結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：矩陣位移法

矩陣位移法教學(xué)目標(biāo)：了解梁單元、桁架單元、平面剛架單元在局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣及其轉(zhuǎn)換公式。

掌握利用單元定位向量集成整體剛度矩陣和形成等效結(jié)點(diǎn)荷載向量的方法。理解矩陣位移法的基本概念。矩陣位移法教學(xué)內(nèi)容：9.1單元分析——單元?jiǎng)偠染仃?.2整體分析——結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣9.3整體分析——矩陣位移法的基本方程及等效結(jié)點(diǎn)荷載向量9.4矩陣位移法基本解題步驟9.5矩陣位移法計(jì)算連續(xù)梁9.6矩陣位移法計(jì)算剛架9.7矩陣位移法計(jì)算桁架和組合結(jié)構(gòu)本章小結(jié)矩陣位移法引

言1.傳統(tǒng)位移法分析未知結(jié)點(diǎn)位移回代桿端力表達(dá)式求桿端力，繪內(nèi)力圖將結(jié)構(gòu)離散化分析每個(gè)桿件的桿端力建立平衡方程求解結(jié)點(diǎn)位移BACMBMABBC

9-1概述理論基礎(chǔ)：傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)學(xué)形式：矩陣計(jì)算手段：電子計(jì)算機(jī)2.矩陣位移法與傳統(tǒng)位移法的比較：理論同源，作法有別。前者以手算為主，后者以電算為主?；麨榱恪獑卧治鰡卧?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠确匠叹哿銥檎w分析整體剛度矩陣整體剛度方程

9-1概述9.1單元分析——單元?jiǎng)偠染仃嚱虒W(xué)目標(biāo)：了解和掌握梁單元、桁架單元、平面剛架單元在局部坐標(biāo)系的剛度矩陣。教學(xué)內(nèi)容：一般單元的局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)特殊單元

9.1單元分析9.1.1局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃?.1單元分析基本單元：結(jié)構(gòu)中具有代表性的桿件。

除發(fā)生彎曲變形外，也會(huì)產(chǎn)生軸向和剪切變形。單元選?。阂詶U件的聯(lián)結(jié)點(diǎn)、邊界點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)。

結(jié)點(diǎn)之間的桿件部分作為單元。

單元一般為直桿（也可以為曲桿）

本章中只取直桿單元作為基本單元，進(jìn)行矩陣位移法分析。①②③④ABDEC多跨梁ABDE①②③④C剛架⑤⑥FG直桿單元e一般單元

1.一般單元符號(hào)規(guī)則12eEAIl1212局部坐標(biāo)系單元編號(hào)結(jié)點(diǎn)編號(hào)桿端位移編號(hào)桿端力編號(hào)■彎矩、轉(zhuǎn)角：繞桿端順時(shí)針為正；■其它：與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?。凡是符?hào)上面帶了一橫杠的就表示是基于局部坐標(biāo)系而言的。

2.桿件單元局部碼——局部坐標(biāo)系12

桿端位移向量

桿端力向量12

3.單元桿端位移向量和單元桿端力向量由單元桿端位移求單元桿端力時(shí)所建立的方程。首先在桿端兩端加上人為控制的附加約束，

使體系發(fā)生任意指定的位移。然后根據(jù)位移推算相應(yīng)的桿端力。12

4.單元?jiǎng)偠确匠梯S向變形4.單元?jiǎng)偠确匠虖澢冃?/p>

4.單元?jiǎng)偠确匠毯雎暂S向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互影響，得

4.單元?jiǎng)偠确匠叹植孔鴺?biāo)系下的一般單元?jiǎng)偠确匠?/p>

4.單元?jiǎng)偠确匠蹋?）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義即第3個(gè)桿端位移為1，其它桿端位移為0時(shí),產(chǎn)生的第6個(gè)桿端力的值。000001單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)一般地，剛度系數(shù)即第

j個(gè)桿端位移分量取單位值1，其它桿端位移為0時(shí)所引起的第i個(gè)桿端力分量的值。（2）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣依據(jù)：反力互等定理單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義單位桿端位移引起的桿端力單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)局部坐標(biāo)系下的一般單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)稱單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)（3）一般單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃嚲仃囆辛惺降扔诹悖骊嚥淮嬖?。由桿端位移可求解桿端力，且是唯一解由桿端力求桿端位移，可能無解；如有解也是非唯一解。單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)當(dāng)只給定6個(gè)桿端力分量時(shí)，一是無法保證力狀態(tài)的合法性，二是無法確定桿的支承條件。前者可能造成無解，后者可能造成非唯一解（存在剛體運(yùn)動(dòng)）。12單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)(1)連續(xù)梁單元5.特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃嚰皢卧獎(jiǎng)偠确匠虇卧攸c(diǎn)：單元的桿端沒有線位移，只有角位移單元?jiǎng)偠确匠虨椋悍瞧娈?，可逆單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?000由于不計(jì)算，所以劃去1、2、4、5行由于為0，所以劃去1、2、4、5列(1)連續(xù)梁單元由一般單元推導(dǎo)至特殊單元5.特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃嚰皢卧獎(jiǎng)偠确匠?2)桁架單元單元特點(diǎn)：只有軸向變形，沒有彎曲和剪切變桁架中鏈桿單元的單元?jiǎng)偠染仃囀窃鯓拥模科娈愋裕?.特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃嚰皢卧獎(jiǎng)偠确匠?3)其它特殊單元單元特點(diǎn)：只有軸向變形，沒有彎曲和剪切變5.特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃嚰皢卧獎(jiǎng)偠确匠?0009.1.2整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囌w分析的主要目的是將單元集合成整體（結(jié)構(gòu)）。由單元?jiǎng)偠染仃嚢磩偠燃梢?guī)則形成整體剛度矩陣。教學(xué)目標(biāo)：掌握一般單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣掌握一般單元在整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃?。教學(xué)內(nèi)容：單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃噚y需要有一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系統(tǒng)

1.單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣xy(e)xyFx2Fy2M2M1Fy1Fx1由x軸到

x軸的夾角α以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。xy(e)xyFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1xy

1.單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣xy(e)xyFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1xy

1.單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

1.單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣

1.單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣局部坐標(biāo)系的剛度矩陣整體坐標(biāo)系的剛度矩陣

2.整體坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

已有關(guān)系：單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)

2.整體坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃囋豮ij的物理意義對(duì)稱性奇異性整體坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠确匠陶w坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠确匠痰男再|(zhì)

2.整體坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?-1：圖示剛架結(jié)構(gòu)，已建立單元的局部坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系；

橫梁AB橫截面b×h=240mm×400mm；

斜桿AC橫截面b×h=200mm×300mm

吧；E=3.0×104N/mm2。

求各單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

建立整體坐標(biāo)系桿單元編號(hào)建立單元局部坐標(biāo)系解：示例

3.示例（1）單元基本參數(shù)（統(tǒng)一單位：kN、m）（2）局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?）整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃噯卧伲簡卧冢涸噷懗鰣D示剛架的單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄕw坐標(biāo)系）。設(shè)各桿的E、A、I為相同且為常數(shù)，其值同前例。4m5m2m3m整體坐標(biāo)系單元編碼單元局部坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)轉(zhuǎn)換矩陣整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算步驟：

4.課堂練習(xí)單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃?/p>

5.小結(jié)9.2整體分析——結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣教學(xué)目標(biāo)：理解單元定位向量的物理意義；掌握單元集成法集成整體剛度矩陣。教學(xué)內(nèi)容：

結(jié)點(diǎn)位移編碼

單元定位向量

單元集成法

剛架的整體剛度矩陣9.2.1結(jié)構(gòu)位移編碼——總碼單元編號(hào):坐標(biāo)系的設(shè)定:結(jié)點(diǎn)編號(hào)及結(jié)點(diǎn)位移編碼（總碼）：（先處理法）以每根桿件為獨(dú)立單元進(jìn)行順序編碼設(shè)定整體及局部坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系的x軸均與桿件軸線重合。當(dāng)局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的方向一致時(shí)，采用同一設(shè)定，以減少坐標(biāo)變換的工作量。對(duì)結(jié)構(gòu)體系中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)（包含支座處結(jié)點(diǎn)）進(jìn)行順序編碼。每個(gè)結(jié)點(diǎn)處有三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量。這三個(gè)分量按照整體坐標(biāo)系的x軸、y軸及轉(zhuǎn)動(dòng)方向的順序進(jìn)行編碼。9.2整體分析后處理法先處理法例9-19.2.2單元定位向量（1）→1（2）→2（3）→3（4）→4（5）→0（6）→5單元①局部碼總碼（1）→0（2）→0（3）→0（4）→1（5）→2（6）→3單元②局部碼總碼局部碼與總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)點(diǎn)整體力向量結(jié)點(diǎn)整體位移向量例：求圖示結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。9.2.3單元集成法整體剛度矩陣（1）

傳統(tǒng)位移法分析—考慮結(jié)點(diǎn)的貢獻(xiàn)分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)由△1引起的結(jié)點(diǎn)力偶由△2引起的結(jié)點(diǎn)力偶由△3引起的結(jié)點(diǎn)力偶

1.傳統(tǒng)位移法疊加原理：整體剛度矩陣

1.傳統(tǒng)位移法分別考慮每個(gè)單元對(duì)[F]的單獨(dú)貢獻(xiàn)，然后進(jìn)行疊加。單元①的貢獻(xiàn)2.單元集成法（2）

單元集成法分析—考慮單元的貢獻(xiàn)單元①的貢獻(xiàn)矩陣2.單元集成法單元②的貢獻(xiàn)②②2.單元集成法疊加原理：思路：2.單元集成法

單元對(duì)應(yīng)關(guān)系單元定位向量局部碼—總碼①→1→2②→2→32.單元集成法單元定位向量2.單元集成法利用單元定位向量進(jìn)行換碼。將這些元素一一累加到[K]中對(duì)應(yīng)的位置——稱為對(duì)號(hào)入座。單元第i

號(hào)桿端力第

號(hào)結(jié)點(diǎn)力單元第

j

號(hào)位移第

號(hào)結(jié)點(diǎn)位移定位向量換碼換碼例：2.單元集成法采用“邊定位，邊累加”，由[k]e

直接形成總體剛度矩陣。1231(1)2(2)(1)1(2)2(1)1(2)2123（3）單元集成法的實(shí)施方案2.單元集成法1232(1)3(2)(1)2(2)3(1)2(2)31232.單元集成法例9-1形成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣單元①例9-1形成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣單元②單元定位向量連續(xù)梁的整體剛度矩陣單元第i

號(hào)桿端力第

號(hào)結(jié)點(diǎn)力單元第

j

號(hào)位移第

號(hào)結(jié)點(diǎn)位移定位向量編碼（總碼、局部碼）、單元?jiǎng)偠染仃?、單元定位向量、整體剛度矩陣（總剛）

5.小結(jié)9.3整體分析——矩陣位移法的基本方程及等效結(jié)點(diǎn)荷載向量教學(xué)目標(biāo)：掌握等效結(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算。理解等效結(jié)點(diǎn)荷載的概念。

掌握矩陣位移法的基本方程教學(xué)內(nèi)容：結(jié)點(diǎn)荷載與非結(jié)點(diǎn)荷載

單元集成法求等效結(jié)點(diǎn)荷載

矩陣位移法的基本方程

9.3整體分析9.3.1矩陣位移法的基本方程第一階段，主動(dòng)控制結(jié)點(diǎn)位移——結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用。第二階段，主動(dòng)控制結(jié)點(diǎn)位移，使其為零，荷載的影響被限制在所在的單元。

——荷載單獨(dú)作用整體的結(jié)點(diǎn)附加約束力向量第三階段，疊加回原結(jié)構(gòu)。矩陣位移法的基本方程等效結(jié)點(diǎn)荷載向量9.3.2等效結(jié)點(diǎn)荷載向量1.結(jié)點(diǎn)荷載的等效作用于結(jié)點(diǎn)上的荷載按照其所對(duì)應(yīng)的總碼，直接寫入等效結(jié)點(diǎn)荷載的相應(yīng)位置即可。正負(fù)按照整體坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸正向及順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎怠?.非結(jié)點(diǎn)荷載的等效表9-3單元固端約束力（局部坐標(biāo)系）2.非結(jié)點(diǎn)荷載的等效坐標(biāo)變換單元①:單元②:定位集合至整體整體等效結(jié)點(diǎn)荷載3.

等效結(jié)點(diǎn)荷載向量的集成過程非結(jié)點(diǎn)荷載單元固端力向量坐標(biāo)變換整體坐標(biāo)系下對(duì)號(hào)入座整體固端力向量反號(hào)等效結(jié)點(diǎn)荷載向量非結(jié)點(diǎn)荷載單元固端力向量坐標(biāo)變換對(duì)號(hào)入座整體單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量反號(hào)等效結(jié)點(diǎn)荷載向量單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量3.

等效結(jié)點(diǎn)荷載向量的集成過程——可調(diào)整9.4矩陣位移法基本解題步驟教學(xué)目標(biāo)：掌握矩陣位移法計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。教學(xué)內(nèi)容：計(jì)算步驟

算例9.4.1初始數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段1.整體坐標(biāo)系及局部坐標(biāo)系的設(shè)定2.結(jié)點(diǎn)編碼以結(jié)點(diǎn)為對(duì)象進(jìn)行正整數(shù)編碼，包括與基礎(chǔ)聯(lián)結(jié)的支座結(jié)點(diǎn)單元編號(hào)結(jié)點(diǎn)位移編碼——總碼，一般采用先處理法進(jìn)行編碼，已知為零的結(jié)點(diǎn)位移編碼編為零。局部碼——默認(rèn)編碼3.單元定位向量λe4.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣Te9.4.2單元分析階段1.集成單元?jiǎng)偠染仃?.集成單元等效結(jié)點(diǎn)荷載9.4.3整體分析階段1.集成整體剛度矩陣2.集成整體結(jié)點(diǎn)荷載——單元集成法9.4.4基本方程的建立及求解階段1.矩陣位移法的基本方程2.解方程

，求結(jié)點(diǎn)位移向量3.求各單元的桿端內(nèi)力——單元集成法反回代【例9-1續(xù)】：已經(jīng)完成了初始數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段、單元分析階段及整體分析階段?，F(xiàn)進(jìn)行第四及第五階段，作出內(nèi)力圖。階段4：矩陣位移法基本方程及求解：階段5：回代，求單元桿端力疊加法求各桿的桿端內(nèi)力:結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖:彎矩圖(kN.m)剪力圖(kN)軸力圖(kN)9.5矩陣位移法計(jì)算連續(xù)梁連續(xù)梁一般為水平方向，不需要進(jìn)行坐標(biāo)變換。采用先處理法進(jìn)行結(jié)點(diǎn)位移編碼。已知為零的結(jié)點(diǎn)位移令其編碼為零。連續(xù)梁的矩陣位移法計(jì)算【例9-2】：忽略軸向變形的前提下，用矩陣位移法計(jì)算圖示連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，并繪制結(jié)構(gòu)的彎矩圖。1.初始數(shù)據(jù)準(zhǔn)備結(jié)點(diǎn)編碼單元編號(hào)局部坐標(biāo)系結(jié)點(diǎn)位移編碼單元定位向量2.單元分析階段單元?jiǎng)偠染仃噯卧潭肆ο蛄繂卧刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載向量連續(xù)梁的矩陣位移法計(jì)算3.整體分析階段整體剛度矩陣4.等效結(jié)點(diǎn)荷載向量結(jié)點(diǎn)荷載非結(jié)點(diǎn)荷載連續(xù)梁的矩陣位移法計(jì)算5.基本方程的建立及求解階段6.回代求桿端內(nèi)力單元定位向量反回代連續(xù)梁的矩陣位移法計(jì)算7.彎矩圖（kN.m）連續(xù)梁的矩陣位移法計(jì)算9.6矩陣位移法計(jì)算剛架剛架的矩陣位移法計(jì)算在某些工程結(jié)構(gòu)中，剛架結(jié)構(gòu)的軸向變形對(duì)結(jié)構(gòu)的影響很小，可以忽略不計(jì)。矩陣位移法計(jì)算時(shí)也可以忽略桿件的軸向變形。9.6.1矩陣位移法計(jì)算剛架——忽略桿件的軸向變形考慮軸向變形不考慮軸向變形會(huì)出現(xiàn)多個(gè)數(shù)據(jù)換碼到同一個(gè)座位的情況不考慮軸向變形會(huì)出現(xiàn)多個(gè)數(shù)據(jù)換碼到同一個(gè)座位的情況9.6.2有鉸結(jié)點(diǎn)的剛架

鉸結(jié)點(diǎn)所聯(lián)結(jié)的單元桿端不能產(chǎn)生相對(duì)移動(dòng)，但可產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

鉸結(jié)點(diǎn)所聯(lián)結(jié)的各個(gè)桿端的轉(zhuǎn)角位移進(jìn)行分別編碼。9.7矩陣位移法計(jì)算桁架和組合結(jié)構(gòu)9.7.1桁架（1）用鏈桿組成；（2）只承受結(jié)點(diǎn)荷載作用；（3）桿件的內(nèi)力只有軸力，每根桿件均只發(fā)生軸向變形。桁架斜桿單元：局部坐標(biāo)系下整體坐標(biāo)系下擴(kuò)容單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)轉(zhuǎn)換矩陣【例9-3】：如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，EA=100，矩陣位移法計(jì)算各桿軸力。1.初始數(shù)據(jù)準(zhǔn)備結(jié)點(diǎn)編碼單元編號(hào)局部坐標(biāo)系結(jié)點(diǎn)位移編碼單元定位向量2.單元分析階段(1)局部坐標(biāo)系下各單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒纠?-3】：如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，EA=100，矩陣位移法計(jì)算各桿軸力。(2)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣(3)整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒纠?-3】：如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，EA=100，矩陣位移法計(jì)算各桿軸力。3.整體分析階段整體剛度矩陣4.等效結(jié)點(diǎn)荷載向量5.基本方程的建立及求解階段【例9-3】：如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，EA=100，矩陣位移法計(jì)算各桿軸力。6.回代求桿端內(nèi)力（1）局部坐標(biāo)系下單元桿端結(jié)點(diǎn)位移向量（2）計(jì)算單元桿端力【例9-3】：如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，EA=100，矩陣位移法計(jì)算各桿軸力。7.軸力圖【例9-3】：如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，EA=100，矩陣位移法計(jì)算各桿軸力。9.7.2組合結(jié)構(gòu)

在計(jì)算組合結(jié)構(gòu)時(shí)，先區(qū)分桿件類型。對(duì)于梁式桿，采用一般單元的單元?jiǎng)偠确匠碳跋鄳?yīng)的計(jì)算公式。對(duì)于桁架桿，采用桁架單元的單元?jiǎng)偠确匠碳跋鄳?yīng)的計(jì)算公式。【例9-4】：如圖所示組合結(jié)構(gòu)。橫梁橫截面b×h=300mm×400mm；柱及桁架桿橫截面b×h=400mm×400mm；E=3.0×104N/mm2，忽略梁式桿件的軸向變形。繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。1.初始數(shù)據(jù)準(zhǔn)備結(jié)點(diǎn)編碼單元編號(hào)局部坐標(biāo)系結(jié)點(diǎn)位移編碼單元定位向量【例9-4】：如圖所示組合結(jié)構(gòu)。橫梁橫截面b×h=300mm×400mm；柱及桁架桿橫截面b×h=400mm×400mm；E=3.0×