2025屆天津市河西區(qū)高三上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，，所以，又因為，所以.故選：D.2.設(shè)，是兩個非零向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若，則與的夾角可能為，不一定是鈍角，因此充分性不成立；若與的夾角為鈍角，則可得，因此可得，所以充分性成立，即“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B3.若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】選項A，若，則結(jié)論錯誤，故選項A錯誤；選項B，根據(jù)糖水不等式可知，，故選項B錯誤；選項C，當(dāng)時，，故選項C錯誤；選項D，可知，，故選項D正確.故選：D4.已知，，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】由可得，所以，故選：C5.已知，，且，則的最大值為（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得，且，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，所以的最大值為.故選：C.6.函數(shù)，則，（）A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】的定義域為,且，故，即函數(shù)是偶函數(shù)；因，當(dāng)時，，則，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故選：A.7.已知，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.8.將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】數(shù)列中的項為，觀察得到中的奇數(shù)項都是數(shù)列中的項，即可以寫成的形式，其為公比為4的等比數(shù)列，故，故.故選：D9.已知函數(shù)有下列結(jié)論：①最小正周期為；②點為圖象的一個對稱中心；③若在區(qū)間上有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是；④若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為.則上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.①③④【答案】C【解析】由題可知最小正周期為,故①正確；根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱中心橫坐標(biāo)滿足，顯然，故②不正確；因為，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，有最大值為1，，所以要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根，則，故③錯誤;由題得，所以其中，所以的最大值為，故④正確.故選：C第Ⅱ卷二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.10.已知角的終邊上有一點，則________.【答案】【解析】由題意知角的終邊上有一點，則,故.11.已知數(shù)列滿足，點在函數(shù)的圖象上，其中k為常數(shù)，且，，成等比數(shù)列，則________.【答案】2【解析】因為點在函數(shù)的圖象上，所以，所以，又，所以，，，因為，，成等比數(shù)列，所以，解得或（舍去）.12.化簡：________.【答案】【解析】易知.13.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則________.【答案】【解析】由可得，又，且，解得；同理由可得，由正弦定理可得，即.14.在平面四邊形中，，，，若，則________；若為線段上一動點，當(dāng)取得最小值時，則________.【答案】【解析】因為平面四邊形中，，，，所以是邊長為2的等邊三角形，在，，所以，因為，又，所以，所以在，同理可得在上，且分別是的四等分點，如圖建立平面坐標(biāo)系，則，所以，再設(shè)，則，，顯然時，取得最小，此時，所以.15.已知函數(shù)若恰有6個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意可知的實數(shù)解可以轉(zhuǎn)化為或的實數(shù)解，即y=fx與或的圖象交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，則，所以時，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，f'x<0，可得在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，且；作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：所以當(dāng)時，由圖可知y=fx與無交點，即方程無解；y=fx與有兩個不同的交點，即有兩個實數(shù)解；當(dāng)時，，令，則，則，作出大致圖象如下圖所示：因為當(dāng)時，y=fx與有兩個不同的交點，所以只保證與及共有四個交點即可，所以只需，解得，即可得正實數(shù)的取值范圍.三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)解析式；（2）若將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.解：（1）由圖可知，，，所以，.將點代入得，.又，所以，所以.（2）（i）將的圖象向左平移個單位長度，得，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得，所以，所以；（ii）因為，所以，，所以，所以，所以，故在上的值域為.17.如圖，中，，，，是的中點，延長交于點.（1）用，表示；（2）設(shè)，求的值；（3）若，，求面積的最大值.解：（1）由點是的中點，得.（2）設(shè)，，，，則，①又，②所以對比①②得，得，所以；（3）由（2）得，即，因，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時面積最大，為.18.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.（1）求的大?。唬?）若，邊上的高為.（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）因為，，為內(nèi)角，所以，因為，所以可化為：，即，即，因為，解得：.（2）（i）由三角形面積公式得，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，所以；（ii）由（i）可得，在中，由正弦定理可得，即，解得，又，所以為銳角，所以，所以，，所以.19.設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，是等差數(shù)列.已知，，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求的值；（3）設(shè)其中，求.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，數(shù)列bn的公差為，因為且，所以，解得或，又因為，所以，所以，，則，，因為且數(shù)列bn是等差數(shù)列，所以，，又，所以，，所以，，，所以，.所以數(shù)列的通項公式為，，數(shù)列bn的通項公式為，.（2）由（1）可知因此數(shù)列的前n項和為即可得.（3）由可知所以，其中，記；則，兩式相減可得，可得，即；所以20.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程：（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（3）若集合有且只有一個元素，求的值.解：（1）由，可得，中，當(dāng)時，，，，，所以曲線y=fx在點1,f1（2）由題意及（1）得，在中，，當(dāng)時，，因為即，此時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)，求導(dǎo)得，顯然，當(dāng)時，的定義域為0,+∞，不等式f'x>0恒成立，即在又與已知矛盾，即不合題意；當(dāng)時，的定義域為，此時，則當(dāng)時，f'x>0，當(dāng)時，f即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，因此.設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以集合有且只有一個元素時.天津市河西區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，，所以，又因為，所以.故選：D.2.設(shè)，是兩個非零向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若，則與的夾角可能為，不一定是鈍角，因此充分性不成立；若與的夾角為鈍角，則可得，因此可得，所以充分性成立，即“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B3.若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】選項A，若，則結(jié)論錯誤，故選項A錯誤；選項B，根據(jù)糖水不等式可知，，故選項B錯誤；選項C，當(dāng)時，，故選項C錯誤；選項D，可知，，故選項D正確.故選：D4.已知，，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】由可得，所以，故選：C5.已知，，且，則的最大值為（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得，且，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，所以的最大值為.故選：C.6.函數(shù)，則，（）A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】的定義域為,且，故，即函數(shù)是偶函數(shù)；因，當(dāng)時，，則，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故選：A.7.已知，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.8.將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】數(shù)列中的項為，觀察得到中的奇數(shù)項都是數(shù)列中的項，即可以寫成的形式，其為公比為4的等比數(shù)列，故，故.故選：D9.已知函數(shù)有下列結(jié)論：①最小正周期為；②點為圖象的一個對稱中心；③若在區(qū)間上有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是；④若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為.則上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.①③④【答案】C【解析】由題可知最小正周期為,故①正確；根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱中心橫坐標(biāo)滿足，顯然，故②不正確；因為，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，有最大值為1，，所以要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根，則，故③錯誤;由題得，所以其中，所以的最大值為，故④正確.故選：C第Ⅱ卷二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.10.已知角的終邊上有一點，則________.【答案】【解析】由題意知角的終邊上有一點，則,故.11.已知數(shù)列滿足，點在函數(shù)的圖象上，其中k為常數(shù)，且，，成等比數(shù)列，則________.【答案】2【解析】因為點在函數(shù)的圖象上，所以，所以，又，所以，，，因為，，成等比數(shù)列，所以，解得或（舍去）.12.化簡：________.【答案】【解析】易知.13.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則________.【答案】【解析】由可得，又，且，解得；同理由可得，由正弦定理可得，即.14.在平面四邊形中，，，，若，則________；若為線段上一動點，當(dāng)取得最小值時，則________.【答案】【解析】因為平面四邊形中，，，，所以是邊長為2的等邊三角形，在，，所以，因為，又，所以，所以在，同理可得在上，且分別是的四等分點，如圖建立平面坐標(biāo)系，則，所以，再設(shè)，則，，顯然時，取得最小，此時，所以.15.已知函數(shù)若恰有6個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意可知的實數(shù)解可以轉(zhuǎn)化為或的實數(shù)解，即y=fx與或的圖象交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，則，所以時，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，f'x<0，可得在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值，且；作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：所以當(dāng)時，由圖可知y=fx與無交點，即方程無解；y=fx與有兩個不同的交點，即有兩個實數(shù)解；當(dāng)時，，令，則，則，作出大致圖象如下圖所示：因為當(dāng)時，y=fx與有兩個不同的交點，所以只保證與及共有四個交點即可，所以只需，解得，即可得正實數(shù)的取值范圍.三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)解析式；（2）若將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.解：（1）由圖可知，，，所以，.將點代入得，.又，所以，所以.（2）（i）將的圖象向左平移個單位長度，得，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得，所以，所以；（ii）因為，所以，，所以，所以，所以，故在上的值域為.17.如圖，中，，，，是的中點，延長交于點.（1）用，表示；（2）設(shè)，求的值；（3）若，，求面積的最大值.解：（1）由點是的中點，得.（2）設(shè)，，，，則，①又，②所以對比①②得，得，所以；（3）由（2）得，即，因，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時面積最大，為.18.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.（1）求的大??；（2）若，邊上的高為.（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）因為，，為內(nèi)角，所以，因為，所以可化為：，即，即，因為，解得：.（2）（i）由三角形面積公式得，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，所以；（ii）由（i）可得，在中，由正弦定理可得，即，解得，又，所以為銳角，所以，所以，，所以.19.設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，是等差數(shù)列.已知，，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求的值；（3）設(shè)其中，求.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，數(shù)列bn的公差為，因為且，所以，解得或，又因為，所以，所以，，則，，因為且數(shù)列bn是等差數(shù)列，所以，，又，所以，，所以，，，所以，.所以數(shù)列的通項公式為，，數(shù)列bn的通項公式為，.（2）由（1）可知因此數(shù)列的前n項和為即可得.（3）由可知所以，其中，記；則，兩式相減可得，可得，即；所以20.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底