2025屆天津市河北區(qū)高三上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2025屆高三上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試卷第I卷（選擇題共45分）參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨立，那么圓柱的側面積公式圓錐的側面積公式其中表示底面圓的半徑表示母線的長一?選擇題：在每年小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，則或，故.故選：C.2.設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線平行，則且，解得，所以推得出直線與直線平行，即充分性成立；由直線與直線平行推不出，即必要性不成立；故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的定義域為,且,所以函數(shù)是偶函數(shù),其函數(shù)圖像關于軸對稱,排除CD.又,排除B.故選:A.4.某校調(diào)查了400名學生每周的自習時間（單位：小時），發(fā)現(xiàn)他們的自習時間都在區(qū)間[17.5，30]內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成5組：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則自習時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為（）A.240 B.180 C.96 D.80【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可知，自習時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的頻率為，所以自習時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為．故選：A．5.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以；因為，所以；因為，所以，所以.故選：B.6.如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓柱的高為，底面半徑為，可知，則圓錐的母線長為，所以剩下幾何體的表面積為.故選：B.7.已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設雙曲線的右焦點Fc,0，過第一象限的漸近線方程為，當時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.8.若函數(shù)的圖象關于點對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【解析】，∵圖象關于點對稱，∴,∴，（），∵，∴，∴，由（），解得：（），∴函數(shù)的增區(qū)間為．故選：C．9.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，若時，由求導得，，故當時，f'x<0，當時，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當時，，當時，；若時，由求導得，，因，故恒有f'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當時，，當時，，即時，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個根，此時有2個零點；要使函數(shù)恰有5個不同的零點，需使有3個零點，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題）二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.10.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應點的坐標是__________.【答案】【解析】因，故復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標是.11.二項式的展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】二項式的通項為，由可得，即得二項展開式中的常數(shù)項為.12.若直線與兩坐標軸交點為A，B，則以線段AB為直徑的圓的方程是___________.【答案】.【解析】不妨設直線與軸和軸的交點分別為A，B，令，得，即；再令，得，即，從而線段AB的中點為，且為所求圓的圓心，又因為，所以所求圓的半徑為，從而以線段AB為直徑的圓的方程是.13.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間上的值域______.【答案】【解析】由題意，因為，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.14.為了組建一支志愿者隊伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.【答案】【解析】設事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則.15.已知中，點分別是的重心和外心，且，則邊的長為__________.【答案】【解析】延長交于點，連接，作于點，則分別為的中點，如下圖所示：易知，同理可得，由重心性質(zhì)可知；所以；又，即，可得；所以，可得；因此，即.三?解答題：本大題共5小題，共5分?解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因和正弦定理，，又B∈0,π，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，；（2）因，解得，又因，即，代入上式可得：，解得，故，由余弦定理得，，故得；（3）由（2）已得，，，由余弦定理，可得因且B∈0,π故,所以17.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離.解：（1）如圖，以為原點，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系則.，設平面的法向量為，則取所以所以又因為平面，所以平面（2）設平面的法向量為則取設平面與平面的夾角為則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3），設點到平面的距離為，，所以點到平面的距離為.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．解：（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．（3）由（2）可知，因為的斜率是的斜率的2倍，所以，得．所以，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為．19.已知函數(shù)在處取得極小值.（1）求值；（2）求函數(shù)在點處的切線方程；（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，可得，由，解得，此時，時，單調(diào)遞減，x∈0,+∞時，故是函數(shù)的極小值點，符合題意，所以.（2）由題可得：，在點1,f1處的切線方程為即（3）由恒成立，則恒成立，令，則，當時，，當x∈0,+∞時，，所以當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）由題意得，x∈0,+∞，則，由，解得．當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；綜上，在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減；（2）（i）由，得，設，由（1）得在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，又，當時，gx>0，且當時，，所以當時，方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，故的取值范圍是0,1．（ii）不妨設，則，且．法一：當時，結合（i）知，即；當時，．設則所以在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，所以又在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，故，所以，得證．法二：設，x∈0,+∞則，所以hx在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，又所以，即．又，所以，又在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減．所以，即，又，所以，得證．天津市河北區(qū)2025屆高三上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試卷第I卷（選擇題共45分）參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨立，那么圓柱的側面積公式圓錐的側面積公式其中表示底面圓的半徑表示母線的長一?選擇題：在每年小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，則或，故.故選：C.2.設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線平行，則且，解得，所以推得出直線與直線平行，即充分性成立；由直線與直線平行推不出，即必要性不成立；故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的定義域為,且,所以函數(shù)是偶函數(shù),其函數(shù)圖像關于軸對稱,排除CD.又,排除B.故選:A.4.某校調(diào)查了400名學生每周的自習時間（單位：小時），發(fā)現(xiàn)他們的自習時間都在區(qū)間[17.5，30]內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成5組：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則自習時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為（）A.240 B.180 C.96 D.80【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可知，自習時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的頻率為，所以自習時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為．故選：A．5.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以；因為，所以；因為，所以，所以.故選：B.6.如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓柱的高為，底面半徑為，可知，則圓錐的母線長為，所以剩下幾何體的表面積為.故選：B.7.已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設雙曲線的右焦點Fc,0，過第一象限的漸近線方程為，當時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.8.若函數(shù)的圖象關于點對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【解析】，∵圖象關于點對稱，∴,∴，（），∵，∴，∴，由（），解得：（），∴函數(shù)的增區(qū)間為．故選：C．9.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，若時，由求導得，，故當時，f'x<0，當時，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當時，，當時，；若時，由求導得，，因，故恒有f'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當時，，當時，，即時，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個根，此時有2個零點；要使函數(shù)恰有5個不同的零點，需使有3個零點，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題）二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.10.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應點的坐標是__________.【答案】【解析】因，故復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標是.11.二項式的展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】二項式的通項為，由可得，即得二項展開式中的常數(shù)項為.12.若直線與兩坐標軸交點為A，B，則以線段AB為直徑的圓的方程是___________.【答案】.【解析】不妨設直線與軸和軸的交點分別為A，B，令，得，即；再令，得，即，從而線段AB的中點為，且為所求圓的圓心，又因為，所以所求圓的半徑為，從而以線段AB為直徑的圓的方程是.13.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間上的值域______.【答案】【解析】由題意，因為，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.14.為了組建一支志愿者隊伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.【答案】【解析】設事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則.15.已知中，點分別是的重心和外心，且，則邊的長為__________.【答案】【解析】延長交于點，連接，作于點，則分別為的中點，如下圖所示：易知，同理可得，由重心性質(zhì)可知；所以；又，即，可得；所以，可得；因此，即.三?解答題：本大題共5小題，共5分?解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因和正弦定理，，又B∈0,π，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，；（2）因，解得，又因，即，代入上式可得：，解得，故，由余弦定理得，，故得；（3）由（2）已得，，，由余弦定理，可得因且B∈0,π故,所以17.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離.解：（1）如圖，以為原點，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系則.，設平面的法向量為，則取所以所以又因為平面，所以平面（2）設平面的法向量為則取設平面與平面的夾角為則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3），設點到平面的距離為，，所以點到平面的距離為.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．解：（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，