中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)重難考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練-專題01 圖形的初步（1）（知識(shí)串講+15大考點(diǎn)）（全國(guó)版）解析版

專題01圖形的初步（1）考點(diǎn)類型知識(shí)一遍過(guò)（一）立體圖形的認(rèn)識(shí)（1）立體圖形概念：有些幾何圖形的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)。常見的立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。（2）平面圖形概念：有些幾何圖形的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)。常見的平面圖形：線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、圓等（二）點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系（1）幾何圖形的組成點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡(jiǎn)稱體。（2）點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。（三）幾何體展開圖（四）正方體展開圖（五）直線、線段、射線的相關(guān)概念直線射線線段圖形端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)一個(gè)兩個(gè)表示法直線a

直線AB（BA）射線AB線段a

線段AB（BA）作法敘述作直線a

作直線AB作射線AB作線段a

作線段AB（BA）延長(zhǎng)敘述兩端可無(wú)限延伸延長(zhǎng)射線AB延長(zhǎng)線段AB

反向延長(zhǎng)線段BA（六）直線與線段的性質(zhì)①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線②經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線③經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)畫不出直線；經(jīng)過(guò)共線的三點(diǎn)有且只有一條直線④兩點(diǎn)之間，線段最短。線段的長(zhǎng)度表示兩點(diǎn)之間的距離。（七）線段的中點(diǎn)性質(zhì)線段中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)叫線段中點(diǎn)；如圖：M為線段AB的中點(diǎn)，則AM=BM=12AB考點(diǎn)一遍過(guò)考點(diǎn)1：認(rèn)識(shí)立體圖形典例1：（2023上·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列幾何體中，是圓柱的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了幾何體的識(shí)別，根據(jù)立體圖形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握幾何體的相關(guān)定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、此幾何體是圓錐，故不符合題意；B、此幾何體是圓臺(tái)，故不符合題意；C、此幾何體是圓柱，故符合題意；D、此幾何體是凌臺(tái)，故不符合題意；故選：C．【變式1】（2024上·廣東清遠(yuǎn)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是我國(guó)航天載人火箭的實(shí)物圖，可以看成的立體圖形為（

）A．棱錐與棱柱的組合體 B．圓錐與圓柱的組合體C．棱錐與圓柱的組合體 D．圓錐與棱柱的組合體【答案】B【分析】本題考查常見幾何體的識(shí)別，根據(jù)所給圖形可直接得出答案．【詳解】解：所給圖形上部為圓錐，下部為圓柱，可以看作圓錐與圓柱的組合體，故選B．【變式2】（2024上·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的圖形中，屬于棱柱的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查棱柱的概念，解題的關(guān)鍵是掌握棱柱的定義．根據(jù)棱柱的定義逐一判斷即可求出結(jié)果．【詳解】解：圖中第一個(gè)幾何體是三棱柱，屬棱柱；第二個(gè)幾何體是四棱柱，屬于棱柱；第三個(gè)幾何體是圓柱，不屬于棱柱；第四個(gè)幾何體為圓錐，不屬于棱柱；所以屬于棱柱的有2個(gè)．故選：B．【變式3】（2022上·安徽滁州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列圖形：圓錐、圓柱、圓、球中平面圖形有m個(gè)，立體圖形有n個(gè)，則m?n的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．?2【答案】D【分析】首先判斷出平面圖形與立體圖形的個(gè)數(shù)，即可求得m、n的值，再求代數(shù)式的值即可．【詳解】解：圓錐是立體圖形，圓柱是立體圖形，圓是平面圖形，球是立體圖形，故平面圖形有1個(gè)，立體圖形有3個(gè)，故m=1，n=3，則m?n=1?3=?2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形與立體圖形的識(shí)別，代數(shù)式求值問(wèn)題，熟練掌握和運(yùn)用平面圖形與立體圖形的識(shí)別方法是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：立體圖形展開圖典例2：（2023上·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）如圖所示均為幾何體的展開圖，則從左到右的圖形對(duì)應(yīng)的幾何體分別為（

）A．圓錐、三棱錐、圓柱、正方體 B．圓錐、四棱錐、圓柱、正方體C．圓錐、四棱柱、圓柱、正方體 D．圓錐、三棱柱、圓柱、正方體【答案】D【分析】根據(jù)常見的幾何體的展開圖進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對(duì)應(yīng)的幾何體名稱分別為：圓錐、三棱柱、圓柱、正方體，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查常見幾何體的展開圖，熟記常見幾何體的平面展開圖的特征是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列不是三棱柱展開圖的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)三棱柱的兩底展開是三角形，側(cè)面展開是三個(gè)四邊形，可得答案．【詳解】解：B、C、D中間三個(gè)長(zhǎng)方形能圍成三棱柱的側(cè)面，上、下兩個(gè)三角形圍成三棱柱的上、下兩底面，故均能圍成三棱柱，均是三棱柱的表面展開圖；A圍成三棱柱時(shí)，兩個(gè)三角形重合為同一底面，而另一底面沒有，故A不能圍成三棱柱，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，注意兩底面是對(duì)面，展開是兩個(gè)全等的三角形，側(cè)面展開是三個(gè)矩形．【變式2】（2023上·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）要制作一個(gè)帶蓋的圓柱形禮品盒，下列設(shè)計(jì)的展開圖中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)的圖形折合，看是否能折疊成圓柱形即可獲得答案．【詳解】解：A、可折疊出圓錐體，故不符合題意；B、可折疊出無(wú)蓋圓柱體，故不符合題意；C、可折疊出圓柱體，故符合題意；D、可折疊出長(zhǎng)方體，故不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的展開圖的應(yīng)用，熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的展開圖是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022上·河南周口·七年級(jí)期末）下列圖形不能作為一個(gè)三棱柱的展開圖的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】三棱柱展開后，側(cè)面是三個(gè)長(zhǎng)方形，上下底各是一個(gè)三角形即可得出答案．【詳解】解：由圖形可知作為一個(gè)三棱柱的展開圖有B、C、D；故不能作為一個(gè)三棱柱的展開圖的是：A；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了三棱柱的展開圖,掌握三棱柱的展開圖是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：正方體展開圖典例3：（2024上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)期末）如圖，下列圖形不屬于正方體的表面展開圖的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了正方體的展開圖．熟練掌握正方體展開圖“一線不過(guò)四，田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多余4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體的展開圖的特點(diǎn)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，從左到右，第1，2，5不屬于正方體的表面展開圖，第3，4，6屬于正方體的表面展開圖；故選：C．【變式1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在圖中，實(shí)線所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個(gè)全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補(bǔ)上圖中標(biāo)有號(hào)碼的其中一個(gè)全等小正方形，則可得到九個(gè)多邊形區(qū)域（每個(gè)區(qū)域恰好含有五個(gè)全等小正方形），試問(wèn)這九個(gè)多邊形區(qū)域中，可以折成無(wú)蓋的正方體容器的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)正方體的展開圖有11種情況：1?4?1型共6種，1?3?2型共3種，2?2?2型一種，3?3型一種，由此判定找出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：補(bǔ)上后能夠折成無(wú)蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是記住正方體展開圖的類型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口訣“凹、田應(yīng)棄之”．【變式2】（2022上·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┰谙旅娴膱D形中是正方體的展開圖的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．注意帶“田”“凹”字的不是正方體的平面展開圖，選項(xiàng)C折疊后缺少一個(gè)底面，故不是正方體的展開圖．【詳解】解：由正方體的展開圖的特征可知，圖形中D是正方體的展開圖；圖形中A出現(xiàn)了“田”字，不能圍成正方體，圖形中B出現(xiàn)了“凹”字，選項(xiàng)C折疊后缺少一個(gè)底面，故不是正方體的展開圖．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開圖，解題時(shí)勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．【變式3】（2022上·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期中）圖中是正方體的展開圖的有（）個(gè)A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】正方體的展開有以下4種類型：1-4-1型（分3行，中間4個(gè)，上下各1個(gè)，共6種情況），1-3-2型（分3行，中間3個(gè)，上行1個(gè)，下行2個(gè)連在一起，共3種情況），2-2-2型（每行2個(gè)，和尾相連，1種情況），3-3型（每行3個(gè)，下一行跟末尾一個(gè)相連），利用正方體展開圖的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：屬于正方體展開圖的是第2個(gè)、第7個(gè)圖，第8個(gè)圖，其他都不是正方體的展開圖，∴圖中是正方體的展開圖的共有3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開圖，熟記正方體展開圖的11種形式是解題的關(guān)鍵，利用不是正方體展開圖的“一線不過(guò)四、田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多于4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）判斷也可．從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：點(diǎn)、線、面、體的聯(lián)系典例4：（2023上·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的有（

）①五棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，10條棱，7個(gè)面；②點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體；③圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓；④用平面去截一個(gè)正方體，截面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查簡(jiǎn)單的幾何圖形具有的特點(diǎn)，根據(jù)立體圖形的特征，點(diǎn)、線、面、體，圓錐的特征和截一個(gè)幾何體的方法判斷即可．【詳解】解：①五棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，15條棱，7個(gè)面，所以①錯(cuò)誤，不符合題意．②點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體，所以②正確，符合題意．③圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，所以③錯(cuò)誤，不符合題意．④用平面去截一個(gè)正方體，截面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，所以④正確，符合題意．綜上所述，說(shuō)法正確的有2個(gè)，故選：B．【變式1】（2023上·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體，下列生活現(xiàn)象中可以反映“點(diǎn)動(dòng)成線”的是（

）A．流星劃過(guò)夜空 B．打開折扇 C．汽車雨刷的轉(zhuǎn)動(dòng) D．旋轉(zhuǎn)門的旋轉(zhuǎn)【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、流星劃過(guò)夜空是“點(diǎn)動(dòng)成線”，故本選項(xiàng)符合題意；B、打開折扇是“線動(dòng)成面”，故本選項(xiàng)不合題意；C、汽車雨刷的轉(zhuǎn)動(dòng)是“線動(dòng)成面”，故本選項(xiàng)不合題意；D、旋轉(zhuǎn)門的旋轉(zhuǎn)是“面動(dòng)成體”，故本選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線、面、體的知識(shí)，主要是考查學(xué)生立體圖形的空間想象能力及分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．【變式2】（2023上·甘肅蘭州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）將下面四個(gè)圖形繞著虛線旋轉(zhuǎn)一周，能夠得到如圖所說(shuō)的立體圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面動(dòng)成體結(jié)合常見立體圖形的形狀解答即可.【詳解】解：根據(jù)面動(dòng)成體結(jié)合常見立體圖形的形狀得出只有A選項(xiàng)符合，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線、面、體的知識(shí)，是基礎(chǔ)題，掌握常見幾何體的形成是解題的關(guān)鍵.【變式3】（2023·山東青島·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列現(xiàn)象，能說(shuō)明“線動(dòng)成面”的是（）A．天空劃過(guò)一道流星B．汽車雨刷在擋風(fēng)玻璃上刷出的痕跡C．拋出一塊小石子，石子在空中飛行的路線D．旋轉(zhuǎn)一扇門，門在空中運(yùn)動(dòng)的痕跡【答案】B【分析】本題是一道關(guān)于點(diǎn)、線、面、體的題目，回憶點(diǎn)、線、面、體的知識(shí)；【詳解】解：∵A、天空劃過(guò)一道流星說(shuō)明“點(diǎn)動(dòng)成線”，∴故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.∵B、汽車雨刷在擋風(fēng)玻璃上刷出的痕跡說(shuō)明“線動(dòng)成面”，∴故本選項(xiàng)正確.∵C、拋出一塊小石子，石子在空中飛行的路線說(shuō)明“點(diǎn)動(dòng)成線”，∴故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.∵D、旋轉(zhuǎn)一扇門，門在空中運(yùn)動(dòng)的痕跡說(shuō)明“面動(dòng)成體”，∴故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線、面、體，準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)生活實(shí)際中的現(xiàn)象是解題的關(guān)鍵.點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體.考點(diǎn)5：平面的旋轉(zhuǎn)典例5：（2023上·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圖形與其名稱對(duì)應(yīng)不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)面動(dòng)成體，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)是圓錐，矩形繞邊旋轉(zhuǎn)是圓柱，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)是圓臺(tái)，半圓案繞直徑旋轉(zhuǎn)是球，可得答案．【詳解】直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)是圓錐，故A正確；矩形繞邊旋轉(zhuǎn)是圓柱，故B正確；三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)是兩個(gè)同底的圓錐，故C錯(cuò)誤；半圓案繞直徑旋轉(zhuǎn)是球，故D正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)線面體，熟記各種圖形旋轉(zhuǎn)得出的立體圖形是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023·七年級(jí)單元測(cè)試）將圖中的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面動(dòng)成體可得直角梯形繞底邊邊旋轉(zhuǎn)可得答案．【詳解】平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖A，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形，熟練掌握一些常見的立體圖形是由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)得來(lái)的是解題的關(guān)鍵.【變式2】（2023上·河南鄭州·七年級(jí)校考期中）如圖，以直角三角形的斜邊所在的直線為軸，將圖形旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是幾何圖形的旋轉(zhuǎn)和三視圖，要熟記把一個(gè)直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是一個(gè)圓錐，則一個(gè)直角三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后的幾何體應(yīng)該是兩個(gè)圓錐，而且還是底面對(duì)著底面的圓錐，所以它的俯視圖是一個(gè)圓，且有圓心．【詳解】解：以直角三角形的斜邊所在的直線為軸，將圖形旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體，如圖所示：∴俯視圖是故選：B．【變式3】（2024上·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的平面圖形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】此題考查點(diǎn)、線、面、體的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是得到所求的平面圖形是得到幾何體的主視圖的被縱向分成的一半．從正面看得到的平面圖形是從上到下為等腰三角形，長(zhǎng)方形．由此可得出答案．【詳解】解：面動(dòng)成體，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周可得圓錐，長(zhǎng)方形繞一邊旋轉(zhuǎn)一周可得圓柱，那么所求的圖形是下面是圓柱，上面是圓錐的組合圖形．故選：D．考點(diǎn)6：截一個(gè)幾何體典例6：（2023上·山東青島·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，用一個(gè)平面分別去截下列水平放置的幾何體，所截的截面有可能是長(zhǎng)方形的有（

）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)正方體，圓柱，長(zhǎng)方體，三棱錐，圓錐，三棱柱的形狀特點(diǎn)，截面的角度和方向，逐一進(jìn)行判斷即可得．本題考查了截一個(gè)幾何體，所截的截面形狀．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握被截的幾何體形狀，截面的角度和方向．【詳解】解：用一個(gè)平面去截正方體，所截的截面可能是長(zhǎng)方形，用一個(gè)平面去截圓柱體，所截的截面可能是長(zhǎng)方形，用一個(gè)平面去截長(zhǎng)方體，所截的截面可能是長(zhǎng)方形，用一個(gè)平面去截三棱錐，所截的截面可能是長(zhǎng)方形，用一個(gè)平面去截圓錐體，所截的截面不可能是長(zhǎng)方形，用一個(gè)平面去截三棱柱，所截的截面可能是長(zhǎng)方形，∴所截的截面可能是長(zhǎng)方形的由5個(gè)．故選：D．【變式1】（2024上·遼寧阜新·七年級(jí)統(tǒng)考期末）截一個(gè)幾何體可以得到不同的平面圖形，下面四個(gè)平面圖形均可由哪一個(gè)幾何體截得（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】此題考查了幾何體的截面圖，根據(jù)題意進(jìn)行排除即可，解題的關(guān)鍵是正確理解幾何體的截面圖【詳解】根據(jù)幾何體的截面可知，A、圓錐的截面圖為圓，三角形，此選項(xiàng)不符合題意；B、正方體的截面圖如圖，此選項(xiàng)不符合題意；

C、球的截面圖為圓，此選項(xiàng)不符合題意；D、圓柱的截面圖為圓，長(zhǎng)方形，此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式2】（2023上·四川成都·七年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)正方體的截面不可能是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．七邊形【答案】D【分析】用平面去截正方體，得的截面可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，據(jù)此判斷即可．【詳解】用平面去截正方體，得的截面可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，不可能為七邊形，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正方體的截面，正方體有六個(gè)面，截面與其六個(gè)面相交最多得六邊形，不可能是七邊形或者多于七邊形．【變式3】（2023上·陜西寶雞·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，用平面截一個(gè)幾何體，該幾何體的截面形狀是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)截幾何體所得截面的形狀的判斷方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)判斷，該幾何體的截面形狀是矩形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查截一個(gè)幾何體，熟知判斷方法是解題的關(guān)鍵，用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，首先判斷平面與圍成幾何體的面相交的線是直線還是曲線，再判斷截面的形狀．考點(diǎn)7：七巧板的應(yīng)用典例7：（2023上·福建寧德·九年級(jí)福鼎市第一中學(xué)?？计谥校┢咔砂迨且环N古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，它由七個(gè)板塊組成，用如圖所示的七巧板拼圖，下列說(shuō)法正確的是（）A．能拼成平行四邊形，不能拼成矩形B．不能拼成平行四邊形，能拼成矩形C．既能拼成平行四邊形，也能拼成矩形D．既不能拼成平行四邊形，也不能拼成矩形【答案】C【分析】本題考查了七巧板的應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)七巧板的拼法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖所示，由圖可得，七巧板既能拼成長(zhǎng)方形，也能拼成平行四邊形，故選：C．【變式1】（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）五巧板是一種類似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如圖方式分割的一幅五巧板，若從中拿走一塊，使得剩下的四塊板仍然能拼成一個(gè)正方形，則拿走的那塊板的序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．⑤【答案】D【分析】根據(jù)仍要拼得正方形求解即可得到答案．【詳解】解：依題意可得，∵剩下的四塊板仍然能拼成一個(gè)正方形，∴取下來(lái)的是⑤，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的分割圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，確保剩下的四塊板仍然能拼成一個(gè)正方形．【變式2】（2023上·浙江麗水·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2016年第七屆世界歷史文化名城博覽會(huì)在南京舉辦．以“多元，開放，創(chuàng)造”為定位，其會(huì)徽是運(yùn)用“七巧板”(如圖1)元素組合成的“一件云錦嫁衣”圖案．如圖2，若七巧板的總面積為2S，則這件云錦嫁衣頂部的兩塊的面積和是()A．S B．12S C．14S D．18【答案】B【分析】根據(jù)“七巧板”的分割方法，得出各個(gè)部分各占正方形面積的幾分之幾即可．【詳解】解：根據(jù)“七巧板”的分割方法可知，S△EFC=1∴這件云錦嫁衣頂部的兩塊的面積和是18S正方形ABCD+18故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了七巧板，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題【變式3】（2023上·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1）是一副七巧板，其中最小正方形的邊長(zhǎng)是1，取其中六塊拼成如圖（2）的形狀，沿圖形外圍構(gòu)造矩形（虛線部分），則該矩形的面積是（

）A．35 B．35.5 C．352 D．【答案】B【分析】分三步：第一步計(jì)算出原七巧板中各個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)，第二步求出七巧板中平行四邊形對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)，第三邊求出矩形的長(zhǎng)和寬，最后根據(jù)矩形面積公式求解即可．【詳解】解：第一步，由圖（1）可計(jì)算出原七巧板中各個(gè)圖形中相應(yīng)邊的長(zhǎng)度，如下圖所示：第二步：可求出七巧板中平行四邊形對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)度，如下圖所示；第三步：可以計(jì)算出圖（2）中矩形的長(zhǎng)和寬，如下圖所示：∴矩形的長(zhǎng)為1+2+22+2+1=6+∴矩形的面積為6+2故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板拼接圖形，正確求出各圖形中邊的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8：直線、射線、線段典例8：（2024上·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法：（1）兩點(diǎn)確定一條線段；（2）畫一條射線，使它的長(zhǎng)度為3cm；（3）線段AB和線段BA是同一條線段；（4）射線AB和射線BA是同一條射線；（5）直線AB和直線BA是同一條直線．其中錯(cuò)誤的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了直線、射線、線段，根據(jù)射線是不可度量的，以及直線、線段和射線的定義即可判斷，解題的關(guān)鍵是掌握直線、線段和射線的定義．【詳解】解：（1）兩點(diǎn)確定一條直線，錯(cuò)誤；（2）射線是不可度量的，錯(cuò)誤；（3）線段AB和線段BA是同一條線段，正確；（4）射線AB和射線BA是不同的射線，錯(cuò)誤；（5）直線AB和直線BA是同一條直線，正確；∴錯(cuò)誤的有3個(gè)，故選：C．【變式1】（2022下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A，B在直線l上，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．線段AB和線段BA是同一條線段B．直線AB和直線BA是同一條直線C．圖中以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有兩條D．射線AB和射線BA是同一條射線【答案】D【分析】根據(jù)線段、射線、直線的特點(diǎn)判斷即可．【詳解】線段AB和線段BA是同一條線段，故A正確；直線AB和直線BA是同一條直線，故B正確；圖中以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有兩條，故C正確；射線AB和射線BA不是同一條射線，故D錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段、射線、直線的特點(diǎn)，熟練掌握各自的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·河南平頂山·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符的是（

）A．如圖1所示，延長(zhǎng)線段BA到點(diǎn)CB．如圖2所示，射線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)AC．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)AD．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查了直線、射線、線段的定義，正確掌握三者的概念是解題的關(guān)鍵．直線向兩方無(wú)限延伸，不需要延長(zhǎng)，射線向一方無(wú)限延伸，不需延長(zhǎng)，但可以反向延長(zhǎng)；而線段不延伸，既可以延長(zhǎng)，也可以反向延長(zhǎng)．【詳解】解：A．如圖1所示，應(yīng)為射線BA經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，故不符合題意；B．如圖2所示，射線BC不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，故不符合題意；C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A，符合題意；D．如圖4所示，射線CD和線段AB有交點(diǎn)，故不符合題意；故選C．【變式3】（2024上·天津河?xùn)|·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，觀察圖形，下列說(shuō)法正確的有（）個(gè)①直線AB和直線BA是同一條直線，②射線AC和射線AD是同一條射線，③AB+BD>AD④圖中一共有5條線段．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了直線、射線、線段相關(guān)知識(shí)，兩點(diǎn)之間，線段最短，掌握線段、射線、直線的表示方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線的表示方法對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)射線的表示方法對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)線段的性質(zhì)對(duì)③④進(jìn)行判斷．【詳解】解：①直線AB和直線BA是同一條直線，直線沒有端點(diǎn)，此說(shuō)法正確；②射線AC和射線AD是同一條射線，都是以A為端點(diǎn)，同一方向的射線，正確；③AB+BD>AD，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得此說(shuō)法正確；④圖中有線段AC，線段AD，線段CD，線段AB，線段BC，線段BD，6條線段．故原說(shuō)法不正確；所以共有3個(gè)正確．故選：C．考點(diǎn)9：兩點(diǎn)確定一條直線典例9：（2023上·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在下列現(xiàn)象中，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了直線的性質(zhì)，熟練掌握直線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．有直線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：木匠彈墨線，打靶瞄準(zhǔn)，拉繩插秧都可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋，彎曲公路改直利用的是兩點(diǎn)之間，直線最短，故不可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋．故選：C．【變式1】（2023上·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面上有三個(gè)點(diǎn)，可以確定的直線的條數(shù)為（

）A．1條 B．3條 C．1條或3條 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查兩點(diǎn)確定一條直線，分三點(diǎn)共線和三點(diǎn)不共線兩類討論根據(jù)任意三點(diǎn)不共線的點(diǎn)確定直線公式n×(n?1)2【詳解】解：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，能確定一條直線，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，直線條數(shù)為：3×(3?1)2故選：C．【變式2】（2023上·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在下列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，直接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：第一、二、三幅圖中的生活、生產(chǎn)現(xiàn)象可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋，第四幅圖中利用的是“兩點(diǎn)之間，線段最短”的知識(shí)．故選：C．【變式3】（2023上·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中?？计谥校┰谙铝猩?、生產(chǎn)現(xiàn)象中，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋的是（

）A．鐘表的秒針旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓面；B．把筆尖看成一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)便得到一條線；C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程；D．木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在木板上畫出兩個(gè)點(diǎn)，然后過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)彈出一條墨線．【答案】D【分析】本題考查直線的性質(zhì)．根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、鐘表的秒針旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓面；說(shuō)明線動(dòng)成面，不符合題意；B、把筆尖看成一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)便得到一條線；說(shuō)明點(diǎn)動(dòng)成線，不符合題意；C、把彎曲的公路改直，就能縮短路程；是因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短，不符合題意；D、木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在木板上畫出兩個(gè)點(diǎn)，然后過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)彈出一條墨線；是因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，符合題意；故選D．考點(diǎn)10：線段和與差的計(jì)算典例10：（2023上·山東青島·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C為線段AD上一點(diǎn)，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，且AD=9cm(1)圖中共有______條線段；(2)求AC=______；(3)若點(diǎn)E在直線AD上，且EA=3cm，求BE【答案】(1)6，詳見解析；(2)5cm(3)4或10cm，詳見解析【分析】本題考查了線段的應(yīng)用，線段的中點(diǎn)，線段的和（差）等知識(shí)點(diǎn)，（1）固定A為端點(diǎn)，數(shù)線段，依次類推，最后求和即可；（2）根據(jù)AC=AD?CD=AC?2BC，計(jì)算即可；（3）分點(diǎn)E在點(diǎn)A左邊和右邊兩種情形求解；熟練掌握線段的中點(diǎn)，靈活運(yùn)用線段的和，差是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）以A為端點(diǎn)的線段為：AC，以C為端點(diǎn)的線段為：CB，以B為端點(diǎn)的線段為：BD；共有3+2+1=6（條）；故答案為：6；（2）∵點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，BD=2cm∴CD=2BD=2×2=4（cm）∴AC=AD?CD=9?4=5（cm）故答案為：5cm（3）AB=AC+BC=7cm當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，BE=AB?AE=7?3=4（cm）當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=AB+AE=7+3=10（cm）∴BE的長(zhǎng)是4或10cm【變式1】（2023上·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．(1)若AC=10，BC=6，求線段MN的長(zhǎng)．(2)若AC+BC=a，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)．(3)若把（2）小題中“點(diǎn)C在線段AB上”改為“點(diǎn)C在直線AB上”，試探究MN、AC、BC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)MN=8(2)MN=(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，MN=12AC+BC；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，MN=12AC?BC【分析】本題考查兩點(diǎn)之間的距離，掌握線段的中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．可知MC=5，CN=3，從而可求得MN的長(zhǎng)度；（2）由點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，MN=MC+CN=1（3）由于點(diǎn)C在直線AB上，所以要分三種情況進(jìn)行討論計(jì)算MN的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，AC=10，BC=6，∴MC=12AC=5∴MN=MC+CN=8；（2）解：∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC=12AC∴MN=MC+CN=1（3）解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，由（2）可知：MN=MC+CN=1當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，若點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC=12AC∴MN=MC?CN=1當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，若點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．∴MC=12AC∴MN=CN?MC=1綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，MN=12AC+BC；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，MN=12AC?BC；當(dāng)點(diǎn)【變式2】（重慶市渝北區(qū)2023-2024學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)C、D是線段AB上兩點(diǎn)，AC:BC=3:2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．(1)如圖1所示，若AB=20，求線段CD的長(zhǎng)；(2)如圖2所示，若E為AC的中點(diǎn)，ED=5，求線段AB的長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)25【分析】本題考查了與線段中點(diǎn)的有關(guān)的計(jì)算，線段的和與差．明確線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，AC=35AB=12，AD=（2）由題意得，AC=35AB，AD=12【詳解】（1）解：∵AB=20，AC:BC=3:2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AC=35AB=12∴CD=AC?AD=2，∴線段CD的長(zhǎng)為2；（2）解：∵AC:BC=3:2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，∴AC=35AB，AD=∴ED=AD?AE=1解得，AB=25，∴線段AB的長(zhǎng)為25．【變式3】（2023上·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)．(1)若AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=3BC，則AM的長(zhǎng)為___________．(2)若AB=a，AB?AC=a3，求BM的長(zhǎng)（用含【答案】(1)3(2)BM=2a3【分析】本題主要考查線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差倍分的計(jì)算，熟練掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得，AB=8，AC=3BC，可求得AC=6，BC=2，結(jié)合點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，即可求得AM的長(zhǎng)；（2）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間，BC=AB?AC=a3，得到AC=2a3，結(jié)合點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，求得CM=12AC=a3，即可求得BM的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，AC=AB?【詳解】（1）解：∵AB=8，∴AC+BC=8，又AC=3BC，∴BC+3BC=8，∴AC=6，BC=2，∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，∴AM=3．（2）解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間，∵BC=AB?AC=a∴AC=AB?BC=a?a∵點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，∴CM=1∴BM=CM+BC=a②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，∵AB?AC=∴AC=AB?a又∵點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，∴AM=1∴BM=AM+AB=a綜上：BM=2a3或考點(diǎn)11：線段的中點(diǎn)問(wèn)題典例11：（2023下·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)C、D、E分別為線段AB上的點(diǎn)（D在E點(diǎn)左邊），且滿足DE=1(1)如圖1，若BC=2AC，AB=9，D為AC中點(diǎn)時(shí)，求BE的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，DC=3AD，試探究線段DE與CB之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)3(2)7BC=2DE【分析】本題考查線段的和差，中點(diǎn)的定義，運(yùn)用了方程的思想．（1）如圖，設(shè)AC=x，根據(jù)BC=2AC，AB=9可得x=3，得到AC=3，BC=6，由中點(diǎn)的定義得出AD=32，最后將數(shù)據(jù)代入（2）如圖，設(shè)DE=a，BC=b，由中點(diǎn)的定義得到EC=BC=b，所以DC=a+b，從而得到AD=13a+b，最后利用AB=AD+DC+BC和DE=12【詳解】（1）解：如圖，設(shè)AC=x，∵BC=2AC，AB=9，DE=1∴BC=2AC=2x，DE=9∴x+2x=9，∴x=3，∴AC=3，BC=2AC=6，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD=1∴BE=AB?AD?DE=9?3∴BE的長(zhǎng)為3．（2）如圖，設(shè)DE=a，BC=b，∵點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，∴EC=BC=b，∴DC=DE+EC=a+b，∵DC=3AD，∴AD=1∴AB=AD+DC+BC=1又∵DE=1∴AB=2DE，∴43∴7b=2a，∴7BC=2DE．∴線段DE與CB之間的數(shù)量關(guān)系為7BC=2DE．【變式1】（2024上·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，C，D是線段AB上的兩個(gè)點(diǎn)，且AC:CD:BD=1:2:4，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，MD=2cm

(1)求線段AB的長(zhǎng)；(2)若N是線段AB上一點(diǎn)，滿足BC=8DN，求線段AN的長(zhǎng)．【答案】(1)28(2)9cm或【分析】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差計(jì)算；（1）根據(jù)題意，設(shè)AC=x,CD=2x,BD=4x，得出AB=7x，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出BD=12AB=（2）先求得DN=18BC=3cm，然后分①當(dāng)N在D點(diǎn)左側(cè)時(shí)；②當(dāng)【詳解】（1）解：∵AC:CD:BD=1:2:4，設(shè)AC=x,CD=2x,BD=4x，

∴AB=AC+CD+BD=7x，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴BD=1∴DM=BD?BM=4x?7∵DM=2cm∴1解得x=4，∴AB=7x=28cm（2）∵CD=2x,BD=4x，

∴BC=BD+CD=6x=6×4=24cmAD=AC+CD=3x=12cm∵BC=8DN，∴DN=1①當(dāng)N在D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AN=AD?DN=12?3=9cm②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，AN=AD+DN=12+3=15cm綜上：AN的長(zhǎng)為9cm或15【變式2】（2022上·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB=30，AC=10，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)．(1)則線段BC的長(zhǎng)度為；(2)在線段CB上取一點(diǎn)N，滿足NB=3CN．求線段MN的長(zhǎng)．【答案】(1)20(2)10【分析】（1）根據(jù)圖示,利用線段加減關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義可知MC=12AC，由NB=3CN，可知CN=【詳解】（1）解：∵AB=30，∴BC=AB－故答案為：20．（2）解：∵BC=20，∴CN=1又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AC=10，∴MC=1∴MN=MC+NC=5+5=10．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段的和差，線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．若AB=18，DE=8，線段DE在線段AB上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)7(2)3或5【分析】（1）由AC=2BC，AB=18，可求出BC=6，AC=12．再根據(jù)E為BC中點(diǎn)，即得出CE=3，從而可求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AD的長(zhǎng)；（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，畫出圖形，根據(jù)線段的倍數(shù)關(guān)系和和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解題．【詳解】（1）∵AC=2BC，AB=18，DE=8，∴BC=13AB=6如圖，∵E為BC中點(diǎn)，∴CE=1∴CD=DE?CE=5，∴AD=AB?CD?BC=18?5?6=7；（2）分類討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，∵CE+EF=3，BC=6，∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF=3，∴AF=AB?BF=18?3=15，∴AD=1②如圖，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)，∵AC=12，CE+EF=CF=3，∴AF=AC?CF=9，∴AF=3AD=9，∴AD=3．綜上所述：AD的長(zhǎng)為3或5；【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段的和與差．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)12：線段的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題典例12：（2023上·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動(dòng)的線段：AB=m,CD=n，且m，n滿足m?4+n?82=0，點(diǎn)M，

(1)求線段AB,CD的長(zhǎng)；(2)線段AB以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度也向右運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)6秒后，MN=4，求此時(shí)線段BC的長(zhǎng)；(3)若BC=24，將線段CD固定不動(dòng)，線段AB以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，在線段AB向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個(gè)定值，并直接寫出t在哪一個(gè)時(shí)間段內(nèi)．【答案】(1)線段AB的長(zhǎng)是4，線段CD的長(zhǎng)是8(2)16或8(3)當(dāng)7.5≤t≤9時(shí)，MN+AD為定值，定值為6【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）若6秒后，M′在點(diǎn)N′左邊時(shí)，若6秒后，M′（3）根據(jù)題意分類討論于是得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵|m?4|+n?8∴m?4=0，n?8∴m=4，n=8，∴AB=4，CD=8，即線段AB的長(zhǎng)是4，線段CD的長(zhǎng)是8；（2）解：∵AB=4，CD=8，∴MB=12AB=2設(shè)運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N若6秒后，M′在N′的左側(cè)時(shí)：∴MB+BC+CN+NN′=M解得BC=16．若6秒后，M′在N′的右側(cè)時(shí)：∴MM=MB+BC+CN+NN即6×4=2+BC+4+6×1+4，解得BC=8．即線段BC的長(zhǎng)為16或8；（3）解：∵BC=24，AB=4，CD=8，∴MN=BC+12AB+∵線段CD固定不動(dòng)，線段AB以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)t秒后，MN=30?4t，AD=當(dāng)0≤t<7.5時(shí)，MN+AD=30?4t+36?4t=66?8t；當(dāng)7.5≤t≤9時(shí)，MN+AD=4t?30+36?4t=6；當(dāng)t>9時(shí)，MN+AD=4t?30+4t?36=8t?66；故當(dāng)7.5≤t≤9時(shí)，MN+AD為定值，定值為【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，線段的和差關(guān)系，以及數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論思想．【變式1】（2023上·江西撫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足a+2+

(1)a=______，b=______，c=______．(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)PB=2PO時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OA的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；（注：點(diǎn)(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB上時(shí)，分別取AP和OB的中點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)問(wèn)：AB?OPEF的值是否隨著時(shí)間t【答案】(1)?2，1，7(2)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是487cm(3)不變，值為2【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性以及平方的非負(fù)性，得a，c的值，結(jié)合b是最小的正整數(shù)，即可得b的值；（2）先求出點(diǎn)Q，此時(shí)CQ=8，再進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系以及路程等于時(shí)間乘速度等知識(shí)進(jìn)行列式，即可作答；（3）易得AP=2t，OP=2t?2，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得EF=AB?AE?BE=52?t【詳解】（1）解：因?yàn)閍+2所以a=?2，c=7因?yàn)閎是最小的正整數(shù)，所以b=1；（2）解：∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OA的中點(diǎn)，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)是?1，此時(shí)CQ=7??1由PB=2PO，可分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，得OP=1此時(shí)AP=AO+OP=2+1∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為73∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度=8÷7②當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，得PO=OB=1，此時(shí)AP=AO?PO=2?1=1，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1÷2=1∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度=8÷1綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是487cm/（3）解：不變，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，此時(shí)AP=2t，OP=2t?2，∵點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，∴AE=t，∵點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，OB=1，∴BF=1∴EF=AB?AE?BF=3?t?12=∴AB?OPEF【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性以及在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線段之間的和差關(guān)系等知識(shí)內(nèi)容，涉及分類討論，難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·河北廊坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A

(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段PB上時(shí)，AC+PD=_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，則AP:PB=_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=3AC，求【答案】(1)①12；②1:2(2)9【分析】（1）①先分別求出PC=2cm,BD=4cm②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則PC=tcm,BD=2t（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，則PC=xcm,BD=3xcm，從而可得BD=3PC，再根據(jù)PD=3AC可得【詳解】（1）解：①依題意得：PC=1×2=2cm∵AB=18cm，點(diǎn)D仍在線段PB∴AC+PD=AB?PC?BD=18?2?4=12cm故答案為：12；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則PC=t∵當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，∴AP=2PC=2tcm∴AP:PB=1:2，故答案為：1:2．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，則PC=x∴BD=3PC，∵PD=3AC，∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC∵PB+AP=AB，∴3AP+AP=AB，∴AP=1【點(diǎn)睛】本題考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、線段的和與差、線段的中點(diǎn)，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023上·遼寧撫順·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2①若2cm<AP<14cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，求AP:PB；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=3AC，求【答案】(1)①12cm；②(2)9【分析】（1）①先計(jì)算BD，PC，再計(jì)算（2）將AP用其它線段表示即可．【詳解】（1）解：①由題意得：BD=2×2=4(cm)，∴AC+PD=AB?PC?BD=18?2?4=12(cm②點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則：AP=2PC=2t，BP=2BD=4t，∴AP:PB=2t:4t=1:2．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則PC=tcm，∴BD=3PC，∵PD=3AC．∴PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP∴AP=1【點(diǎn)睛】本題考查線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、求線段的長(zhǎng)度，充分利用中點(diǎn)和線段的倍數(shù)關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)13：兩點(diǎn)之間線段最短典例13：（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)面都是長(zhǎng)為13的長(zhǎng)方形．點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面點(diǎn)D處的蜂蜜，則沿著表面需要爬行的最短路程是n，則n2的值為（

A．292 B．250 C．370 D．205【答案】B【分析】本題考查了平面展開-最短問(wèn)題，勾股定理及兩點(diǎn)之間線段最短，將棱柱展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到最短路徑，利用勾股定理解答即可，將棱柱的側(cè)面展開圖正確畫出來(lái)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將棱柱展開如圖所示，∵棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)面都是長(zhǎng)為13的長(zhǎng)方形，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴BD=3，∴n2故選：B．【變式1】（2023上·貴州遵義·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，下列情境中用到“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理的是（

）A．景區(qū)入口處排隊(duì)時(shí)用護(hù)欄設(shè)置成S形B．工人師傅砌墻時(shí)在兩端拉一條繩C．連通兩山之間盤旋公路改為筆直的大橋D．閱兵時(shí)軍人向右看齊【答案】C【分析】本題考查了直線的性質(zhì)，線段公理等知識(shí)，根據(jù)概念逐項(xiàng)判斷即可，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、景區(qū)入口處排隊(duì)時(shí)用護(hù)欄設(shè)置成S形，是將距離拉長(zhǎng)，沒有用到兩點(diǎn)之間線段最短，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、工人師傅砌墻時(shí)在兩端拉一條繩，用到的知識(shí)是兩點(diǎn)確定一條直線，不是兩點(diǎn)之間線段最短，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、連通兩山之間盤旋公路改為筆直的大橋，用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是：兩點(diǎn)之間線段最短，故本選項(xiàng)正確；D、閱兵時(shí)軍人向右看齊，沒有用到兩點(diǎn)之間線段最短，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【變式2】（2024上·河北邯鄲·七年級(jí)校考期末）如圖，已知工廠A，B在鐵路l兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)建立貨站，使該貨站到工廠A與B的距離之和最小，則這個(gè)點(diǎn)是（

）A．M B．N C．P D．Q【答案】B【分析】本題主要考查“兩點(diǎn)之間，線段最短”，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”解答即可．【詳解】解：根據(jù)圖中連線知線段AN和線段NB在同一條直線上，依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得點(diǎn)N建立貨站，到工廠A與B的距離之和最?。蔬x：B．【變式3】（2023上·河南周口·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長(zhǎng)比原樹葉的周長(zhǎng)小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 B．兩點(diǎn)之間，直線最短C．兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【答案】D【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，根據(jù)線段的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：由于兩點(diǎn)之間線段最短，∴剩下樹葉的周長(zhǎng)比原樹葉的周長(zhǎng)小，故選：D．考點(diǎn)14：兩點(diǎn)之間的距離典例14：（2023上·遼寧葫蘆島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知兩根木條分別長(zhǎng)50cm，100cm，將它們的一端重合，放在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)間的距離是（A．50cm B．75cm C．25cm D．【答案】D【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段的中點(diǎn)定義，熟練掌握線段的中點(diǎn)定義是解題的關(guān)鍵．分類討論進(jìn)行解得即可．【詳解】解：設(shè)AB=50cm，BC=100cm，點(diǎn)M、N分別是∴BM=25,BN=50，①AB不在BC上，∴MN=MB+BN=25+50=75cm．②AB在BC上，∴MN=BN?MB=50?25=25cm，故選D．【變式1】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果AB=10cm，AC=8cm，那么線段MN的長(zhǎng)度為（A．6cm B．9cm C．3cm或6cm 【答案】D【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題關(guān)鍵，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，可得出答案．分類討論點(diǎn)C在AB上，點(diǎn)C在AB的反向延長(zhǎng)線上，根據(jù)線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AM、AN的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，如圖：

點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AC的中點(diǎn)，MA=12AB=5MN=MA?AN=5?4=1cm當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，如圖：

點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AC的中點(diǎn)，MA=12AB=5MN=MA+AN=5+4=9cm故選：D．【變式2】（2023上·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果線段AB=5cm，線段BC=4cm，那么A，C兩點(diǎn)之間的距離是（A．9cm B．1cm C．1cm或【答案】D【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是分類討論：當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，分點(diǎn)B在A、C之間和點(diǎn)C在A、B之間兩種情況討論；當(dāng)A，B，C三