七年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型（解析版）

專題07三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重慶·八年級假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項(xiàng)A，B，C正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·山東七年級課時練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市龍華中學(xué)?？计谀?）在圖1中，請直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)個；（3）如果圖2中，，，與分別是和的角平分線，試求的度數(shù)；（4）如果圖2中和為任意角，其他條件不變，試問與，之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對頂角相等，即可得出、、、的數(shù)量關(guān)系；（2）分別以點(diǎn)、、為交點(diǎn)，觀察圖形，即可得出答案；（3）根據(jù)（1），得出，，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義，可得，再把，代入計(jì)算即可得到答案；（4）根據(jù)（1），得出，，然后整理，得出，，再結(jié)合角平分線的定義，得出，即，然后等量代換，得出，進(jìn)而即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）結(jié)論為：，理由如下：∵，又∵，∴；故答案為：（2）交點(diǎn)有點(diǎn)、、，以為交點(diǎn)有1個，為與，以為交點(diǎn)有4個，為與，與，與，與，以為交點(diǎn)有1個，為與，綜上所述，“8字形”圖形共有6個；故答案為：（3）由（1）可知：，，∵和的平分線和相交于點(diǎn)，∴，，得：，∴，又∵，，∴，∴；（4）關(guān)系：，由（1）可知：，，∴，，∵、分別是和的角平分線，∴，∴，即，∴，整理得，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、對頂角相等、角平分線的定義等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點(diǎn)，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點(diǎn)，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點(diǎn)的一動點(diǎn)，求證：．【答案】(1)；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，，，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)證即可得出結(jié)論；（3）在上取一點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，證，即，同理證，然后同理（1）得，變形不等式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，即；（2）證明：平分，，在和中，，，；（3）證明：在上取一點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，是的角平分線，，在和中，，，，同理可證，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個或幾個定理，或者能夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實(shí)、定理、常用的數(shù)學(xué)結(jié)論和基本規(guī)律為基礎(chǔ)，圖形簡單又具有代表性．在幾何問題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個“8字形”中，存在結(jié)論．我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個“飛鏢形”中，存在結(jié)論．(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：如圖2，、分別平分、，說明：．(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問題：①如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，求的度數(shù)．②在圖4中，平分的外角，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．③在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．

【答案】(1)見解析(2)①；②；③【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)題干的結(jié)論列出，相加得到，繼而得到，即可證明結(jié)論；（2）①如圖所示，分作的角平分線交于H，根據(jù)（1）的結(jié)論得到，再由角平分線的定義和平角的定義證明，，再根據(jù)題干的結(jié)論可推出；②如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結(jié)論可知，，同理可得，，則由四邊形內(nèi)角和定理可得；③由題干的結(jié)論可得，由角平分線的定義得到，再求出，由題干的結(jié)論可知，由此可得．【詳解】（1）解：∵分別平分，∴，∴，由題干的結(jié)論得：，∠，∴，∴，∴，即；（2）解：①如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結(jié)論可知，∵分別平分，∴，∵∴，∴，同理可得，由題干的結(jié)論可得，∴；

②如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結(jié)論可知，，同理可得，，∴；③由題干的結(jié)論可得，∵平分，平分的外角，∴，∵，∴，由題干的結(jié)論可知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識圖并運(yùn)用好“8”字形的結(jié)論，然后列出兩個等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎(chǔ)題．例2．（2022·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，，若，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴∠ABC＝∠D＝45°，∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于_______．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，求的值．（3）如圖2，請你歸納猜想與的關(guān)系是______，并說明理由．（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析；（4），理由見解析．【分析】（1）利用互余關(guān)系和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和為360°進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵為直角三角形，，∴，∴．（2）∵中，，∴，∴．（3）；理由如下：∵中，，∴．（4），理由如下：如圖：是由折疊得到的，∴，，∴，，∴，又∵，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，以及折疊的性質(zhì)．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應(yīng)用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；【答案】(1)180°(2)180°(3)360°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案．（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把8個角轉(zhuǎn)化到一個四邊形中可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，故答案為：180°；（2）如圖，由（1）得，∵，∴．（3）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，，，故答案為：360°．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖：和是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜邊AB、DE在同一直線上，其中，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵由題意得，，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．例2．（2023春·江蘇泰州·七年級校考階段練習(xí)）一副三角板如圖方式擺放，平分，平分，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】首先根據(jù)三角板的性質(zhì)得到，，然后利用角平分線的概念得到，，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵一副三角板如圖方式擺放，∴，，∵平分，平分，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角板中角的運(yùn)算，角平分線的概念，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，由題意得：，，

，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．例4．（2023春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點(diǎn)E放在上，移動三角板，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B移動的過程中，點(diǎn)E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當(dāng)時，；②逐漸變?。虎廴糁本€與直線交于點(diǎn)M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點(diǎn)E的位置有3個．正確的有．（填序號）

【答案】①③④【分析】①由即可判斷；②過點(diǎn)C作，即可判斷；③分別討論當(dāng)直線與線段相交、直線與線段的延長線相交即可判斷；④根據(jù)平行線的判定定理即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：①∵，點(diǎn)E、C、D始終保持在一條直線上∴∵∴故①正確；②如圖1：過點(diǎn)C作

當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A移動到點(diǎn)H位置時，的度數(shù)在逐漸增大∴的度數(shù)在逐漸減小當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)H移動到點(diǎn)B位置時，的度數(shù)在逐漸增大故②錯誤；③當(dāng)直線與線段交于點(diǎn)M，如圖2：∵∴∴當(dāng)直線與線段的延長線交于點(diǎn)M，如圖3：∵∴∴故若直線與直線交于點(diǎn)M，則為定值故③正確；④當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，且，則；當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，且，則；當(dāng)時，則；∴若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點(diǎn)E的位置有3個故④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題以三角板的運(yùn)動為背景，考查了平行線的判定、三角形的內(nèi)角和、三角形的外角等知識點(diǎn)．掌握相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵．例5．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒．(1)當(dāng)______秒時，；當(dāng)______秒時，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為，如圖2，若有兩個內(nèi)角相等，求的值；(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)、時，如圖3，連接，設(shè)，，，試問是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

【答案】(1)；(2)當(dāng)為6或15或24時，有兩個內(nèi)角相等(3)是定值，，理由見解析【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時間；（2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出值；（3）找出與，，，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，當(dāng)時，

平分，，，又為的一個外角，，；如圖，當(dāng)時，，，，，．故答案為：3；21．（2）①如圖，當(dāng)時，，，；②如圖，當(dāng)時，，，，；

③如圖，當(dāng)時，，，綜上所述：當(dāng)為6或15或24時，有兩個內(nèi)角相等．（3）是為定值105，理由如下：是的一個外角，是的一個外角，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時間為背景，考查了學(xué)生對圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵，第（3）問找到三個角之間的關(guān)系是關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·海南·七年級?？计谥校┤鐖D，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長交于F，那么圖中的度數(shù)是（

）度．A．75 B．90 C．100 D．105【答案】A【分析】由題意可得：，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖所示的圖形是把一副常用三角板拼在一起，所以，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題以三角板為載體，主要考查三角形的外角性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西鷹潭·七年級校考階段練習(xí)）如圖，將△ABD沿∠BAC的角平分線AD所在直線翻折，點(diǎn)B在AC邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（）A．15° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=DE，AB=AE，得到∠B＝∠AED，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，又因?yàn)椤螧+∠C＝60°，得到20°+∠C+∠C＝60°，即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD＝DE，AB＝AE．∴∠B＝∠AED，∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝60°，即20°+∠C+∠C＝60°，∴∠C＝20°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以，三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角的性質(zhì)，熟練的利用三角形的外角的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由外角定理知，，將已知角代入求解即可．【詳解】解：如圖，，，∵，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角定理，觀察圖形，由角的位置關(guān)系導(dǎo)出角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，這是一副三角板疊放在一起的示意圖，則圖中等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角板上角的度數(shù)的特點(diǎn)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系解答．【詳解】解：如圖，

∵，，∴故選：B．【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．5．（2023·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┦堑钠椒志€，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平分，且，可得，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義可知，再根據(jù)鄰補(bǔ)角定義直接求得．【詳解】解：∵是的平分線，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確三角形的內(nèi)外角的關(guān)系，然后可求解．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°；三角形的外角：三角形的一個外角大于不相鄰兩內(nèi)角的和．6．（2023·江西贛州·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，已知△ABC為直角三角形，若沿圖中虛線剪去∠B，∠1+∠2=270°，則∠B等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠1+∠2+∠A+∠C＝360°，可得∠A+∠C＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠B．【詳解】解：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠A+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣270°＝90°．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝180°－（∠A+∠C）＝90°，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了多邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握四邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和是關(guān)鍵．7．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀⒁粋€直角三角板與一個直尺按如圖所示的方式擺放，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到，結(jié)合得到得度數(shù)．【詳解】∵，，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，補(bǔ)角，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)（不與頂點(diǎn)A、B重合）．則的度數(shù)可能是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明，再利用三角形的外角可得，結(jié)合，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記三角形的外角的性質(zhì)是解本題關(guān)鍵．9．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知，，由此不難證明結(jié)論．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．10．（2022秋·七年級課時練習(xí)）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖所示的方式疊放在一起，當(dāng)，且點(diǎn)E在直線的上方時，他發(fā)現(xiàn)若，則三角板有一條邊與斜邊平行．【答案】或或【分析】分三種情形畫出圖形分別建立好幾何模型求解，即可解決問題．【詳解】解：有三種情形：①如圖1中，當(dāng)時．∵，∴，∵，∴．②如圖2中，當(dāng)時，，可得．③如圖3中，當(dāng)時，延長交于M．∵，∴，∴，∴，綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、平行線的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的首先思考問題，屬于中考?？碱}型．11．（2023·江蘇七年級期中）如圖，、的平分線交于，；、的平分線交于，；如此下去，、的平分線的交角為；…若，，則為度．【答案】【分析】根據(jù)角平分線是定義可得，，設(shè)，，根據(jù)三角形的外角定理可得，，得：，再用相同的方法，一次求出，即可求解．【詳解】解：令相交于點(diǎn)M，相交于點(diǎn)P，∵、的平分線交于，∴，，設(shè)，∴，，得：，整理得：，同理可得：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．12．（2023·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是的外角的平分線，且交延長線于點(diǎn)E，，則°．【答案】【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由角平分線的定義求出的度數(shù)，最后利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵是的外角的平分線，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知三角形一個外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)和是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·河南南陽·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于度．

【答案】【分析】由得到，由分別是的外角可知，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，

∵，∴，∵分別是的外角，∴.∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)將與之和轉(zhuǎn)化為求的和是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則．【答案】230【分析】由平行線的性質(zhì)可得，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義可得．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：230．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角、平行線的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角定義是解題的關(guān)鍵．15．（2023·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，將沿虛線剪去，則°．【答案】240【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再讓四邊形的內(nèi)角和減去即可求得答案．【詳解】∵是等邊三角形∴∴∴故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和、外角和定理以及四邊形的內(nèi)角和是．因?yàn)樯婕暗降闹R點(diǎn)較多，所以解題方法也較多，需注意解題過程要規(guī)范、解題思路要清晰．16．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)E、F在上．若，則．

【答案】110【分析】首先由平行線的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形的外角定理得，最后再根據(jù)三角形的內(nèi)接角和定理可得出答案．【詳解】解：，，

，是的一個外角，，，，．故答案為：110．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理、外角定理，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，理解三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于．17．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，則．

【答案】/260度【分析】在和中，分別利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：在中，，∴，在中，，∴，∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于分別求得和的度數(shù)．18．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．【答案】540°【分析】連接ED，由三角形內(nèi)角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】連接ED，∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案為：540°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和公式，以及多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)×180°是解答本題的關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的度數(shù)是．【答案】/360d度【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而在四邊形中，根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，在四邊形中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：將兩塊三角尺按圖1擺放，固定三角尺，將三角尺繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其中，，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)時（如圖2），求的值；(2)當(dāng)時（如圖3），與相交于點(diǎn)F，求的值；(3)當(dāng)時，連結(jié)（如圖4），直線與相交于點(diǎn)F，試探究的大小是否改變？若不改變，請求出此定值；若改變，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)大小不變，其值為．【分析】（1）由可得，則可求解；（2）由可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可求，則可求α的值；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和和外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和，列出關(guān)系式可求的值．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴，即；（2）解：∵，∴，又