2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期部分學(xué)生調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期部分學(xué)生調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，，則（）A． B．C． D．2．已知都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位4．已知平面向量，滿足，且，則在方向上的投影向量為（）A． B．C． D．5．函數(shù)的大致圖象為（）A．

B．

C．

D．

6．“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩·克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公布的一個(gè)猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3后加1.不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，最終都能夠得到1.若n經(jīng)過(guò)5次運(yùn)算后首次得到1，則n的所有不同取值的和為（）A．16 B．32 C．37 D．57．若正數(shù)a，b滿足，則（）A．128 B．108 C．2 D．18．定義在上的函數(shù)對(duì)，，都有，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知三條直線l，m，n和三個(gè)平面，，，則（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．已知函數(shù)，則（）A．的定義域（）B．是y=fx圖象的一條對(duì)稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的最大值為11．已知實(shí)數(shù)，滿足，則（）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列（）中，，成等比數(shù)列，，則.13．已知曲線在處的切線與曲線相切，則.14．已知集合，若集合，且M中的所有元素之和為奇數(shù)，稱M為A的奇子集，則A的所有“奇子集元素之和”的總和為.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求A；(2)若，內(nèi)切圓半徑，求a.16．已知數(shù)列滿足：，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，，求17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD與平面PBD夾角為45°.(1)點(diǎn)P，A，B，C，D均在同一球面上，求該球的體積；(2)點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱AB，BC，PB上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線AD與平面EFG所成角的正弦值18．已知函數(shù)（且），當(dāng)時(shí)，.(1)求；(2)若為的極小值，求的取值范圍；(3)證明.19．如果一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)，或是對(duì)有理數(shù)進(jìn)行有限次加、乘和開(kāi)二次方根運(yùn)算的結(jié)果，或是對(duì)這些結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行有限次加、乘和開(kāi)二次方根運(yùn)算的結(jié)果，則稱這個(gè)實(shí)數(shù)為可解數(shù).如果一個(gè)角的正弦值和余弦值都是可解數(shù)，則稱這個(gè)角為可解角.如：角都是可解角.(1)判斷，，是否為可解數(shù)（無(wú)需說(shuō)明理由）；(2)證明：角是可解角；(3)已知每個(gè)可解數(shù)a都是某些整系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)（）的零點(diǎn)，這些多項(xiàng)式中，x的最高次數(shù)n最小，且系數(shù)，，，…，的最大公約數(shù)為1的多項(xiàng)式函數(shù)稱為a的最小多項(xiàng)式函數(shù).任一可解數(shù)a的最小多項(xiàng)式函數(shù)中x的最高次數(shù)n必為（）.例如：的最小多項(xiàng)式函數(shù)不是，而是.證明：角不是可解角，并求整數(shù)度數(shù)的銳角中最小的可解角.

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所?所以,,所以.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，當(dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】，所以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位即得函數(shù)的圖象，故選：D．4．【正確答案】A【詳解】由已知，在方向上的投影向量為，故選：A．5．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，故D錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以函?shù)在上存在單調(diào)減區(qū)間，故B錯(cuò)誤；故選：A6．【正確答案】C【詳解】如果正整數(shù)按照上述規(guī)則經(jīng)過(guò)5次運(yùn)算得到1，則經(jīng)過(guò)4次運(yùn)算后得到的一定是2；經(jīng)過(guò)3次運(yùn)算后得到的一定是4；經(jīng)過(guò)2次運(yùn)算后得到的為8或1（不合題意）；經(jīng)過(guò)1次運(yùn)算后得到的是16；所以開(kāi)始時(shí)的數(shù)為5或32.可得5+32=37.故選：C.7．【正確答案】B【詳解】令，則，，，因?yàn)?，所以，所以，故選：B．8．【正確答案】B【詳解】不妨設(shè)，所以.設(shè)，則在上單調(diào)遞減.又，即，所以為偶函數(shù).又不等式可化為：，即，所以.故選：B9．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，則，故A正確；對(duì)于BC,在正方體中，選項(xiàng)B：取為平面，為平面，，符合題設(shè)，但平面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：取為平面，為平面，，但平面與平交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，顯然，所以，故D正確；故選：AD.10．【正確答案】ABD【詳解】由得，A正確；，所以是是y=fx圖象的一條對(duì)稱軸，B正確；，，時(shí)，，遞減，，遞減，從而遞減，所以遞減，所以遞減，C錯(cuò)；時(shí)，，，同理選項(xiàng)C可得在上遞增，的最小正周期是，所以，D正確．故選：ABD．11．【正確答案】BC【詳解】因?yàn)?，所以，即，則，令，，，則，，所以，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；，因?yàn)?，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC12．【正確答案】25或13；【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，所以或，若，則，，則，，，，故13或25.13．【正確答案】/【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，則切線方程為，即；又因?yàn)椋瑒t，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，即，可得，解得.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)為的奇子集，則若，令，若，令為把中的去掉后剩下的元素形成的集合，則中的所有元素之和為偶數(shù)，可稱為偶子集，顯然每個(gè)奇子集，均恰有一個(gè)偶子集與之對(duì)應(yīng)，每個(gè)偶子集，均恰有一個(gè)奇子集與之對(duì)應(yīng)，故的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；對(duì)任一，含的子集共有個(gè)，用上面的對(duì)應(yīng)方法可知，在時(shí)，這個(gè)子集中有一半為奇子集，在時(shí)，由于，將上邊的3換成5，同樣可得其中有一半為奇子集，于是在計(jì)算奇子集元素之和時(shí)，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)1【詳解】（1）由正弦定理得因?yàn)?，所以所以即，且，所以?）又因?yàn)樗?，即，所以①，由余弦定理得②，所以，所以，解?6．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由題知：，因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以，所以；（2）因?yàn)?，，兩式作差得，所以，易求得，，，因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面PCD，所以，同理：，又因?yàn)椋矫鍭BCD，所以平面ABCD，由題知，由平面ABCD為矩形知：，所以，所以，ABCD為正方形，記PB中點(diǎn)為，可求得：，所以O(shè)為該球的球心，其半徑因此，該球的體積（2）若平面EFG與平面PAC不平行，依平行性，不妨將點(diǎn)G放在點(diǎn)P的位置，不妨設(shè)E不在A的位置，則，，不合題意若平面平面PAC，則，所以，所以為等邊三角形，又因?yàn)槠矫嫫矫鍼AC，兩平面的法向量共線，所以直線AD與平面EFG所成角等于AD與平面PAC所成角以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則P0,0,1，，A1,0,0，，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，所以，令，得顯然，設(shè)AD與平面PAC所成角為，則18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由知，的最小值為所以解得，即（2）函數(shù)fx的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故只需研究的情況，若，則，令，則，所以?x在0,+∞所以，在0,+∞上單調(diào)遞增，依對(duì)稱性，在上單調(diào)遞減，故為極小值若，，令gx=f令，即，解得（舍），所以因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，f'x在上單調(diào)遞減，所以f'x在上均小于，所以在上單調(diào)遞減，而，故不合題意，綜上，的取值范圍為；（3）結(jié)合（2）：令，則，解得令，即，得，則，解得，所以．19．【正確答案】(1)是可解數(shù)，是可解數(shù)，不是可解數(shù)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析；是整數(shù)度數(shù)的銳角中的最小可解角【詳解】（1）根據(jù)題意可知：是可解數(shù)，是可解數(shù)，不是可解數(shù)（2）設(shè)，則又因?yàn)?，所以，解方程，得是可解?shù)，又顯然是可解數(shù)，所以72°角是可解角.（3）先證明角不是可解角.因?yàn)椋?，即是的零點(diǎn)根據(jù)已知結(jié)論，若是可解數(shù)，那么它的最小多項(xiàng)式函數(shù)最高次項(xiàng)次數(shù)只能是1或2，即有整系數(shù)一次或二次因式，法1：假設(shè)，整數(shù)a，b，c的最大公約數(shù)為1，整數(shù)p，q互質(zhì)，不妨令，，（，完全同理）則若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無(wú)解；若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無(wú)解；若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無(wú)解；若，，當(dāng)時(shí)，，則且，無(wú)解；同理，若，，也均無(wú)解說(shuō)明不可能是可解數(shù)，20°角不是可解角法2：有整系數(shù)一次或二次因式，說(shuō)明存在有理零點(diǎn)設(shè)它的有理零點(diǎn)為，m，n是互質(zhì)的整數(shù).于是，，所以，