2025屆山東省濟(jì)寧市鄒城市北大新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)寧市鄒城市北大新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以或.故選：C2.為虛數(shù)單位，若，則（）A.5 B.7 C.9 D.25【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故選：A.3.已知向量．若與平行，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由，得，而，與平行，因此，解得，所以實(shí)數(shù)λ的值為.故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，即，即，所以.故選：B.5.陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積(單位：)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：圓錐的母線長(zhǎng)為，所以這個(gè)陀螺的表面積是.故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，變形得，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，所以.故選：A．7.函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，如圖所示，要使的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則只需.故選：C.8.函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】因?yàn)?，且是定義在R上的偶函數(shù)，所以，令，則，所以，即，所以函數(shù)的周期為2，所以故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)．他各記錄了50次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車(chē)平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車(chē)平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)X和騎自行車(chē)用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車(chē)D.李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車(chē)【答案】BCD【解析】A.由條件可知，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故A錯(cuò)誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.f（x）無(wú)最大值 B.f（x）有唯一零點(diǎn)C.f（x）在（0，＋∞）單調(diào)遞增 D.f（0）為f（x）的一個(gè)極小值【答案】ACD【解析】，記因?yàn)椋?，在區(qū)間上顯然遞增，所以記為的零點(diǎn)，則有所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，D正確；由上可知，上單調(diào)遞增，且當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，也趨于正無(wú)窮，故AC正確；易知，故B錯(cuò)誤，故選：ACD11.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C與y軸的交點(diǎn)為， B.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱C.面積的最大值為2 D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，解得，即曲線C與y軸的交點(diǎn)為，，A正確；對(duì)于B，因，由換方程不變，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在曲線C上，，C不正確；對(duì)于D，由得：，解得，于得，解得，D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線分別為其左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】由于直線的斜率為2，因此，又，故，由雙曲線定義得，因此，又，所以，故雙曲線的離心率為.13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，可得，由，設(shè)曲線與曲線的公共點(diǎn)為，由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，所以，所以，由，可得，聯(lián)立可得，解得，所以，所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為.14.在n維空間中（，），以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中.則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是______；定義：在n維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則______.【答案】32【解析】（1）的可能值為0，1（，）.故五維立方體的頂點(diǎn)有個(gè).（2）依題意，樣本空間的樣本點(diǎn)記為，M，N為五維立方體的頂點(diǎn)樣本點(diǎn)總數(shù)：當(dāng)時(shí)，有k個(gè)第i維坐標(biāo)值不同，有個(gè)第i維坐標(biāo)值相同滿足的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為.所以.故分布列為：X12345P.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為．（1）求；（2）若，且的周長(zhǎng)為5，設(shè)為邊BC中點(diǎn)，求AD.解：（1）依題意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因?yàn)?，所以；?）依題意，，因?yàn)?，解得，因?yàn)椋?，所以?6.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程x=-1聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.17.在底面為梯形的多面體中．，且四邊形為矩形．點(diǎn)在線段上．（1）點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由，則為等腰直角三角形，有，則，則，在中，，取線段中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)橹本€平面，平面，所以直線平面，同理直線平面，又因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，因?yàn)橹本€平面，所以平面；（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，又，、平面，故平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以,設(shè)，其中，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，即，解得或，故存在點(diǎn)或.18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)．（ⅰ）求的值；（ⅱ）證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱．解：（1）由題意可知，則Fx的定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，則Fx在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，若，；若，，則Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)x在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）（?。┖瘮?shù)，則，，故．（ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使得曲線y=gx關(guān)于直線對(duì)稱，則關(guān)于直線對(duì)稱，所以由．可知曲線y=gx關(guān)于直線對(duì)稱．19.若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，，…，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．（1）已知數(shù)列bn是項(xiàng)數(shù)為8的對(duì)稱數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列，，，試寫(xiě)出bn的每一項(xiàng)．（2）已知是項(xiàng)數(shù)為（其中，且）的對(duì)稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？（3）對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫(xiě)出所有項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，并分別求出所有對(duì)稱數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)椋?，，成等差?shù)列，，，設(shè)前項(xiàng)的公差為，所以，所以，，又?jǐn)?shù)列是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，所以，，，，所以的項(xiàng)依次為，，，，，，，.（2）因?yàn)闃?gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，又，，，，所以，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，且.（3）因?yàn)?，，，，成為?shù)列中的連續(xù)項(xiàng)，且該對(duì)稱數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所以這樣的對(duì)稱數(shù)列有：①，，，，，，，，，，；②，，，，，，，，，，；因?yàn)?，?duì)于①，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以.山東省濟(jì)寧市鄒城市北大新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以或.故選：C2.為虛數(shù)單位，若，則（）A.5 B.7 C.9 D.25【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故選：A.3.已知向量．若與平行，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由，得，而，與平行，因此，解得，所以實(shí)數(shù)λ的值為.故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，即，即，所以.故選：B.5.陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積(單位：)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：圓錐的母線長(zhǎng)為，所以這個(gè)陀螺的表面積是.故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，變形得，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，，所以.故選：A．7.函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，如圖所示，要使的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則只需.故選：C.8.函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】因?yàn)?，且是定義在R上的偶函數(shù)，所以，令，則，所以，即，所以函數(shù)的周期為2，所以故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)．他各記錄了50次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車(chē)平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車(chē)平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)X和騎自行車(chē)用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車(chē)D.李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車(chē)【答案】BCD【解析】A.由條件可知，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故A錯(cuò)誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.f（x）無(wú)最大值 B.f（x）有唯一零點(diǎn)C.f（x）在（0，＋∞）單調(diào)遞增 D.f（0）為f（x）的一個(gè)極小值【答案】ACD【解析】，記因?yàn)?，且，在區(qū)間上顯然遞增，所以記為的零點(diǎn)，則有所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，D正確；由上可知，上單調(diào)遞增，且當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，也趨于正無(wú)窮，故AC正確；易知，故B錯(cuò)誤，故選：ACD11.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C與y軸的交點(diǎn)為， B.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱C.面積的最大值為2 D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，解得，即曲線C與y軸的交點(diǎn)為，，A正確；對(duì)于B，因，由換方程不變，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在曲線C上，，C不正確；對(duì)于D，由得：，解得，于得，解得，D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線分別為其左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】由于直線的斜率為2，因此，又，故，由雙曲線定義得，因此，又，所以，故雙曲線的離心率為.13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則公共點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，可得，由，設(shè)曲線與曲線的公共點(diǎn)為，由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，所以，所以，由，可得，聯(lián)立可得，解得，所以，所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為.14.在n維空間中（，），以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中.則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是______；定義：在n維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則______.【答案】32【解析】（1）的可能值為0，1（，）.故五維立方體的頂點(diǎn)有個(gè).（2）依題意，樣本空間的樣本點(diǎn)記為，M，N為五維立方體的頂點(diǎn)樣本點(diǎn)總數(shù)：當(dāng)時(shí)，有k個(gè)第i維坐標(biāo)值不同，有個(gè)第i維坐標(biāo)值相同滿足的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為.所以.故分布列為：X12345P.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為．（1）求；（2）若，且的周長(zhǎng)為5，設(shè)為邊BC中點(diǎn)，求AD.解：（1）依題意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因?yàn)?，所以；?）依題意，，因?yàn)?，解得，因?yàn)?，所以，所以?6.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程x=-1聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.17.在底面為梯形的多面體中．，且四邊形為矩形．點(diǎn)在線段上．（1）點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由，則為等腰直角三角形，有，則，則，在中，，取線段中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)橹本€平面，平面，所以直線平面，同理直線平面，又因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因?yàn)橹本€平面，所以平面；（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，又，、平面，故平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間