2012年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（湖北）（解析卷）

第頁|共頁【試卷總評】試題緊扣2012年《考試大綱》，題目新穎，難度適中。本卷注重對基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法的全面考查，同時(shí)又強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生的基本能力。選擇題與填空題主要體現(xiàn)了基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)思想方法的考查；第18、19、20、21、22題分別從三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等重點(diǎn)知識進(jìn)行了基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法及基本能力的考查.試卷整體體現(xiàn)堅(jiān)持注重基礎(chǔ)知識，全面考查了理解能力、推理能力、分析解決問題的能力.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合A={x|-3x+2=0,x∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為()A1B2C2.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表分組頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40]的頻率為()A0.35B0.45C0.55D0.65【答案】B【解析】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40]的頻數(shù)分別為2,3,4,容量為20,所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40]的頻率分別為0.1,0.15,0.2,所以所求頻率為0.1+0.15+0.2=0.45,故選B.【考點(diǎn)定位】本小題考查頻率分布表,屬統(tǒng)計(jì)內(nèi)容,是高考的重點(diǎn),年年必考,主要考查抽樣方法、數(shù)字特征、線性回歸等內(nèi)容，熟練頻率=等公式是解決好本類問題的關(guān)鍵.3.函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A2B3C4D54.命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A.任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B.任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C.存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【答案】B【解析】命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是“任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”.【考點(diǎn)定位】本小題考查存在性命題的否定是全稱命題,屬于常用邏輯用語內(nèi)容,常用邏輯用語是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一,年年必考,多以小題形式出現(xiàn),考查充分必要條件、四種命題等內(nèi)容.5.過點(diǎn)P（1,1）的直線，將圓形區(qū)域{（x，y）|x2+y2≤4}分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0【答案】A【解析】要使直線將圓形區(qū)域{（x，y）|x2+y2≤4}分成這兩部分的面積之差最大，只需過點(diǎn)P（1,1）的直線與圓相交得的弦長最短即可,所以該直線的斜率為-1，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)P（1,1）,所以所求直線的方程為x+y-2=0.第6題圖O12x第6題圖O12x6．已知定義在區(qū)間（0，2）上的函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，則y=-f(2-x)的圖像為()AAO12xBO12xCO12xDO12x7.定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”?，F(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為()A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】C【解析】若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列也是等比數(shù)列,故①是“保等比數(shù)列函數(shù)”;同理③對應(yīng)的函數(shù)也是等比數(shù)列,故選C.【考點(diǎn)定位】本小題以數(shù)列為載體,給出了新定義的題目,考查了同學(xué)們利用所學(xué)問題分析問題和解決問題的能力,近幾年的高考對這類問題的考查越來越重視,應(yīng)引起我們的重視.8.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A＞B＞C，3b=20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為()A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶49.設(shè)a,b,c,∈R,,則“abc=1”是“+”的()A.充分條件但不是必要條件，B.必要條件但不是充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要的條件【答案】A【解析】若“abc=1”,則+=,故是充分條件;反之,不成立.【考點(diǎn)定位】本小題考查不等式與充分必要條件,這是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一,熟練基礎(chǔ)知識是解答本類題目的關(guān)鍵.10.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.B..C.D.二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分。請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分。11.一支田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人?，F(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運(yùn)動(dòng)員有8人，則抽取的女運(yùn)動(dòng)員有______人。【答案】6【解析】因?yàn)檫@支田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男、女運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)的比例為,抽取的男運(yùn)動(dòng)員有8人，所以這支田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)的男、女運(yùn)動(dòng)員共有人,則抽取的女運(yùn)動(dòng)員有人.【考點(diǎn)定位】本小題考查分層抽樣方法,屬容易題.抽樣方法是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一,幾乎年年必考,其中分層抽樣與系統(tǒng)抽樣是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,應(yīng)熟練掌握.12.若（a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a+b=____________.【答案】3【解析】由題意知:,所以由復(fù)數(shù)相等的定義知且,解得,所以a+b=3.【考點(diǎn)定位】本小題考查復(fù)數(shù)相等的含義.復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等是復(fù)數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,年年必考,以選擇或填空題的形式出現(xiàn).13.已知向量=（1,0），=（1,1），則（Ⅰ）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________；（Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為____________。14.若變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值是________.【答案】2【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y表示的直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)時(shí),z=2x+3y取得最小值為2.【考點(diǎn)定位】本小題考查線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識,屬于常見題型,不難.線性規(guī)劃是不等式的重點(diǎn)內(nèi)容,是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,年年必考,主要考查本題類型或約束條件中含有變量,或與均值不等式等其它知識相結(jié)合,經(jīng)常以選擇或填空題的形式出現(xiàn).15.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為____________.【解析】由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)底面半徑為1且高為4的倒放的圓柱的兩端接上兩個(gè)底面半徑為2且高為1的圓柱，是一個(gè)組合體，所以其體積為.【考點(diǎn)定位】本小題考查立體幾何中的三視圖,考查了同學(xué)們的空間想象能力.三視圖是高考的熱點(diǎn),年年必考,一般以選擇或填空題的形式出現(xiàn).16.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果s=_________?！敬鸢浮?【解析】當(dāng)時(shí),計(jì)算出的;當(dāng)時(shí),計(jì)算出的;當(dāng)時(shí),計(jì)算出的,此時(shí)輸出的結(jié)果s=9.【考點(diǎn)定位】本小題考查框圖的基本知識.框圖是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,年年必考,經(jīng)常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)一個(gè),難度不大,熟練基本算法以及算到哪一步是解決好本類問題的關(guān)鍵.17.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：1010631···將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測：（Ⅰ）b2012是數(shù)列{an}中的第______項(xiàng)；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）三、解答題：本大題共5小題，共65分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=π對稱，其中，為常數(shù)，且.求函數(shù)f（x）的最小正周期；若y=f（x）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的值域.【解析】（1）因?yàn)?=，所以由直線直線x=π是圖象的一條對稱軸，可得，所以，即，又因?yàn)?，所以，故，所以的最小正周期?(2)由的圖象過點(diǎn),得,即,即,故,所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?【考點(diǎn)定位】本題考查三角函數(shù)的化簡與求值,考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查考生分析問題與解決問題的能力.19.（本小題滿分12分）某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺A1B1C1D1-ABCD，上不是一個(gè)底面與四棱臺的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D證明：直線B1D1⊥平面ACC2A2A2B2C2D2CBA2B2C2D2CBADA1B1C1D1第19題圖【解析】(1)因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A2B2C2D2全等的矩形，⊥AB,⊥AD,又因?yàn)?所以⊥平面ABCD,連結(jié)BD,因?yàn)锽D平面ABCD,所以⊥BD,又因?yàn)樗睦馀_A1B1C1D1–ABCD的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形,所以==.所以該實(shí)心零部件的表面積為，所以所需加工處理費(fèi)為（元）.【考點(diǎn)定位】本小題考查空間線線與線面的位置關(guān)系,考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力.20.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8.求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a2,a3,a1成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和?！窘馕觥?1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為,則,,由題意得,解得或,所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得:或.(2)當(dāng)時(shí),分別為,不成等比數(shù)列;當(dāng)時(shí),分別為,成等比數(shù)列,滿足條件,所以,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),=,當(dāng)時(shí),滿足上式,綜上,.【考點(diǎn)定位】本小題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.21.（本小題滿分14分）設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C。（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。（2）過原點(diǎn)且斜率為K的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m,使得對任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，請說明理由.【解析】（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由，可得，，所以，.①因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以.②將①式代入②式即得所求曲線的方程為.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，圖2圖3圖1ODxyAM圖2圖3圖1ODxyAM第21題解答圖（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.【考點(diǎn)定位】本小題考查直線與圓以及圓錐曲線等基礎(chǔ)知識,考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法，考查同學(xué)們分析問題和解決問題的能力.22.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，n為正整數(shù)，a,