2025屆天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校聯(lián)考高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共45分）一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，則，且，所以.故選：C.2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，滿足成立，但不滿足成立，所以“”是“”的不充分條件，因?yàn)?，所以，又，所以，所以“”是“”的必要條件,所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.下列四個(gè)函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，由，，所以為偶函數(shù)，又，又，所以，所以在上為增函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，所以，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，所以為偶函數(shù)，又，所以，所以在上為減函數(shù)，，故D錯(cuò)誤.故選：A.4.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處切線的斜率為.故選：B.5.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，又，所以，所以，所以.故選：B.6.已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是().A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因?yàn)?，，使得，即在的最大值不小于在上的最大值，即，解得，?故選：A.7.已知函數(shù)在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于函數(shù)，極小值點(diǎn)為.，令，.因?yàn)橛星覂H有個(gè)極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，解不等式得.因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為.對(duì)于，令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.當(dāng)時(shí)，，則且.解不等式得.綜合以上兩個(gè)條件，的取值范圍是.故選：D.8.在中，，是邊中點(diǎn)，線段長(zhǎng)為，，是邊上一點(diǎn)，是的角平分線，則的長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】邊中點(diǎn)，則，所以，即，解得，，是的平分線，則，，，在中，，故選：B．9.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1100頭，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出100頭牛.若該牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.1240 B.1260 C.1280 D.1290【答案】B【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，則，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列，則，即，所以.故選：B．第Ⅱ卷（共105分）二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10.已知為虛數(shù)單位，則______________.【答案】【解析】，故答案為：．11.設(shè)，那么______________.【答案】【解析】因?yàn)橛蓳Q底公式可得，∴，即，∴.12.已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為，則________.【答案】【解析】由得，因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄康淖鴺?biāo)為，所以，即，所以，所以.13.已知，，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】∵，∴．由可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.14.在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為_(kāi)_______；若，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，根?jù)向量加法，可得.因?yàn)辄c(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，所以，即.再根據(jù)向量加法，可得.（2）因?yàn)?，，所?.，在中，，根據(jù)向量數(shù)量積公式，可得.由，根據(jù)余弦定理，即.根據(jù)基本不等式，可得，即.將代入的表達(dá)式：因?yàn)椋〉米畲笾?，最大值?15.已知函數(shù).若，則函數(shù)y=fx的零點(diǎn)為_(kāi)_______；若函數(shù)y=fx的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【答案】1或2【解析】空1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，，無(wú)解，所以函數(shù)y=fx的零點(diǎn)為；空2，①若，即時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以．②當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得，不合題意，舍去．，③當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得或（舍去）．綜上可得或.三、解答題（本題共5小題，共75分）16.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)，（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫海瑒t，因?yàn)樵谥?，，所以，則有，因?yàn)?，所以，，故；?）（i）由（1）知：，在中，因?yàn)?，，由余弦定理可得：，則.（ii）在中，由正弦定理可得：，即，所以，因?yàn)?，所以，則為銳角，所以，則，，所以17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸；（3）在銳角中，內(nèi)角，，對(duì)邊分別是，，，且，求的取值范圍.解：（1）所以函數(shù)的最小正周期為；（2）令，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.令，，得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，.（3）銳角中，，，解得，所以，所以，所以的取值范圍是.18.已知等比數(shù)列的公比，，是，的等差中項(xiàng).等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）將數(shù)列與數(shù)列的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）依題有，因?yàn)?，解得：，?數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，，解得：，.（2）數(shù)列的前項(xiàng)和記為，則，因?yàn)?，所以，，兩式相減有，所以.（3）因?yàn)?，，設(shè)新數(shù)列為，因?yàn)閿?shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列，且，，又因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)由中的前項(xiàng)和中的前項(xiàng)構(gòu)成，所以.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值，并證明；（3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間0,+∞上有解，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?,+∞，，①當(dāng)時(shí)，f'x<0恒成立，∴fx在②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f'∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，即，即，令，則，所以，故當(dāng)時(shí)，.即（3）關(guān)于的不等式在區(qū)間0,+∞上有解，即在0,+∞上有解，即在0,+∞上有解，又，由（1）可知時(shí)，即，令，則，則在上有解，令，則，令，得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，又h1=0，，，所以存在使得，所以，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以只需，即時(shí)滿足題意.所以的取值范圍為0,120.給定數(shù)列，若對(duì)任意，且，是中的項(xiàng)，則稱為“數(shù)列”；若對(duì)任意，且，是中的項(xiàng)，則稱為“數(shù)列”.（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)數(shù)列既是等比數(shù)列又是“數(shù)列”，且，，求公比的所有可能值；（3）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，是數(shù)列中的項(xiàng)，求證：數(shù)列是“數(shù)列”.解：（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，所以對(duì)任意，且，，是“數(shù)列”（2）因?yàn)?，，?shù)列是等比數(shù)列所以，且，由已知得也為數(shù)列中的項(xiàng)，令，得，即，即得，所以，因?yàn)榍夜实乃锌赡苤禐?，?（3）設(shè)數(shù)列的公差為，所以存在，對(duì)任意，，即，當(dāng)時(shí)，則，故，此時(shí)數(shù)列為“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，取，則，所以，，當(dāng)時(shí)，均為正整數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，均為正整數(shù)，符合題意，所以，，設(shè)，，，即，所以任意，且，，顯然，所以為數(shù)列中的項(xiàng)，所以是“數(shù)列”.天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共45分）一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則，且，所以.故選：C.2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，滿足成立，但不滿足成立，所以“”是“”的不充分條件，因?yàn)?，所以，又，所以，所以“”是“”的必要條件,所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.下列四個(gè)函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，由，，所以為偶函數(shù)，又，又，所以，所以在上為增函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，所以，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，所以為偶函數(shù)，又，所以，所以在上為減函數(shù)，，故D錯(cuò)誤.故選：A.4.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處切線的斜率為.故選：B.5.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，又，所以，所以，所以.故選：B.6.已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是().A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因?yàn)?，，使得，即在的最大值不小于在上的最大值，即，解得，?故選：A.7.已知函數(shù)在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于函數(shù)，極小值點(diǎn)為.，令，.因?yàn)橛星覂H有個(gè)極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，解不等式得.因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為.對(duì)于，令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.當(dāng)時(shí)，，則且.解不等式得.綜合以上兩個(gè)條件，的取值范圍是.故選：D.8.在中，，是邊中點(diǎn)，線段長(zhǎng)為，，是邊上一點(diǎn)，是的角平分線，則的長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】邊中點(diǎn)，則，所以，即，解得，，是的平分線，則，，，在中，，故選：B．9.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1100頭，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出100頭牛.若該牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.1240 B.1260 C.1280 D.1290【答案】B【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，則，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列，則，即，所以.故選：B．第Ⅱ卷（共105分）二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10.已知為虛數(shù)單位，則______________.【答案】【解析】，故答案為：．11.設(shè)，那么______________.【答案】【解析】因?yàn)橛蓳Q底公式可得，∴，即，∴.12.已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為，則________.【答案】【解析】由得，因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄康淖鴺?biāo)為，所以，即，所以，所以.13.已知，，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】∵，∴．由可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.14.在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為_(kāi)_______；若，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，根?jù)向量加法，可得.因?yàn)辄c(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，所以，即.再根據(jù)向量加法，可得.（2）因?yàn)椋?，所?.，在中，，根據(jù)向量數(shù)量積公式，可得.由，根據(jù)余弦定理，即.根據(jù)基本不等式，可得，即.將代入的表達(dá)式：因?yàn)椋〉米畲笾?，最大值?15.已知函數(shù).若，則函數(shù)y=fx的零點(diǎn)為_(kāi)_______；若函數(shù)y=fx的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【答案】1或2【解析】空1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，，無(wú)解，所以函數(shù)y=fx的零點(diǎn)為；空2，①若，即時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以．②當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得，不合題意，舍去．，③當(dāng)，即時(shí)，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得或（舍去）．綜上可得或.三、解答題（本題共5小題，共75分）16.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)，（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，則，因?yàn)樵谥校?，所以，則有，因?yàn)?，所以，，故；?）（i）由（1）知：，在中，因?yàn)?，，由余弦定理可得：，則.（ii）在中，由正弦定理可得：，即，所以，因?yàn)?，所以，則為銳角，所以，則，，所以17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸；（3）在銳角中，內(nèi)角，，對(duì)邊分別是，，，且，求的取值范圍.解：（1）所以函數(shù)的最小正周期為；（2）令，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.令，，得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，.（3）銳角中，，，解得，所以，所以，所以的取值范圍是.18.已知等比數(shù)列的公比，，是，的等差中項(xiàng).等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）將數(shù)列與數(shù)列的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）依題有，因?yàn)?，解得：，?數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，，解得：，.（2）數(shù)列的前項(xiàng)和記為，則，因?yàn)?，所以，，兩式相減有，所以.（3）因?yàn)?，，設(shè)新數(shù)列為，因?yàn)閿?shù)列與數(shù)列都是遞增數(shù)列，且，，又因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)由中的前項(xiàng)和中的前項(xiàng)構(gòu)成，所以.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值，并證明；（3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間0,+∞上有解，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?,+∞，，①當(dāng)時(shí)，f'x<0恒成立，∴fx在②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，