中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)重難考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練-專題02 分式方程及其應(yīng)用（知識(shí)串講+6大考點(diǎn)）（全國(guó)版）解析版

專題02分式方程及其應(yīng)用考點(diǎn)類型知識(shí)一遍過(guò)（一）分式方程的概念（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．（二）解分式方程（1）去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．（2）解這個(gè)整式方程，求得方程的根．（3）檢驗(yàn)，把解得整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母為0，則它不是原方程的根，而是方程的增根，必須舍去；如果使最簡(jiǎn)公分母不為0，則它是原分式方程的根．注意：分式方程無(wú)解包含：增根或去分母后的整式方程無(wú)解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母為0的根（三）分式方程解的應(yīng)用（1）增根求參數(shù)：①先去分母化為整式方程②確定增根③將增根代入整式方程解出參數(shù)（2）由解的情況求參數(shù)的取值范圍：①先去分母化為整式方程②用參數(shù)來(lái)表示x③根據(jù)解的情況構(gòu)建不等式，求解參數(shù)取值范圍（四）分式方程的實(shí)際應(yīng)用（1）解分式方程應(yīng)用的步驟：(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗(yàn)（既要檢驗(yàn)是否為分式方程的解，也要考慮是否符合實(shí)際意義）；(6)作答．（2）常用公式：①行程問(wèn)題：②工程問(wèn)題：（工作總量設(shè)為1）③銷售問(wèn)題：考點(diǎn)一遍過(guò)考點(diǎn)1：分式方程的定義典例1：（23·24上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列式子：①x?12=1；②xx?2=x+23x?1；③23x+12x；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中不含有未知數(shù)，是整式方程；②分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．⑤分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；綜上所述：分式方程有②④，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22·23下·沈陽(yáng)·期中）在①x2?x+1x，②1a?3=a+4，③A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：①x2②1a?3=a+4是關(guān)于③x2④2xx?3=1，是關(guān)于∴關(guān)于x的分式方程的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式2】（22·23下·浙江·專題練習(xí)）下列是分式方程的是（）A．xx+1+x+4C．34x?2=【答案】D【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出是等式，且分母含有未知數(shù)的方程，即可得解．【詳解】解：A、是一個(gè)代數(shù)式，不是方程，所以A不是分式方程；B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；D、分母含有未知數(shù)x，所以D是分式方程；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，正確理解分式方程的概念是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22·23下·上海·專題練習(xí)）已知方程：①1?9x2x2=0，②xA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：①1?9x②x2③x+2④(x+4則分式方程的個(gè)數(shù)是故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式4】（22·23下·全國(guó)·單元測(cè)試）下列式子中是分式方程的是（）A．12x?1+2C．2xx?1+1x+1=1【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程判斷．【詳解】A、12x?1B、分母中不含未知數(shù)，也不是分式方程；C、方程分母中含未知數(shù)x，是分式方程；D、分母中不含未知數(shù)，也不是分式方程；故選：C．【點(diǎn)睛】判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)．【變式5】（21·22下·上?！て谥校┮阎匠蹋孩??9x2x2=0；②xA．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：根據(jù)定義可知，①②③為分式方程，④不是分式方程，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：解分式方程典例2：（23·24上·煙臺(tái)·期中）解分式方程：9x?7【答案】x=1【分析】方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．【詳解】解：去分母得：9x?7?(3x?2)=?(4x?5)，解得x=1，檢驗(yàn)，當(dāng)x=1時(shí)，3x?2≠0，所以x=1是原方程的根．【變式1】（23·24上·重慶·期中）解方程：(1)7(2)x+1【答案】(1)x=?2(2)無(wú)解【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，x的系數(shù)化為1，最后對(duì)所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：7x?2去分母得：7+x?2=1?x，解得：x=?2，檢驗(yàn)：當(dāng)x=?2時(shí)，x?2≠0，∴x=?2是原方程的解；（2）x+1x?1去分母得：x+12解得：x=?1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=?1時(shí)，x2∴原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，注意對(duì)方程根的檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（22·23下·黔江·期末）（1）解方程5x?2（2）化簡(jiǎn)：(【答案】（1）x=?【分析】（1）利用分式方程的解法步驟求解即可；（2）利用分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式即可．【詳解】解：（1）兩邊同時(shí)乘以x?2得：5+x?2=1?x，移項(xiàng)得：x+x=1+2?5，合并同類項(xiàng)得：2x=?2，解得x=經(jīng)檢驗(yàn)x=∴原方程的解為x=（2）原式＝a==a=4×a+2=2a+2=2a+4．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程、分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式方程的解法步驟，掌握分式的混合運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．【變式3】（22·23下·南陽(yáng)·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：|?3|?（2）解方程：3x【答案】（1）4；（2）x=?1【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、二次根式計(jì)算即可；（2）先在等式兩邊同乘x2【詳解】（1）解：原式=3?1+4?2=4（2）解：3+?3x=3x=?1檢驗(yàn)：將x=?1代入3?x得4，故x=?1是原方程的根．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解分式方程，掌握相關(guān)知識(shí)及求解步驟是解題的關(guān)鍵．【變式4】（22·23下·平頂山·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)分解因式：x2(2)解方程：x4x?4【答案】(1)(x+y?1)(x?y+1)(2)x=?【分析】（1）先利用完全平方差公式將后三項(xiàng)化為(y?1)2（2）先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：原式===(x+y?1)(x?y+1)（2）去分母，得x=8+3(x?1)去括號(hào)，得x=8+3x?3移項(xiàng)、合并得2x=?5系數(shù)化為1，得x=?經(jīng)檢驗(yàn)x=?5所以原分式方程的解為x=?5【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，以及分組分解法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式5】（22·23下·南陽(yáng)·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：m+2?5（2）解方程：x?3【答案】（1）2m+6（2）x=1【分析】（1）根據(jù)分式的加減乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）m+2?====2=2m+6；（2）x?3去分母得，x?3+x?2=?3，2x=2，解得，x=1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x?2=1?2=?1≠0，∴x=1是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)和解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟．考點(diǎn)3：分式方程解的應(yīng)用——求參數(shù)典例3：（23·24上·江北·期中）如果關(guān)于x的分式方程1?ax?2+2=12?x有整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組4x≥3(x?1)x+A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】分別求解分式方程和不等式組，根據(jù)解的情況確定參數(shù)的取值范圍即可．【詳解】解：解分式方程1?ax?2+2=1∵分式方程有整數(shù)解，∴2+a為2的倍數(shù)，且2+a2≠2解不等式組4x≥3(x?1)x+2x?1∵不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解∴0<解得：0<a≤4綜上所述：符合條件的整數(shù)a為：a=4故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程和不等式組解的情況求解參數(shù)的取值范圍．正確的計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式1】（22·23·淄博·中考真題）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3A．?2 B．2 C．?4 D．4【答案】B【分析】將x=1代入方程，即可求解．【詳解】解：將x=1代入方程，得m解得：m=2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x=1代入原方程中得到關(guān)于m的方程．【變式2】（22·23下·宿遷·期末）已知關(guān)于x的方程2x?mx?2=3的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m<6且m≠4 B．m<6 C．m>6且m≠8 D．m>6【答案】A【分析】先求解分式方程，根據(jù)“方程無(wú)增根”和“解是正數(shù)”即可求出m的取值范圍．【詳解】解：去分母：2x?m=3x?6解得：x=6?m∵x≠2∴6?m≠2,m≠4∵方程的解是正數(shù)∴x>0∴6?m>0,m<6綜上：m<6且m≠4故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程的解求解參數(shù)．正確解出分式方程是求解此題的前提．【變式3】（22·23下·邯鄲·期末）已知關(guān)于x的分式方程2x+ax?10=0的解為x=4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】將x=4代入方程即可求解．【詳解】解：將x=4代入方程得：2即：1解得：a=3故選：C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程的解求參數(shù)．將方程的解代入原方程即可．【變式4】（22·23上·桂林·期末）若關(guān)于x的方程axa?x=32的解為x=1，則A．?1 B．3 C．1 D．?3【答案】B【分析】將x=1代入方程，求出a的值即可．【詳解】解：∵x=1是方程axa?x∴a解得：a=3，經(jīng)檢驗(yàn)，a=3是方程aa?1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解和解分式方程，掌握解分式方程的方法是解答本題的關(guān)鍵，注意解分式方程最后的驗(yàn)根．【變式5】（22·23上·邢臺(tái)·期末）若關(guān)于x的分式方程2x?1=mx有正整數(shù)解，則整數(shù)A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4【答案】D【分析】解方程得，x=mm?2，因?yàn)榉质椒匠逃烧麛?shù)解，進(jìn)而可得到整數(shù)【詳解】解：原方程為，2x?1可化為整式方程，2x=m(x?1)，解得x=m經(jīng)檢驗(yàn)，x=m∵分式方程2x?1∴整數(shù)m的值是3或4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出分式方程的整數(shù)解．考點(diǎn)4：分式方程無(wú)解問(wèn)題典例4：（23·24上·煙臺(tái)·期中）若關(guān)于x的分式方程6x?1=x+3xx?1A．k=?3 B．k=?3或k=?5 C．k=1 D．k=1或k=?5【答案】B【分析】本題考查分式方程的增根問(wèn)題，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系數(shù)的值即可．【詳解】解：66x=x+3?k6x=x+3?kx+kk+5∵關(guān)于x的分式方程6x?1∴當(dāng)k+5=0時(shí)，即k=?5時(shí)，分式方程無(wú)解；當(dāng)k+5≠0時(shí)，x=k+3此時(shí)分式方程有增根，∴xx?1=0，解得x=0∴當(dāng)x=0時(shí)，即x=k+3k+5=0∴當(dāng)x=1時(shí)，即x=k+3綜上所述，k的取值是k=?5或k=?3．故選：B．【變式1】（23·24上·東營(yíng)·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x?2x?4?3=mA．x=6 B．x=5 C．x=4 D．x=3【答案】C【分析】根據(jù)增根的定義可知，最簡(jiǎn)公分母為零的未知數(shù)的值是增根，根據(jù)題干分式方程判斷出最簡(jiǎn)公分母，令最簡(jiǎn)公分母為零即可求得x的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x?2x?4∴x?4=0，∴x=4．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的增根，準(zhǔn)確掌握增根定義并找出分式方程的最簡(jiǎn)公分母是關(guān)鍵．【變式2】（22·23下·巴彥淖爾·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程xx?1?2=mx?1無(wú)解，則A．2 B．1 C．0 D．?1【答案】B【分析】分式方程無(wú)解，增根滿足的條件：①增根是化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)整式方程的根，②使最簡(jiǎn)公分母的值為零；據(jù)此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：方程兩邊同乘以（x?1）得x?2x?1∴m=2?x，∵原方程無(wú)解，∴x?1=0，解得：x=1，∴m=2?1=1；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程增根所滿足的條件，理解條件是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22·23下·資陽(yáng)·期末）關(guān)于x的方程m?1x?1+xA．3 B．2 C．1 D．?1【答案】B【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．有增根，最簡(jiǎn)公分母x?1=0，所以增根是x=1，把增根代入整式方程即可求出未知字母的值．【詳解】解：方程兩邊都乘x?1，得m?1?x=0，∵方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母x?1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，解決增根問(wèn)題的步驟：①確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式4】（22·23下·雅安·期末）若關(guān)于x的分式方程2mx?1+mA．1 B．﹣2 C．1或?2 D．?1或2【答案】C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，得到最簡(jiǎn)公分母為0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：去分母得：2mx+1由分式方程有增根，得到x=1或x=?1，把x=1代入整式方程得：2m×解得：m=1；把x=?1代入整式方程得：2m×?1+1解得：m=?2；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式5】（22·23下·棗莊·期末）“若關(guān)于x的方程ax3x?9=12尖尖：去分母得：ax=12+3x?9，移項(xiàng)得：ax?3x=12?9，合并同類項(xiàng)得：(a?∵原方程無(wú)解，∴a?3=0，∴a=3.丹丹：去分母得：ax=12+3x?9，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：(a?3)x=3，解得：x=3∵原方程無(wú)解，∴x為增根，∴3x?9=0，解得x=3，∴3a?3=3

圖1

圖2下列說(shuō)法正確的是（

）A．尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B．尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)C．兩人都錯(cuò) D．兩人的答案合起來(lái)才對(duì)【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)分式方程為(a?3)x=3，根據(jù)題意可得x為增根或a?3=0【詳解】解：去分母得：ax=12+3x?9，移項(xiàng)得：ax?3x=12?9，合并同類項(xiàng)得：(a?∴x為增根或a?3=0，當(dāng)3x?9=0，解得x=3，此時(shí)3a?3=3，解得當(dāng)a?3=0，解得a=3；綜上所述：a的值為3或4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程無(wú)解的時(shí)候滿足的條件是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：不等式與分式方程典例5：（22·23下·全國(guó)·專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x?43<x?4m?x5<0的解集為x>4，且關(guān)于A．5 B．6 C．7 D．9【答案】B【分析】解不等式組，根據(jù)解不等式組的法則可得m的取值范圍，再解分式方程，根據(jù)題意求出整數(shù)m的值即可解答．【詳解】解：解不等式組x?43得：x>4x>m不等式組的解集為x>4∴m≤4，解關(guān)于x的分式方程6x?3可得x=?61?m且∵分式方程有正整數(shù)解，∴1?m的值為?1，?3，?6，即m的值為2，4，7，∵m≤4，∴m的值為2，4，故滿足條件的所有整數(shù)m的和為2+4=6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，熟練掌握計(jì)算法則，記住分式方程增根的情況是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22·23上·荊門(mén)·期末）若關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1A．12 B．16 C．18 D．49【答案】B【分析】先解分式方程，再根據(jù)關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負(fù)整數(shù)解，可得10?a4≥0，且10?a【詳解】解：去分母，得x+a?2a=5（解得x＝10?a4∵關(guān)于x的分式方程x+ax?2∴10?a4≥0且解得a≤10且a≠2，∵a+2>1，∴a＞∴a的取值范圍是?1＜a≤10且∴滿足條件的整數(shù)a的值有6，10，∴6+10=16，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（22·23下·綿陽(yáng)·一模）已知方程3?aa?4?a=14?a，且關(guān)于x的不等式A．1<b≤2 B．2<b≤3 C．1≤b<2 D．2≤b<3【答案】C【分析】解分式方程，得到a的值為?1，根據(jù)題意可得兩個(gè)整數(shù)解為0，1，確定b的取值范圍，即可解答．【詳解】解：3?a兩邊同乘a?4得：3?a?aa?4整理得：a2解得：a1=?1，經(jīng)檢驗(yàn)，a2=4是分式方程的增根，故分式方程的解為根據(jù)不等式?1<x≤b只有2個(gè)整數(shù)解，∴1≤b<2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式的整數(shù)解，弄清楚是否取到等號(hào)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22·23下·鄭州·期末）已知不等式x?22<1+2x3?1的負(fù)整數(shù)解是關(guān)于xA．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】A【分析】先求出不等式的解集，然后取x的負(fù)整數(shù)解代入方程，化為關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值．【詳解】解：解不等式x?22＜1+2x故滿足不等式的負(fù)整數(shù)解為x=?1，將x=?1代入方程，得：?1?a?1解得：a=?3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解，將x的值解出再代入方程得出關(guān)于a的方程是關(guān)鍵．【變式4】（22·23下·滄州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1=xA．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)<3 D．a(chǎn)>3【答案】D【分析】根據(jù)新定義的含義，轉(zhuǎn)化為分式方程，按照解分式方程的步驟求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)新定義可得，1x??12去分母得：3=?x，解得x=?3，經(jīng)檢驗(yàn)x=?3是分式方程的解，把x=?3代入不等式可得，?32?a解得a>3．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，關(guān)鍵是理解新定義，并正確運(yùn)算．【變式5】（21·22·泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知方程3?aa?4?a=14?a，且關(guān)于x的不等式a<x≤b只有4個(gè)整數(shù)解，那么A．2<b≤3 B．3<b≤4 C．2≤b<3 D．3≤b<4【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式組確定出b的范圍即可．【詳解】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，分解因式得：（a-4）（a+1）=0，解得：a=-1或a=4，經(jīng)檢驗(yàn)a=4是增根，分式方程的解為a=-1，當(dāng)a=-1時(shí)，由a＜x≤b只有4個(gè)整數(shù)解，得到3≤b＜故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：分式方程實(shí)際應(yīng)用典例6：（23·24上·岳陽(yáng)·階段練習(xí)）華聯(lián)商廈進(jìn)貨員在蘇州發(fā)現(xiàn)一種應(yīng)季襯衫，預(yù)料能暢銷市場(chǎng)，就用80000元購(gòu)進(jìn)所有襯衫，還急需2倍這種襯衫，經(jīng)人介紹又在上海用了176000元購(gòu)進(jìn)所需襯衫，只是單價(jià)比蘇州貴4元，商廈按每件58元銷售，銷路很好，最后剩下的150件按八折銷售，很快就銷售完了．(1)兩次分別購(gòu)進(jìn)多少件襯衫？(2)問(wèn)商廈這筆生意贏利多少元？【答案】(1)在蘇州購(gòu)進(jìn)了2000件襯衫，在上海購(gòu)進(jìn)了4000件襯衫(2)商廈這筆生意盈利90260元【分析】（1）設(shè)這位進(jìn)貨員在蘇州購(gòu)進(jìn)了x件襯衫，根據(jù)上海的單價(jià)?蘇州的單價(jià)=4，列出方程，求出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）根據(jù)總利潤(rùn)=銷售收入?進(jìn)價(jià)，即可求出商廈盈利．【詳解】（1）解：設(shè)這位進(jìn)貨員在蘇州購(gòu)進(jìn)了x件襯衫，根據(jù)題意得：1760002x解得：x=2000．經(jīng)檢驗(yàn)x=2000是原方程的解，則2x=4000，答：在蘇州購(gòu)進(jìn)了2000件襯衫，在上海購(gòu)進(jìn)了4000件襯衫；（2）解：商廈做這筆生意盈利為：4000+2000?150×58+150×58×80答：商廈這筆生意盈利90260元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找出等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23·24上·長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在劍蘭公路的拓寬改造工程中，省路橋公司承擔(dān)了48千米的任務(wù)．為了減少施工帶來(lái)的影響，在確保工程質(zhì)量的前提下，實(shí)際施工速度是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成任務(wù)．求原計(jì)劃平均每天改造公路多少千米？【答案】原計(jì)劃平均每天改造公路0.4千米．【分析】設(shè)原計(jì)劃平均每天改造公路x千米，由題意：實(shí)際每天改造公路的長(zhǎng)度為1.2x千米，結(jié)果提前2天完成這一工程，列出分式方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天改造公路x千米，則實(shí)際每天改造公路的長(zhǎng)度為1.2x千米，由題意得：48x解得：x=0.4，經(jīng)檢驗(yàn)，x=0.4是分式方程的解，且符合題意，答：原計(jì)劃平均每天改造公路0.4千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23·24上·重慶·期中）暑假期間，甲、乙兩隊(duì)自駕去西藏．兩隊(duì)計(jì)劃同一天出發(fā)，沿不同的路線前往目的地．甲隊(duì)走A路線，全程2000千米，乙隊(duì)走B路線，全程2400千米，由于B路線車(chē)流量較小，乙隊(duì)平均每天行駛的路程是甲隊(duì)的3倍，這樣乙隊(duì)可以比甲隊(duì)提前3天到達(dá)目的地．(1)求甲、乙兩隊(duì)分別計(jì)劃多少天到達(dá)目的地？(2)甲乙兩隊(duì)規(guī)劃的總預(yù)算為156甲隊(duì)最開(kāi)始計(jì)劃有3個(gè)人同行，每人每天花費(fèi)300元，臨近出發(fā)時(shí)又有a個(gè)人一起加入了隊(duì)伍，經(jīng)過(guò)計(jì)算，甲隊(duì)實(shí)際每增加1人時(shí)，每天的總花費(fèi)將增加200元，乙隊(duì)每人每天的平均花費(fèi)一直是250元．若甲乙兩隊(duì)的最終人數(shù)一樣多，且所花時(shí)間與各自原計(jì)劃天數(shù)一致，兩隊(duì)總花費(fèi)沒(méi)有超支．求a的值最大是多少．【答案】(1)甲隊(duì)計(jì)劃5天到達(dá)目的地，乙隊(duì)計(jì)劃2天到達(dá)目的地；(2)6【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)計(jì)劃x天到達(dá)目的地，則甲隊(duì)計(jì)劃x+3天到達(dá)目的地，根據(jù)乙隊(duì)平均每天行駛的路程是甲隊(duì)的3倍，得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出答案；（2）根據(jù)兩隊(duì)路途中共花費(fèi)15600元，可得出關(guān)于a的一元一次不等式，取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)乙隊(duì)計(jì)劃x天到達(dá)目的地，則甲隊(duì)計(jì)劃x+3天到達(dá)目的地，根據(jù)題意得：2400x解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是分式方程的解，∴x+3=5，答：甲隊(duì)計(jì)劃5天到達(dá)目的地，乙隊(duì)計(jì)劃2天到達(dá)目的地；（2）解：根據(jù)題意得：2503+a解得a≤6.4，∵a是整數(shù)，∴a的值最大是【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程和不等式．【變式3】（22·23·丹東·中考真題）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長(zhǎng)度為36米的橋梁進(jìn)行重新改造．為了盡快通車(chē)，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了50%【答案】施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米．【分析】設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造x米，根據(jù)提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)得：36x【詳解】解：設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造x米，根據(jù)題意得：36x解得x=6，經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解，答：施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程．【變式4】（23·24上·潼南·階段練習(xí)）中秋節(jié)到來(lái)之際，一超市準(zhǔn)備推出甲種月餅和乙種月餅兩種月餅，計(jì)劃用1200元購(gòu)買(mǎi)甲種月餅，600元購(gòu)買(mǎi)乙種月餅，一個(gè)甲種月餅和一個(gè)乙種月餅的進(jìn)價(jià)之和為9元，且購(gòu)進(jìn)甲種月餅的數(shù)量是乙種月餅數(shù)量的4倍．(1)求計(jì)劃分別購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)甲種月餅和乙種月餅．(2)為回饋客戶，廠家推出了一系列活動(dòng)，每個(gè)甲種月餅的售價(jià)降低了13，每個(gè)乙種月餅的售價(jià)便宜了m5m≠0元，現(xiàn)在在（1）的基礎(chǔ)上購(gòu)買(mǎi)乙種月餅的數(shù)量增加了152m【答案】(1)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲種月餅400個(gè)，乙種月餅100個(gè)．(2)m的值是【分析】（1）設(shè)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)乙種月餅x個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)甲種月餅4x個(gè)，根據(jù)題意列出方程12004x（2）由（1）可求出甲種月餅原售價(jià)：1200400=3元，乙種月餅原售價(jià)：9?3=6元，即可得出甲種月餅現(xiàn)售價(jià)：3×(1?13)=2【詳解】（1）解：設(shè)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)乙種月餅x個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)甲種月餅4x個(gè)，根據(jù)題意列出方程12004x+經(jīng)檢驗(yàn)：x=100是原方程的解∴4x=400答：計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲種月餅400個(gè)，乙種月餅100個(gè)．（2）解：甲種月餅售價(jià)：1200400乙種月餅售價(jià)：9?3=6（元）由題意可得：3×化簡(jiǎn)得：mm1=0∵m≠0∴m=8答：m的值是【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目意思，正確找出等量關(guān)系．【變式5】（23·24上·南寧·期中）為了豐富校園文化生活，某校八年級(jí)計(jì)劃舉辦一場(chǎng)年級(jí)籃球賽．該校計(jì)劃為籃球賽購(gòu)置若干個(gè)籃球，經(jīng)過(guò)與某體育用品經(jīng)銷商溝通，A型號(hào)籃球的單價(jià)比B型號(hào)的籃球單價(jià)多40元，且用1200元購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)籃球個(gè)數(shù)與用600元購(gòu)買(mǎi)B型號(hào)籃球的個(gè)數(shù)相等．(1)求A型號(hào)籃球和B型號(hào)籃球的單價(jià)分別是多少元？(2)該體育用品店給出了兩種讓利活動(dòng)，購(gòu)買(mǎi)時(shí)只能選擇其中一種方案．方案一：所有商品打9折銷售；方案二：買(mǎi)3個(gè)A型號(hào)籃球，免費(fèi)贈(zèng)送1個(gè)B型號(hào)籃球（不足3個(gè)不贈(zèng)送）．若該校需要購(gòu)買(mǎi)15個(gè)A型號(hào)籃球和xx≥5個(gè)B【答案】(1)A型號(hào)籃球的單價(jià)為80元，則B型號(hào)籃球的單價(jià)為40元(2)當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)為5≤x<20時(shí)，選擇方案二購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)；當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)20個(gè)時(shí)，兩種方案花費(fèi)的錢(qián)一樣多；當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)為x>20時(shí)，選擇方案一購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)．【分析】（1）設(shè)A型號(hào)籃球的單價(jià)為x元，則B型號(hào)籃球的單價(jià)為x?40元，根據(jù)“用1200元購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)籃球個(gè)數(shù)與用600元購(gòu)買(mǎi)B型號(hào)籃球的個(gè)數(shù)相等”，列出分式方程，解方程即可得到答案；（2）先分別計(jì)算出方案一、方案二所花費(fèi)的金額，分三種情況：方案一花費(fèi)金額大于方案二花費(fèi)金額；方案一花費(fèi)金額等于方案二花費(fèi)金額；方案一花費(fèi)金額小于方案二花費(fèi)金額，分別計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)A型號(hào)籃球的單價(jià)為x元，則B型號(hào)籃球的單價(jià)為x?40元，根據(jù)題意可得：1200x解得：x=80，經(jīng)檢驗(yàn)x=80是原分式方程的解，∴x?40=80?40=40（元），答：A型號(hào)籃球的單價(jià)為80元，則B型號(hào)籃球的單價(jià)為40元；（2）解：根據(jù)題意可得：方案一所花費(fèi)的金額為：y1方案二所花費(fèi)的金額為：y2當(dāng)y1>y解得：x<20，∵x≥5，∴當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)為5≤x<20時(shí)，選擇方案二購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)；當(dāng)y1=y解得：x=20，∴當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)20個(gè)時(shí)，兩種方案花費(fèi)的錢(qián)一樣多；當(dāng)y1<y解得：x>20，∴當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)為x>20時(shí)，選擇方案一購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)；綜上所述：當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)為5≤x<20時(shí)，選擇方案二購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)；當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)20個(gè)時(shí)，兩種方案花費(fèi)的錢(qián)一樣多；當(dāng)A型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)15個(gè)，B型號(hào)籃球購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)為x>20時(shí)，選擇方案一購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出分式方程，采用分類討論的思想解題，是解題的關(guān)鍵．【變式6】（23·24上·沙坪壩·階段練習(xí)）成都大運(yùn)會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款文創(chuàng)紀(jì)念品，已知A、B兩款紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)分別為30元/個(gè)、25元/個(gè)．(1)網(wǎng)店第一次用1400元購(gòu)進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共50個(gè)，求A款紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)的個(gè)數(shù)；(2)大運(yùn)會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把A款紀(jì)念品降價(jià)20%銷售，則降價(jià)后銷售A款紀(jì)念品要獲得銷售額800元，比按照原價(jià)銷售要多賣(mài)4個(gè)才能獲得同樣多的銷售額，求A【答案】(1)A款紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)的個(gè)數(shù)為30個(gè)(2)A款紀(jì)念品降價(jià)以前的售價(jià)50元【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B款紀(jì)念品y個(gè)，根據(jù)共購(gòu)進(jìn)50個(gè)和花費(fèi)1400元，可列二元一次方程組，即可解答；（2）設(shè)A款紀(jì)念品降價(jià)以前的售價(jià)為m元，則可得降價(jià)后的售價(jià)為0.8m元，利用按照原價(jià)銷售的個(gè)數(shù)加上4等于降價(jià)后銷售的個(gè)數(shù)，可列分式方程，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B款紀(jì)念品y個(gè)，根據(jù)題意可得x+y=5030x+25y=1400解得x=30y=20答：A款紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)的個(gè)數(shù)為30個(gè)；（2）解：設(shè)A款紀(jì)念品降價(jià)以前的售價(jià)為m元，則可得降價(jià)后的售價(jià)為1?20%根據(jù)題意可得800m解得m=50，經(jīng)檢驗(yàn)，m=50為原方程的解，答：A款紀(jì)念品降價(jià)以前的售價(jià)50元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7】（23·24上·重慶·階段練習(xí)）為鼓勵(lì)廣大鳳中學(xué)子走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽(yáng)光下，積極參加體育鍛煉，初三年級(jí)某班組織同學(xué)們周末共跑沙濱路，其中，小鳳和小鳴兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小鳳的跑步速度是小鳴跑步速度的1.2倍，那么小鳳比小鳴早5分鐘到達(dá)B根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)小鳳每分鐘跑多少米？(2)若從A地到達(dá)B地后，小鳳以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過(guò)程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開(kāi)始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小鳳共消耗2300卡路里的熱量，小鳳從A地到C地鍛煉共用多少分鐘？【答案】(1)小鳳的跑步速度為每分鐘480m(2)小鳳從A地到C地鍛煉共用70分鐘．【分析】（1）設(shè)小鳴的跑步速度為每分鐘xm，則小鳳的跑步速度為每分1.2xm．根據(jù)小鳴的跑步時(shí)間?小鳳的跑步時(shí)間=5列分式方程求解即可；（2）設(shè)小鳳從B地到C地用時(shí)y分鐘，根據(jù)前30分鐘消耗的熱量+30分鐘后的熱量=2300列方程解答即可．【詳解】（1）設(shè)小鳴的跑步速度為每分鐘xm，則小鳳的跑步速度為每分1.2xm，根據(jù)題意，得12000x解得x=400，經(jīng)檢驗(yàn)x=400是原方程的解，∴原方程的解為x=400，∴小鳳的跑步速度為每分鐘400×1.2=答：小鳳的跑步速度為每分鐘480m（2）由（1）知，小鳳的跑步速度為每分480m則小鳳從A地到B地所用時(shí)間為12000480設(shè)小鳳從B地到C地用時(shí)y分鐘，根據(jù)題意，得30×10+y?5解得y=45或y=?45（舍去），則25+45=70（分鐘）．答：小鳳從A地到C地鍛煉共用70分鐘．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程與分式方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，列出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8】（23·24上·南寧·階段練習(xí)）某校在開(kāi)展數(shù)學(xué)文化節(jié)知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)優(yōu)秀選手予以評(píng)獎(jiǎng)，并頒發(fā)獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)品有甲、乙、丙三種類型．已知1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格是1個(gè)丙種獎(jiǎng)品價(jià)格的2倍，1個(gè)乙種獎(jiǎng)品的價(jià)格比1個(gè)甲種獎(jiǎng)品的價(jià)格少20元．若用120元單獨(dú)去購(gòu)買(mǎi)某一種獎(jiǎng)品時(shí)，甲種獎(jiǎng)品的數(shù)量與丙種獎(jiǎng)品的數(shù)量之和是乙種獎(jiǎng)品數(shù)量的2倍．(1)求甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是多少元？(2)該校計(jì)劃：購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品共300個(gè)，其中購(gòu)買(mǎi)丙種獎(jiǎng)品的數(shù)量是甲種獎(jiǎng)品數(shù)量