（寒假）2024-2025年高二數(shù)學 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第01課 一元二次不等式及基本不等式（教師版）

第第頁第01課一元二次不等式及基本不等式一元二次不等式及簡單不等式的解法1、一元二次不等式與相應的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2、由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))3、．簡單分式不等式(1)eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(2)eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0【例1】設集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.【變式1-1】關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】；關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－eq\f(b,a)＝1，【變式1-2】“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件是()A．m>eq\f(1,4)B．m<eq\f(1,4)C．m<1D．m>1【答案】：A【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq\f(1,4)，又∵m>eq\f(1,4)，∴Δ＝1－4m<0，∴“m>eq\f(1,4)”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件．故選A.【變式1-3】不等式0＜x2－x－2≤4的解集為________.【答案】[－2，－1)∪(2，3]【解析】由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3，))即－2≤x＜－1或2＜x≤3.故不等式的解集為[－2，－1)∪(2，3].方法總結(jié)：解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式.(2)計算對應方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或?).求出對應的一元二次方程的根.(3)利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集考向二含參不等式的討論【例2】(1)解關(guān)于實數(shù)的不等式：．(2)解關(guān)于實數(shù)的不等式：．【解析】（1）由得，∴，當時，的解集為，當時，的解集為，③當時，的解集為．（2）對方程，當即時，不等式的解集為當即或時的根為不等式的解集為方法總結(jié)：含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進行分類討論.(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進行分類討論；(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應先考慮二次項系數(shù)是否為零，確定不等式是否是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；考向三恒成立問題【例3】若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)【解析】因為2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0為一元二次不等式，所以k≠0.又2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實數(shù)x都成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.【答案】D【變式3-1】設a為常數(shù)，對于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0，4)B.[0，4)C.(0，＋∞)D.(－∞，4)【解析】對于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0))或a＝0，所以0≤a<4.【答案】B【變式3-2】設函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對任意x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】(－∞，eq\f(6,7)).【解析】要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m(x-0.5)2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝m(x-0.5)2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1，3].當m>0時，g(x)在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，解得m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；當m＝0時，－6<0恒成立；當m<0時，g(x)在區(qū)間[1，3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，解得m<6，所以m<0.綜上，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，eq\f(6,7)).【變式3-3】(多題)“關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a＞0對?x∈R恒成立”的一個必要不充分條件是A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a＜eq\f(1,2)D．a(chǎn)≥0【答案】BD【解析】由題意可知，關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a＞0恒成立，則＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，對于選項A，“0＜a＜1”是“關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a＞0對x∈R恒成立”的充要條件；對于選項B，“0≤a≤1”是“關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a＞0對x∈R恒成立”的必要不充分條件；對于選項C，“0＜a＜eq\f(1,2)”是“關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a＞0對x∈R恒成立”的充分不必要條件對于選項D中，“a≥0”是“關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a＞0對x∈R恒成立”必要不充分條件，故答案選BD．方法總結(jié)：1.一元二次不等式在R上恒成立的條件：不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤02.一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法：(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，若f(x)≥a恒成立，則f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，則f(x)max≤a，即n≤a.3.一元二次不等式在參數(shù)某區(qū)間上恒成立確定變量x范圍的方法：解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)，即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.基本不等式及應用1、基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．考向四運用基本不等式求函數(shù)的最值【例4】(1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．(2)已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．(3)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________．【答案】(1)eq\f(2,3)(2)1(3)2eq\r(3)＋2【解析】(1)x(4－3x)＝eq\f(1,3)×(3x)·(4－3x)≤eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，當且僅當3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)時，取等號．故所求x的值為eq\f(2,3).(2)因為x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.當且僅當5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，取等號．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為1.(3)y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.當且僅當x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1時，取等號．【變式4-1】已知x>1，則y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值為．【解析】令x－1＝t(t>0)，則y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f((t＋1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)＋2≥2eq\r(3)＋2，當且僅當t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)，即x＝eq\r(3)＋1時，取等號，所以y的最小值為2eq\r(3)＋2.【變式4-2】（多題）下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗證可得選項.【詳解】解：對于A選項，當時，，此時，故A不正確.對于B選項，，當且僅當，即時取“”，故B正確.對于C選項，，當且僅當，即時取“”，故C正確.對于D選項，，當且僅當，即無解，故D不正確.故選：BC.方法總結(jié)：(1)應用基本不等式求值域一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件．如果不滿足等號的成立條件就用函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊（或換元）出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．考向五基本不等式中1的運用【例5】若正數(shù)，滿足，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】（當且僅當，即時取等號），的最小值為.故選：C.【變式5-1】已知正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．【答案】##【解析】由題意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）＝4＋5＋＋≥9＋2＝，當且僅當＝，時取等號，此時，故的最小值為．故答案為：【變式5-2】已知是正實數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的最小值為（

）A．B．9C．D．2【答案】B【分析】將代入，得到，的關(guān)系式，再應用基本不等式“1”的代換求最小值即可．【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過，則，即．，當且僅當時取到等號．故選：B．【變式5-3】正項等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，且存在兩項使得，則的最小值是（

）A．2B．C．D．不存在【答案】B【分析】由等比數(shù)列通項公式及等差中項的性質(zhì)可得，進而有，利用基本不等式“1”的代換求目標式最小值，注意等號是否成立.【詳解】由題設，若公比為且，則，所以，由，則，故，可得，所以，而，故等號不成立，又，故當時，當時，顯然，故時最小值為.故選：B方法總結(jié)：(1)利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代換的方法可以求解形如【問題2】中的“已知兩正數(shù)之和為定值，求兩數(shù)倒數(shù)和的最值”或“已知兩正數(shù)倒數(shù)之和為定值，求兩正數(shù)和的最值”問題,是直接求解二元函數(shù)值域的一種方法．(3)解決問題時關(guān)注對已知條件和所求目標函數(shù)式的變形，使問題轉(zhuǎn)化成可用“1”代換求解的模型考向六運用消參法解決不等式問題【例6】已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則y的最大值為()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)【答案】D【解析】由題意可知，x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y，因為x＞0，所以x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y≥2EQ\R(,x·\F(1,x))＝2，當且僅當x＝EQ\F(1,x)，即x＝1時等號成立，即EQ\F(1,y)－3y≥2，又y＞0，所以可化為3y2＋2y－1≤0，解得0＜y≤EQ\F(1,3)，即y的最大值為EQ\F(1,3)，故答案選D．【變式6-1】已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】，當且僅當，時取等號．所以則的最小值是，故答案為：【變式6-2】已知，則_________．【答案】3【分析】利用基本不等式求得，從而可得，求解出值，代入即可得值.【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以，即，得，所以，即，所以.故答案為：【變式6-3】已知，，，則的最小值為（

）A．13B．19C．21D．27【答案】D【解析】，當且僅當，即，b＝6時，等號成立，故的最小值為27，故選：D.【變式6-4】（多題）若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因為，，當且僅當時等號成立，則或，當且僅當時等號成立，則，當且僅當時等號成立，則，當且僅當時等號成立，故AC錯誤，D正確.對于B選項，，當且僅當時等號成立，故B正確.故選：BD.方法總結(jié)：當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值一元二次不等式及基本不等式隨堂檢測1.已知集合，則=A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．2.若不等式的解集為，則二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為（）A.-1，-7B.0，-8C.1，-1D.1，-7【答案】D【解析】的解集為，，1是方程的根，且，，，，則二次函數(shù)開口向下，對稱軸，在區(qū)間上，當時，函數(shù)取得最大值1，當時，函數(shù)取得最小值.故選：D．3.在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】對于A選項，時，為負數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C4.已知，且，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】將代入，可得：（當且僅當時，取得等號）故選：D.5.下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．6.（多題）已知實數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為16B．的最大值為9C．的最大值為9D．的最大值為【答案】AD【解析】因為，則，；則，即，當且僅當時，即時等號成立，故A項正確，C項錯誤；因為，，則，，當且僅當時，即時等號成立，故的最小值為9，故B項錯誤；因為，，，當且僅當時，即時等號成立，故D項正確.故選：AD.7.已知不等式的解集為，則不等式的解集為_________.【答案】或.【解析】因為不等式的解集為，所以a<0且2和4是的兩根.所以可得：，所以可化為：，因為a<0，所以可化為，即，解得：或，所以不等式的解集為或.故答案為：或.8.已知函數(shù)若對于任意，都有成立，則實數(shù)取值范圍是．【答案】.【解析】由題意可得對于上恒成立，即，解得.9.已知x≥1，則y＝eq\f(x2＋2,x＋1)的最小值為．【解析】令x＋1＝t(t≥2)，則y＝eq\f(x2＋2,x＋1)＝eq\f((t－1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)－2≥2eq\r(3)－2，當且僅當t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)時，取等號．又因為t≥2，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知當t＝2，即x＝1時，y有最小值，即ymin＝2＋eq\f(3,2)－2＝eq\f(3,2).10.函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3，a∈R.(1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當a∈[4，6]時，f(x)≥0恒成立，求x的取值范圍．【解析】(1)因為當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0