)，，則，故此時(shí)曲線為橢圓的上半部分；當(dāng)時(shí)，，則，故此時(shí)曲線為雙曲線的上半部分，且漸近線方程為；直線，表示一組斜率為的平行直線，如圖，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)2,0時(shí)，，解得；當(dāng)直線與橢圓上半部分相切時(shí)，由，消化簡(jiǎn)得，由，解得，又直線與橢圓上半部分相切，則，故，要使直線與曲線恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖形可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.9．BC【分析】對(duì)A，令，求出直線在軸上的截距；對(duì)B，將直線方程變形后得到所過(guò)定點(diǎn)；對(duì)C，分截距為0和不為0，兩種情況，求出直線方程；對(duì)D，根據(jù)兩直線平行的充要條件求解.【詳解】對(duì)于A，令，可得，所以直線在軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線在軸和軸上截距都為時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入，可得，所以，當(dāng)直線在軸和軸上截距都不為時(shí)，設(shè)方程為，代入，解得：，故此時(shí)直線方程為，綜上，直線方程為或，故C正確；對(duì)于D，由題可得，解得或，當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程為，重合，矛盾，當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程為，滿(mǎn)足條件，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．CD【分析】由題意可求得判斷AB，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，寫(xiě)出直線方程判斷C，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)判斷D【詳解】由，得橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，則，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以AB錯(cuò)誤，設(shè)，則，，兩式作差得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，，所以，所以直線的方程為，即，所以C正確，由和，得，則，所以，所以D正確，故選：CD11．ACD【分析】證明出平面，可知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在正四棱柱中，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?，所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，為定值，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則，，所以，，所以，與不垂直，故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面不垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，設(shè)，則，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，因此，異面直線與所成角的正弦值的范圍是，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，此時(shí)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為，D對(duì).故選：ACD.方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿(mǎn)足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.12．8【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，求出的最大值．【詳解】設(shè)，，，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為8.故8.13．【分析】先將表示為，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合長(zhǎng)度和角度求解出.【詳解】因?yàn)椋裕?故答案為.14．/【分析】先利用條件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式計(jì)算得到，進(jìn)而根據(jù)求出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，則，則，所以，又，所以，整理得，所以.故答案為.

15．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用兩直線平行的充要條件可求，即得解；（2）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用點(diǎn)到直線距離求解，即得解.【詳解】（1）設(shè)所求直線為，即，因?yàn)榇酥本€與平行，所以，解得，故所求直線為.（2）由于原點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)所求直線為，即，所以，解得或，故所求直線方程為或.16．(1)(2)【分析】(1)代入法即可求得軌跡方程為圓.(2)由直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)在圓內(nèi)即可得到弦長(zhǎng)最小值.【詳解】（1）設(shè)，，，，得.（2），點(diǎn)（1，2）在圓內(nèi)，當(dāng)直線l為如圖所示位置時(shí)，當(dāng)直線與點(diǎn)(1,2)與圓心連線垂直時(shí)，截得弦長(zhǎng)CD最短，即，.故最短弦長(zhǎng)為.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，可證為的中點(diǎn)且，可得，又，由線面垂直的判定可證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可求解.【詳解】（1）連接，因?yàn)槭堑酌姘雸A弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以有，又因?yàn)椋远紴檎切?，所以，四邊形是菱形，記與的交點(diǎn)為，為和的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以三角形為正三角形，所以，所以，因?yàn)槭前肭蛎嫔弦稽c(diǎn)，是半球的直徑，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．?）因?yàn)辄c(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點(diǎn)，為正三角形，所以，所以底面，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，即兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．18．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由條件得到，求橢圓方程；（2）直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立求線段的中點(diǎn)，寫(xiě)出垂直平分線方程；（3）利用弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可計(jì)算出三角形的面積.【詳解】（1）由題意可知，，，，橢圓的方程是；（2）橢圓的左焦點(diǎn),直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，得，，，代入直線的方程得，線段的中點(diǎn)是，并且線段的垂直平分線的斜率是-1，線段的垂直平分線的方程是，即；（3）由（2）可知，，，原點(diǎn)到直線的距離，.本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查直線方程和橢圓中三角形面積的求法，第二問(wèn)中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單，在解決圓錐曲線與動(dòng)直線問(wèn)題中，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式都是解題的基本工具.19．(1)(2)過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）由雙曲線幾何性質(zhì)求方程；（2）分斜率存在于不存在分別研究，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)，則直線的方程為，與雙曲線求交點(diǎn)得，同理，從而求出直線的方程，可證.【詳解】（1）由題意可知：解得雙曲線的方程為（2）當(dāng)直線的斜率存