中考數(shù)學一輪總復習重難考點強化訓練-專題01 一次方程（組）及其應(yīng)用（知識串講+9大考點）（全國版）原卷版

專題01一次方程（組）及其應(yīng)用考點類型知識一遍過（一）等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c.（2）性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．（3）性質(zhì)3：（對稱性）若a=b,則b=a.（4）性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.（二）方程的概念（1）方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程：使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，方程的解也叫它的根：求方程解的過程叫做解方程。（2）一元一次方程：只含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程：它的一般形式為ax+b=0(a≠0)．其解為x＝．（3）二元一次方程（組）：①二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．②二元一次方程組：具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．③二元一次方程的解：適合一個二元一次方程的未知數(shù)的值叫做這個二元一次方程的一個解，一個二元一次方程有無數(shù)多個解．④二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（三）解一元一次方程（1）一般步驟：①去分母：②去括號：③移項：④合并同類項：⑤系數(shù)化為1．（2）理論根據(jù)和注意點①去分母→根據(jù)等式性質(zhì)2→注意點：勿漏乘不含分母的項，分子是兩項以上的代數(shù)式須加上括號；②去括號→根據(jù)去括號法則（分配律）→注意點：一是勿漏乘括號內(nèi)每一項；二是括號前是“－”，括號內(nèi)各項都要變號；③移項→根據(jù)移項法則（等式性質(zhì)1）→注意點：一是移項要變號，二是勿漏項；④合并同類項→根據(jù)合并同類項法則→注意點：系數(shù)相加，字母及它的指數(shù)不變（四）解二元一次方程組解二元一次方程組的基本思想是消元，即化二元一次方程組為一元一次方程，主要方法有代入消元法和加減消元法．（五）一次方程（組）的應(yīng)用步驟：設(shè)（未知數(shù)）→列（方程）→解（方程）→答（作答）關(guān)鍵點：確認等量關(guān)系；常見的等量關(guān)系：①行程問題基本等量關(guān)系：路程=時間×速度；時間=路程÷速度；速度=路程÷時間。順行：順行速度＝自身速度＋風速（水速）；逆行速度＝自身速度－風速（水速）②工程問題：工作總量=工作時間×工作效率。③配套問題：實際生產(chǎn)比＝配套比。④商品銷售問題：利潤＝售價－成本；售價＝標價×0.1折扣；利潤率＝利潤÷進價×100%總利潤＝單利潤×數(shù)量現(xiàn)單利潤＝原單利潤＋漲價部分（－降價部分）現(xiàn)數(shù)量＝原數(shù)量－（原數(shù)量＋）⑤數(shù)字問題：一個十位數(shù)可表示為：10×十位上的數(shù)字＋個位上的數(shù)字；一個百位數(shù)可表示為：100×百位上的數(shù)字＋10×十位上的數(shù)字＋個位上的數(shù)字。以此類推。⑥平均增長率（下降率）問題：計算公式：原數(shù)×（1＋增長率）＝總數(shù)，原數(shù)×（1－下降率）＝總數(shù)?？键c一遍過考點1：方程的解典例1：（22·23上·紅河·期末）小剛同學在做作業(yè)時，不小心將方程3x?3?■=x+1中的一個常數(shù)涂黑了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x=7，請問這個被涂黑的常數(shù)■是（A．6 B．5 C．4 D．1【變式1】（22·23上·泰安·期末）若關(guān)于x的一元一次方程12023x+5=3x?7的解為x=?3，則關(guān)于y的一元一次方程12023A．y=?3 B．y=?4 C．y=?5【變式2】（22·23上·鹽城·期末）整式mx?n的值隨x取值的變化而變化，下表是當x取不同值時對應(yīng)的整式的值：x?5?4?3?2?11mx?n9630?3?9則關(guān)于x的方程?mx+n=9的解為（

）A．x=?5 B．x=?4 C．x=?2 D．x=1【變式3】（22·23·浙江·模擬預測）一賓館有一人間、兩人間、三人間三種客房供游客租住，某旅行團共15人準備租用客房共7間，如果每個房間都住滿，租房方案有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．3種【變式4】（22·23下·石家莊·階段練習）若x=2y=1和x=?2y=0都是方程ax+by=2的解，則a+b的值為（A．1 B．2 C．3 D．4【變式5】（22·23下·嘉興·階段練習）下列某個方程與x?y=3組成方程組的解為x=2y=?1，則這個方程是（

A．12x+2y=3 B．2x?y=6y C．考點2：等式的性質(zhì)典例2：（23·24上·長沙·期中）若a=b，m是任意有理數(shù)，則下列等式不一定成立的是（

）A．a(chǎn)+m=b+m B．a(chǎn)?m=b?mC．a(chǎn)m=bm D．a(chǎn)【變式1】（23·24上·哈爾濱·階段練習）下列運用等式性質(zhì)進行的變形，正確的是（

）A．如果a+5=5?b，那么a=b B．若ac=C．若2x=2a?b，則x=a?b D．若x2=6x【變式2】（23·24上·全國·專題練習）“△〇□”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放〇的個數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式3】（22·23上·河北·階段練習）下列方程的變形正確的是（

）A．由?2x=9，得x=?29 B．由1C．由7=?2x?5，得2x=5?7 D．由1+12【變式4】（22·23下·滄州·期末）嘉淇利用砝碼和自制天平做一個物理實驗，估測物體質(zhì)量，有兩種不同質(zhì)量的物體、，同種物體的質(zhì)量都相等，下面兩個天平中右邊都比左邊低，天平中砝碼的質(zhì)量如圖所示，的質(zhì)量可能為（

）

A．25g B．21g C．20g D．19g【變式5】（22·23下·長春·階段練習）下列變形正確的是（）A．由4x?5=3x+2得4x?3x=?2+5B．由23x?1=C．由3x?1=2D．由?2x=?3得x=考點3：解一元一次方程典例3：（23·24上·廣州·期中）解方程(1)2(2)5x?2=3【變式1】（23·24上·廣州·期中）解方程：(1)x+5=8(2)3x+4=5?2x(3)8【變式2】（23·24上·大連·期中）解方程：(1)x+3(2)3x+7=32?2x．【變式3】（23·24上·綦江·期中）解下列方程(1)x?(2)4x?3=6x+5【變式4】（23·24上·全國·專題練習）解方程：(1)1?3(2)2x+1(3)x?1(4)3【變式5】（23·24上·十堰·期中）解方程：(1)2x?x+3=1.5?2x(2)7x+2=5x+8考點4：一次方程的實際應(yīng)用典例4：（23·24上·哈爾濱·階段練習）制作一張桌子要用一個桌面和4條桌腿，1m3木材可制作20個桌面，或者制作400條桌腿，現(xiàn)有【變式1】（23·24上·海淀·開學考試）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好到達標記位置，如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位也恰好到達標記位置．已知搬運工體重均為130斤，求大象的體重．請將下列解答過程補充完整：

解：由題意得等量關(guān)系：20塊等重的條形石的重量+3個搬運工的體重和=21塊等重的條形石的重量+1個搬運工的體重，所以①已知搬運工體重均為130斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則可列方程為：______．②解這個方程得，x=______．③實際上由題也可直接得到：一塊條形石的重量=______．個搬運工的體重④最終可求得：大象的體重為______斤．【變式2】（23·24上·武漢·期中）紅領(lǐng)巾球館計劃購買某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知該品牌的乒乓球拍每副定價150元，乒乓球每盒定價15元．元旦期間該品牌決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案，即方案一：買一副乒乓球拍送兩盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定價的90%該球館計劃購買乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x>20，x為整數(shù)）．(1)當x=40時，若該球館按方案一購買，需付款______元；若該球館按方案二購買，需付款_____元；(2)當x為何值時，分別用兩種方式購買所需費用一樣？(3)若x=40，能否找到一種更為省錢的購買方案？如果能，請你寫出購買方案，并計算出此方案所需費用；如果不能，請說明理由．【變式3】（23·24上·沈陽·期中）已知數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為?4，10，點P為數(shù)軸上一動點，對應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點P到點A，點B的距離相等，請求出x的值；(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為20?若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；(3)一小球甲從點A處以1個單位/秒的速度向左運動，2秒后，另一小球乙從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，追上小球甲后立即以原來的速度向相反的方向運動，設(shè)點A的運動的時間為t秒．請直接寫出甲，乙兩小球到原點的距離相等時t的值．【變式4】（22-23下·浦東新·期末）六年級（1）班、（2）班各有48人，兩個班都有一些同學參加課外數(shù)學小組，（1）班參加數(shù)學小組的人數(shù)恰好是（2）班沒有參加數(shù)學小組人數(shù)的12，（2）班參加數(shù)學小組的人數(shù)恰好是（1）班沒有參加數(shù)學小組人數(shù)的2【變式5】（23·24上·哈爾濱·階段練習）水是生命之源，節(jié)約用水是全社會的共同責任．為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采取價格調(diào)控的手段達到節(jié)水的目的，某市自來水收費的價格表如下（水費按月結(jié)算）價格表每月用水量價格不超過6立方米的部分每立方米3元超過6立方米不超過10立方米的部分每立方米5元超過10立方米的部分每立方米8元小亮家一月份用水256立方米，二月份用的水量比一月份用的12(1)求小亮家一月份應(yīng)交的水費．(2)求小亮家二月份應(yīng)交的水費．(3)若小亮家三月份交的水費是二月份水費的2714【變式6】（23·24上·南岸·期中）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是?4，點B在點A的右側(cè)，且到點A的距離是18；點C在點A與點B之間，且到點B的距離是到點A距離的2倍．

(1)點B表示的數(shù)是______；點C表示的數(shù)是______；(2)若點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位長度的速度向右勻速運動；同時，點Q從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒3個單位長度的速度向左勻速運動．設(shè)運動時間為t秒，在運動過程中，當t為何值時，點P與點Q重合，求出t的值和此時點P對應(yīng)的數(shù)；(3)在（2）的條件下，當點Q到達點A后沿原路按原速返回，點P到達點B后兩個點同時停止運動．是否存在某一時刻t，使得P、Q兩點間的距離恰好等于線段AB的一半，如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．【變式7】（23·24上·沙坪壩·階段練習）如圖，將某些具有一定規(guī)律的數(shù)按照如下圖的方式進行排列，得到一個數(shù)陣，用如圖的一個矩形框框住其中的4個數(shù)：(1)若方框內(nèi)最右上角的數(shù)是97，則最左下角的數(shù)為________；(2)若方框內(nèi)最右上角的數(shù)用a表示，請用含a的代數(shù)式表示這4個數(shù)之和；(3)方框內(nèi)的4個數(shù)之和可能為612嗎？若可能，求最右上角的數(shù)；若不可能，請說明理由．【變式8】（22·23上·漯河·期末）某校初一（1）班組織生活小常識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了其中4個參賽者的得分情況．參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分A200100B288C64D1040(1)請補全表格．(2)參賽者E得82分，他答對了幾道題？(3)參賽者F說他錯了10個題，得50分，請你判斷可能嗎？并說明理由【變式9】（23·24上·哈爾濱·階段練習）比優(yōu)特超市銷售甲、乙兩種商品，已知甲商品每件進價40元，售價60元；乙商品每件售價48元，利潤率為60%(1)每件甲商品利潤率為______；乙商品每件進價為______元；(2)若超市同時購進甲、乙兩種商品共52件，總進價為1790元，則購進乙種商品多少件？(3)在“十一國慶”期間超市所有商品有優(yōu)惠促銷活動，方案如下：①購買商品不超過300元，不優(yōu)惠；②購買商品超過300元，但不超過500元，按照售價九折優(yōu)惠；③購買商品超過500元時，按照售價的八折優(yōu)惠；按照以上優(yōu)惠條件，若王阿姨一次性購買甲商品實際付款432元，求王阿姨此次購物購買多少件甲商品？【變式10】（23·24上·哈爾濱·階段練習）修一條公路，甲工程隊單獨承包要40天完成，乙工程隊單獨承包要60天完成．(1)現(xiàn)在由兩個工程隊合作承包，幾天可以完成？(2)如果甲、乙兩工程隊合作12天后，因甲工程隊另有任務(wù)，剩下的工作由乙工程隊完成，則修好這條路共需要幾天？考點5：方程組的概念典例5：（22·23下·周口·階段練習）下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）①x+6=13y?x=2

②x+y=154y?3x=3

③1xA．①② B．③④ C．①②④ D．①②③【變式1】（22·23下·濟寧·階段練習）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A．x+y=1xy=2 B．5x?2y=31x+y=3 C．【變式2】（22·23下·廊坊·期中）若二元一次方程組4x?3y=13?的解為x=1y=?3，則?表示的方程可以是（A．x+y=4 B．1x?y=4 C．xy=?3 【變式3】（22·23下·東莞·階段練習）在方程組2x?y=1y=3z+1，x=23y?x=1，x+y=03x?y=5，xy=1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點6：解二元一次方程組典例6：（23·24上·深圳·期中）解方程組：x+3y=14【變式1】（23·24上·長沙·開學考試）（1）計算：?（2）解方程組：2x?y=?1【變式2】（22·23下·延邊·期末）計算：x?2y=32x+8y=18【變式3】（22·23下·溫州·期中）計算：選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M(1)x=3y+4(2)4x?y=5【變式4】（22·23下·成都·期末）已如方程組x+y=3a+7x?y=5a+1(1)求a的取值范圍；(2)化簡：a2【變式5】（23·24上·濟南·期中）解方程組：(1)3x+4y=165x?8y=34(2)x?12考點7：一次方程組的實際應(yīng)用典例7：（23·24上·哈爾濱·階段練習）安居小區(qū)業(yè)主安先生準備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊完成此項完程．由于工期過長，安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作．已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天．(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天；(2)若甲工程隊工作10天后，與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的45(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元，求甲工程隊參加工作多少天？【變式1】（23·24上·廣州·階段練習）為推進“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計劃購進一批圖書，已知購買2本科技類圖書和3本文學類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學類圖書需282元．(1)科技類圖書與文學類圖書的單價分別為多少元？(2)為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動（文學類圖書售價不變）；購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單價降低1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售．社區(qū)計劃購進兩種圖書共計100本，其中科技類圖書超過40本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準備多少購書款？【變式2】（23·24上·沙坪壩·階段練習）某城市自行車賽線路為從起點出發(fā)，先騎行一段緩下坡路，再騎行一段平路到達折返點，然后從折返點沿原路線返回起點（起點即終點）．假定某運動員A在平路上騎行的速度始終是25千米/小時，下坡的騎行速度始終是30千米/小時，上坡的騎行速度始終是20千米/小時，已知該運動員從起點到折返點用時46分鐘，從折返點回到起點用時51分鐘．(1)求比賽的下坡路程、下坡結(jié)束到折返點的平路路程分別是多少千米？(2)某參賽運動員B騎行時，下坡的速度是上坡速度的2倍，且從起點到折返點的用時比從折返點到終點少用10分鐘，求該運動員B騎行時的上坡速度是多少千米/小時？【變式3】（22·23下·沙坪壩·期末）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．三階幻方的填寫規(guī)則是將9個不同的整數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等．

(1)如圖1所示幻方，求x的值；(2)如圖2所示幻方，求a，b的值；(3)如圖3所示幻方，若m，n為正整數(shù)，直接寫出一共有多少種填法，并把其中一種幻方填寫完整．【變式4】（22-23下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復辦學40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學興趣小組的小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學子？【變式5】（23·24上·重慶·期中）某共享單車運營公司準備采購一批共享單車投入市場，而共享單車安裝公司由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，準備招聘一批新工人．已知2名熟練工人和3名新工人每天共安裝44輛共享單車；4名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與5名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車；(2)共享單車安裝公司計劃抽調(diào)出熟練工人若干，并且招聘新工人共同安裝共享單車．如果25天后剛好交付運營公司3500輛合格品投入市場，求熟練工人和新工人各多少人．【變式6】（23·24上·沙坪壩·階段練習）成都大運會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款文創(chuàng)紀念品，已知A、B兩款紀念品的進價分別為30元/個、25元/個．(1)網(wǎng)店第一次用1400元購進A、B兩款紀念品共50個，求A款紀念品購進的個數(shù)；(2)大運會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把A款紀念品降價20%銷售，則降價后銷售A款紀念品要獲得銷售額800元，比按照原價銷售要多賣4個才能獲得同樣多的銷售額，求A【變式7】（22·23·西藏·中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積．【變式8】（23·24上·福州·開學考試）我國古典數(shù)學文獻《增刪算法統(tǒng)宗·六均輸》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙說得甲九只，兩家之數(shù)相當．”翻譯成現(xiàn)代文，其大意如下：甲乙兩人隔一條溝放牧，二人心里暗中合計．甲對乙說：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙對甲說：“我得到你的九只羊，咱倆家的羊就一樣多．”求甲、乙各有多少只羊呢？考點8：方程組的應(yīng)用——錯解問題典例8：（22·23下·郴州·階段練習）一個星期天，小明和小文兩人同解關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄錯了方程①，得到方程組的解為x=3y=2；小文抄錯了方程②，得到方程組的解為x=?1y=2【變式1】（22-23下·江西·階段練習）已知方程組2x+my=10?①nx?2y=?6?②，小聰由于看錯了方程①中的系數(shù)m，得到方程組的解為x=26y=42；小明由于看錯了方程②中的系數(shù)【變式2】（22·23下·衡陽·階段練習）在解方程組mx+2y=62x+ny=8時，由于粗心，小軍看錯了方程組中的n得解為x=73y=2(1)小軍把n看成了什么數(shù)？小紅把m看成了什么數(shù)？(2)正確的解應(yīng)該是怎樣的？【變式3】（22·23下·萬州·期末）甲、乙兩人解同一個關(guān)于x，y的方程組ax+5y=15①4x?by=?2②，甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1，乙看錯了方程②中的(1)求a與b的值；(2)求a2022【變式