七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步學(xué)與練（北師大版）-第一章第05講 整式的乘法(10類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第05講整式的乘法(10類熱點(diǎn)題型講練)1．復(fù)習(xí)冪的運(yùn)算性質(zhì)，探究并掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則；2．能夠熟練運(yùn)用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算并解決實(shí)際問(wèn)題；3．能根據(jù)乘法分配律和單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則探究單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則；4．理解多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，能夠按多項(xiàng)式乘法步驟進(jìn)行簡(jiǎn)單的乘法運(yùn)算；5．掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)01單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值.這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式.知識(shí)點(diǎn)02單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過(guò)乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)；③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序.知識(shí)點(diǎn)03多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法是：在沒(méi)有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積；②多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項(xiàng)；③對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，其二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積.即(x+a)(x+b)=x2+（a+b)x+ab對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.題型01計(jì)算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式【例題】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算(1)(2)2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)．(2)．(3)．(4)．題型02利用單項(xiàng)式乘法求字母或代數(shù)式的值【例題】若，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．若單項(xiàng)式與的積為，則．2．若5am+1b2與3an+2bn的積是15a8b4，則nm＝．題型03計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值【例題】（2023上·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校?）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)，2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）計(jì)算：；（4）計(jì)算：．題型04計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【例題】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．2．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型05(x+p)(x+q)型多項(xiàng)式乘法【例題】（2023上·福建福州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州市第五十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為．2．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┤绻瑒t，．題型06已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值【例題】（2023下·陜西西安·七年級(jí)校考期中）求值，若的積中不含的一次項(xiàng)與的二次項(xiàng)，(1)求的值；(2)求代數(shù)式的值．1．（2023下·江西吉安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的展開式中不含項(xiàng)和項(xiàng)，求：(1)，的值；(2)的值。2．（2023上·湖北·八年級(jí)校考周測(cè)）已知關(guān)于的一次二項(xiàng)式與的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4．求：(1)系數(shù)與的值；(2)二項(xiàng)式與的積．題型07多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式——化簡(jiǎn)求值【例題】（2023上·陜西延安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校校考期中）化簡(jiǎn)求值：，其中．2．（2023上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．題型08單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積【例題】（2023上·重慶巴南·七年級(jí)校聯(lián)考期中）三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別置于相同的長(zhǎng)方形中，它們既不重疊也無(wú)空隙．已知正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為．(1)用代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積，并計(jì)算當(dāng)，，時(shí)陰影部分的面積．(2)記圖1中陰影部分周長(zhǎng)為，圖2陰影部分周長(zhǎng)之和為，判斷的值是否與正方形A、B、C的邊長(zhǎng)有關(guān)，若有關(guān)請(qǐng)說(shuō)明理由，若無(wú)關(guān)，求出的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長(zhǎng)方形空地，一塊長(zhǎng)為，寬為；另一塊長(zhǎng)為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進(jìn)行改造，計(jì)劃在中間邊長(zhǎng)為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計(jì)劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價(jià)格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？2．（2023上·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)被分隔成，，，，，共個(gè)區(qū)，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形．

(1)列式表示每個(gè)區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn)；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn)；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積．題型09多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問(wèn)題【例題】探索題：

……(1)當(dāng)時(shí)，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個(gè)位數(shù)字是．【變式訓(xùn)練】1．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），下圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和，例如：，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項(xiàng)，中間項(xiàng)系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項(xiàng)，中間項(xiàng)系數(shù)3等于上方數(shù)字1加2，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；……(1)寫出的展開式______請(qǐng)利用整式的乘法驗(yàn)證你的結(jié)果．(2)的展開式的系數(shù)分別為______，系數(shù)和為______．(3)展開式共有______項(xiàng)，系數(shù)和為______，請(qǐng)說(shuō)明你是怎樣得到這個(gè)結(jié)果的？題型10整式乘法混合運(yùn)算【例題】（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算下列各題(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)岳陽(yáng)市弘毅新華中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)2．（2023上·四川南充·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若規(guī)定符號(hào)的意義：．(1)計(jì)算：_________．(2)若，，則的值為________．一、單選題1．（2023上·河北廊坊·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則m的值是（

）A．6 B． C．8 D．3．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┑某朔e中不含和項(xiàng)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023上·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）通過(guò)計(jì)算比較圖中圖①，圖②中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的計(jì)算式子是（）A．B．C．D．二、填空題6．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）．7．（2023上·四川內(nèi)江·七年級(jí)四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則代數(shù)式．8．（2023上·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谥校┰谟?jì)算結(jié)果中，不含項(xiàng)，則a值為．9．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式M乘時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上，得到的結(jié)果是．則這個(gè)多項(xiàng)式是，正確的結(jié)果是．10．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若規(guī)定符號(hào)的意義是：，當(dāng)時(shí)，的值為．三、解答題11．（2023上·重慶渝北·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)；(2)．12．（2023下·陜西西安·七年級(jí)交大附中分校?？计谀┯?jì)算：(1)；(2)．13．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)，其中14．（2023上·福建泉州·七年級(jí)泉州七中?？茧A段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．15．（2023上·河北廊坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知展開的結(jié)果中，不含和項(xiàng)．（，為常數(shù)）(1)求，的值；(2)在（）的條件下，求的值．16．（2023上·陜西安康·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形空地中，沿它的兩個(gè)角用柵欄圍成兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長(zhǎng)如圖所示），留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）．(1)用含x，y的式子表示“T”型圖形的面積并化簡(jiǎn)；(2)若米，米，計(jì)劃在“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米25元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．（不考慮其他費(fèi)用）17．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問(wèn)題的一種體現(xiàn)，若干張邊長(zhǎng)為a的正方形A紙片，邊長(zhǎng)為b的正方形B紙片，長(zhǎng)和寬分別為a與b的長(zhǎng)方形C紙片（如圖1）．

(1)小李同學(xué)拼成一個(gè)寬為，長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形（如圖2），并用不同的