2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市肇東市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市肇東市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題1.已知點(diǎn)，且直線AB與直線CD垂直，則的值為（）A.?7或0 B.0或7 C.0 D.7【正確答案】B【分析】根據(jù)直線的斜率存在和不存在分類討論，利用兩直線垂直的性質(zhì)，即可求解．當(dāng)時，直線AB的斜率不存在，直線CD的斜率為此時直線AB的方程為x=0，直線CD的方程為，故;當(dāng)時，則解得，綜上，或.故選：B.2.已知兩直線和，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用兩直線平行的充要條件，列出關(guān)于的方程，即可得到答案.因為，所以，且，解得.故選：A.3.已知點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】求出PA，PB所在直線的斜率，判斷直線l的傾斜角與斜率的變化，數(shù)形結(jié)合得答案．點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率滿足或，即或，所以直線l的斜率的取值范圍為.故選：D4.在正方體中，直線與平面所成的角為（）.A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算線面夾角即可.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則，令，即，所以，所以.故選：B5.空間四邊形中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】由向量的三角形法則和平行四邊形法則，利用基底表示向量．點(diǎn)為的中點(diǎn)，則有，所以.故選：B.6.，若則（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量的平行性質(zhì)，列出方程組，解出的值，即可得答案.根據(jù)，則存在一個常數(shù)使得，所以可得，解之可得，所以故選：C7.設(shè)是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用求解即可.因為，，所以，又，所以，所以.故選：D.8.如圖，在直三棱柱中，底面三角形為直角三角形，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.在直三棱柱中，底面三角形為直角三角形，，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、，所以，，，則.故選：A.二、多選題9.直線的方向向量為，兩個平面、的法向量分別為、，則下列命題為真命題的是（）A若，則直線平面B.若，則直線平面C.若，則直線與平面所成角的大小為D.若，則平面、所成夾角的大小為【正確答案】BCD【分析】利用空間向量法逐項判斷，可得出合適的選項.對于A，若，則或，A錯；對于B，若，則，B對；對于C，若，則直線與平面所成角的大小為，C對；對于D，若，則平面、所成夾角的大小為，D對.故選：BCD.10.已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.在軸上的截距為 B.過點(diǎn)且不垂直x軸C.若，則或 D.若，則【正確答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)直線方程求截距即可；對于B：根據(jù)直線方程分析斜率和定點(diǎn)，即可得結(jié)果；對于C：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)直線垂直列式求參即可.對于選項A：因為直線，令，解得，所以在軸上的截距為，故A正確；對于選項B：因為直線的斜率，即斜率存在，直線不垂直x軸，且，即直線過點(diǎn)，故B正確；對于選項C：若，則直線、均，即兩直線重合，不平行，故C錯誤；對于選項D：若，則，解得，故D正確；故選：ABD.11.對于事件和事件，，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與互斥，則C.若，則D.若與相互獨(dú)立，則【正確答案】ABD【分析】利用兩事件的互斥定義和互斥事件的概率加法公式易判斷A,B；根據(jù)兩事件的包含關(guān)系易求得積事件的概率，可判斷C；利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可判斷D.對于A，當(dāng)與互斥時，，故，即A正確；對于B，當(dāng)與互斥時，，故，即B正確；對于C，當(dāng)時，，故，故C錯誤；對于D，若與相互獨(dú)立，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.設(shè)甲在第一、第二、第三局比賽中獲勝的概率分別為，，，則甲恰好連勝兩局的概率為___________.【正確答案】【分析】甲恰好連勝兩局有兩種不同的情況，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式可計算每種情況的概率，加和即為所求結(jié)果.甲恰好連勝兩局有：前兩局獲勝，第三局失利和第一局失利，后兩局獲勝兩種情況，甲恰好連勝兩局的概率.故答案為.13.直線與軸交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的一般式方程為______.【正確答案】【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的傾斜角得出旋轉(zhuǎn)后直線的傾斜角，由斜截式得直線方程，再整理即得．在中令得，所以，又直線的斜率為，傾斜角為，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，直線方程為，一般式為.故．14.已知向量，且，則________，_________.【正確答案】①.##②.##【分析】利用空間向量的垂直關(guān)系即可求解；根據(jù)向量的加法及模的運(yùn)算即可求解.因為，，當(dāng)時，所以，所以；因為，，，所以.故；.四、解答題15.已知平面，四邊形為正方形．（1）證明：（2）求與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得，，進(jìn)而可得，可證結(jié)論．（2）求得的一個法向量，的一個方向向量，利用向量的夾角公式可求與平面所成角的正弦值.【小問1】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，∵，，∴∴；【小問2】設(shè)平面的一個法向量為，∵，，∴，∴，令，則，∴平面的一個法向量為；∵∴，∴與平面所成角的正弦值為.16.，，三人參加知識闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立.已知闖關(guān)成功的概率是，，，三人闖關(guān)都成功的概率是，，，三人闖關(guān)都不成功的概率是.（1）求，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）求，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.【正確答案】（1），兩人各自闖關(guān)成功的概率都是.（2）【分析】（1）記三人各自闖關(guān)成功分別為事件，三人各自獨(dú)立闖關(guān)，由題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式可列出方程組，從而解得，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式計算即可．【小問1】記三人各自闖關(guān)成功分別為事件，三人闖關(guān)成功與否得相互獨(dú)立，且滿足，解得，，所以，兩人各自闖關(guān)成功的概率都是.【小問2】設(shè)，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件，則，所以三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率為.17.如圖，已知，，，直線．（1）證明直線經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線等分的面積，求直線的一般式方程；【正確答案】（1）證明見解析；定點(diǎn)為（2）【分析】（1）方程整理得，可得方程組，解之即得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）判斷為正三角形，推理點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），由求得，設(shè)，利用求出點(diǎn)坐標(biāo)，即得直線方程.【小問1】由，整理得，由解得，即直線經(jīng)過定點(diǎn)；【小問2】如圖，因，，，,可得：,即為正三角形，又由，可知點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），則,由題意，直線必與邊相交（否則若與邊相交于點(diǎn),則,不合題意），設(shè)交點(diǎn)為，依題意，由，可得,解得，則.設(shè)點(diǎn)，由,可得，解得，即,于是，,故直線的方程為：，即.18.直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12．（1）求直線的方程（2）求直線與兩條坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積．【正確答案】（1）或（2）或【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入，進(jìn)一步求出和的值，從而求出答案；（2）借助（1）中求出的和，結(jié)合面積公式即可求.【小問1】由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，因此直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在且不過原點(diǎn)，故可設(shè)直線方程為：，且，①又因為直線過點(diǎn)，所以，②由①②解得或，所以直線的方程為：或，即或.【小問2】由（1）可知，當(dāng)直線的方程為時，；當(dāng)直線的方程為時，，所以直線與兩條坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為或.19.在棱長為4的正方體中，點(diǎn)在棱上，且.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的正弦值.【正確