先考慮一個(gè)理想的情況無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子教材課程

先考慮一個(gè)理想的情況——無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子.在阱內(nèi)

能量本征方程為勢(shì)阱表示為為粒子質(zhì)量,

2.2方勢(shì)阱2.2.1無(wú)限深方勢(shì)阱,離散譜注意與是待定常數(shù).而按照邊條件,得即給出的波函數(shù),無(wú)物理意義,而取負(fù)值與取正值所給出的波函數(shù)描述的是同一個(gè)量子態(tài).n0=n則方程(2)的解可表示為按邊條件則要求

聯(lián)合式(5)和(3)結(jié)論

一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的，即構(gòu)成的能譜是離散的．

稱為體系的能量本征值.與En

對(duì)應(yīng)的波函數(shù)記為稱為能量本征函數(shù)，利用歸一化條件則歸一化的波函數(shù)表示為

,取為實(shí)數(shù).則方程的解具有如下指數(shù)函數(shù)形式

但考慮到束縛條件（要求處），波函數(shù)應(yīng)取如下形式這正是2.21無(wú)限方勢(shì)阱的邊條件的根據(jù)常數(shù)和待定.當(dāng)（無(wú)限深勢(shì)阱）即,則當(dāng)上式.在阱內(nèi)(,經(jīng)典允許區(qū)),能量本征方程為(a)偶宇稱態(tài)引入無(wú)量綱參數(shù)令

則方程的解可表為如下振蕩函數(shù)形式:根據(jù)和(14)式,有得到(b)奇宇稱態(tài)對(duì)于超越方程組(15),可用數(shù)值計(jì)算求解或用圖解法近似求解.利用的連續(xù)條件可求出與偶宇稱態(tài)類似,引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù),則上式化為時(shí),才可能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級(jí).即奇宇稱態(tài)與偶宇稱態(tài)不同,只當(dāng)從而能確定能量本征值.2.2.3束縛態(tài)與離散態(tài)束縛能量本征態(tài)

的能量是離散的,按照能量本征方程在經(jīng)典允許區(qū)

波函數(shù)是的振蕩函數(shù)

而且在愈大的地方,振蕩愈快.此外,由于與的正負(fù)號(hào)相反,

總是向軸彎曲.

區(qū)域,曲線向下彎;區(qū)域,曲線向上彎.結(jié)論與此不同,在經(jīng)典的禁區(qū)波函數(shù)是的指數(shù)上升或下降的函數(shù)無(wú)振蕩現(xiàn)象.由于與的正負(fù)號(hào)相同,總是背離軸彎曲，即在

區(qū)域,

曲線向上彎曲;在

區(qū)域

曲線向下彎曲.根據(jù)上述特點(diǎn),可以定性討論粒子能量的可能取值(即本征值)以及波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).()xyy2.2.4方勢(shì)壘的反射與透射設(shè)具有一定能量的粒子沿軸正方向射向方勢(shì)壘從量子力學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，考慮到粒子的波動(dòng)性,此問(wèn)題與波碰到一層厚度為的介質(zhì)相似,即有一部分波透過(guò),一部分波被反彈回去.先考慮情況.在勢(shì)壘外(,經(jīng)典允許區(qū)),能量的本征方程表示為由于勢(shì)壘的存在,在區(qū)域中,既有入射波

,

也有反射波

,而在區(qū)域中只有透射波所以所以式中和分別表示反射波與透射波,相應(yīng)的反射流密度和透射流密度分別為所以反射系數(shù)=

投射系數(shù)=其可取為通解在勢(shì)壘內(nèi)部(,經(jīng)典禁區(qū)),其能量本征方程為按式在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致上兩式相加減,分別得消去R

解出類似,在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致因此,為透射系數(shù)類似,消去S,可得出R,而反射系數(shù)為透射系數(shù)表示粒子被勢(shì)壘反彈回去的概率,表示粒子透過(guò)勢(shì)壘的概率.可以看出粒子能穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象,成為隧穿效應(yīng).對(duì)于情況,從式可以看出,只需在式中,把利用式,可改寫成此時(shí)對(duì)于方勢(shì)阱的透射,上述理論仍然適用,透射系數(shù)T仍由式給出,但應(yīng)把,即2.2.5方勢(shì)阱的反射,透射與共振由式可以看出，如果，則一般來(lái)說(shuō)T值很小，除非入射粒子能量E合適，使此時(shí)，T=1（反射系數(shù)），這現(xiàn)象稱為共振透射.它出現(xiàn)的條件是或改寫成由式可求出共振時(shí)的能量共振能級(jí)如粒子能量很小，按2.2.2節(jié)的討論，是