2013年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（浙江）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2013年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2013?浙江）已知i是虛數(shù)單位，則（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+iB．﹣1+3iC．﹣3+3iD．﹣1+i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：直接利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則，以及虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)算求得結(jié)果．解答：解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2013?浙江）設(shè)集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，則（?RS）∪T=（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．分析：先根據(jù)一元二次不等式求出集合T，然后求得?RS，再利用并集的定義求出結(jié)果．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}，∴?RS={x|x≤﹣2}由x2+3x﹣4≤0得：T={x|﹣4≤x≤1}，故（?RS）∪T={x|x≤1}故選C．點(diǎn)評(píng)：此題屬于以一元二次不等式的解法為平臺(tái)，考查了補(bǔ)集及并集的運(yùn)算，是高考中?？嫉念}型．在求補(bǔ)集時(shí)注意全集的范圍．3．（5分）（2013?浙江）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg（x+y）=2lgx?2lgyC．2lgx?lgy=2lgx+2lgyD．2lg（xy）=2lgx?2lgy考點(diǎn)：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：直接利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，判斷選項(xiàng)即可．解答：解：因?yàn)閍s+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y為正實(shí)數(shù)），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，滿足上述兩個(gè)公式，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，基本知識(shí)的考查．4．（5分）（2013?浙江）已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），則“f（x）是奇函數(shù)”是“φ=”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：φ=?f（x）=Acos（ωx+）?f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函數(shù)．f（x）為奇函數(shù)?f（0）=0?φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函數(shù)”是“φ=”必要不充分條件．解答：解：若φ=，則f（x）=Acos（ωx+）?f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函數(shù)；若f（x）是奇函數(shù)，?f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函數(shù)”是“φ=”必要不充分條件．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查充分條件、必要條件和充要條件的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．5．（5分）（2013?浙江）某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是，則（）A．a(chǎn)=4B．a(chǎn)=5C．a(chǎn)=6D．a(chǎn)=7考點(diǎn)：程序框圖．專題：圖表型．分析：根據(jù)已知流程圖可得程序的功能是計(jì)算S=1++…+的值，利用裂項(xiàng)相消法易得答案．解答：解：由已知可得該程序的功能是計(jì)算并輸出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若該程序運(yùn)行后輸出的值是，則2﹣=．∴a=4，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，其中分析出程序的功能是解答的關(guān)鍵．6．（5分）（2013?浙江）已知，則tan2α=（）A．B．C．D．考點(diǎn)：二倍角的正切；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專題：三角函數(shù)的求值．分析：由題意結(jié)合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，進(jìn)而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解答：解：∵，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．7．（5分）（2013?浙江）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由題意可寫出，，，，然后由結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得關(guān)于x的二次不等式，結(jié)合二次不等式的知識(shí)可求a，進(jìn)而可判斷解答：解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0）則BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）∵恒有∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0∴a=0，即C在AB的垂直平分線上∴AC=BC故△ABC為等腰三角形故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的運(yùn)算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題的能力8．（5分）（2013?浙江）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），則（）A．當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在x=1處取得極小值B．當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在x=1處取得極大值C．當(dāng)k=2時(shí)，f（x）在x=1處取得極小值D．當(dāng)k=2時(shí)，f（x）在x=1處取得極大值考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：通過(guò)對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)選項(xiàng)知函數(shù)在x=1處有極值，驗(yàn)證f'（1）=0，再驗(yàn)證f（x）在x=1處取得極小值還是極大值即可得結(jié)論．解答：解：當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）2．求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xex+ex﹣2），∴當(dāng)x=1，f'（x）=0，且當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；在（，1）上是減函數(shù)，從而函數(shù)f（x）在x=1取得極小值．對(duì)照選項(xiàng)．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的極值問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解極值是關(guān)鍵．9．（5分）（2013?浙江）如圖F1、F2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：不妨設(shè)|AF1|=x，|AF2|=y，依題意，解此方程組可求得x，y的值，利用雙曲線的定義及性質(zhì)即可求得C2的離心率．解答：解：設(shè)|AF1|=x，|AF2|=y，∵點(diǎn)A為橢圓C1：+y2=1上的點(diǎn)，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四邊形AF1BF2為矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，設(shè)雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，則2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴雙曲線C2的離心率e===．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得|AF1|與|AF2|是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．（5分）（2013?浙江）在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，則（）A．平面α與平面β垂直B．平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°C．平面α與平面β平行D．平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系；二面角的平面角及求法．專題：證明題；壓軸題；空間位置關(guān)系與距離．分析：設(shè)P1是點(diǎn)P在α內(nèi)的射影，點(diǎn)P2是點(diǎn)P在β內(nèi)的射影．根據(jù)題意點(diǎn)P1在β內(nèi)的射影與P2在α內(nèi)的射影重合于一點(diǎn)，由此可得四邊形PP1Q1P2為矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角，根據(jù)面面垂直的定義可得平面α與平面β垂直，得到本題答案．解答：解：設(shè)P1=fα（P），則根據(jù)題意，得點(diǎn)P1是過(guò)點(diǎn)P作平面α垂線的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴點(diǎn)Q1是過(guò)點(diǎn)P1作平面β垂線的垂足同理，若P2=fβ（P），得點(diǎn)P2是過(guò)點(diǎn)P作平面β垂線的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示點(diǎn)Q2是過(guò)點(diǎn)P2作平面α垂線的垂足∵對(duì)任意的點(diǎn)P，恒有PQ1=PQ2，∴點(diǎn)Q1與Q2重合于同一點(diǎn)由此可得，四邊形PP1Q1P2為矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α與平面β垂直故選：A點(diǎn)評(píng)：本題給出新定義，要求我們判定平面α與平面β所成角大小，著重考查了線面垂直性質(zhì)、二面角的平面角和面面垂直的定義等知識(shí)，屬于中檔題．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．11．（4分）（2013?浙江）設(shè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A=﹣10．考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的系數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值．解答：解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=??（﹣1）r?=（﹣1）r??．令=0，解得r=3，故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為﹣=﹣10，故答案為﹣10．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．12．（4分）（2013?浙江）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于24cm3．考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題．分析：先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再利用體積公式計(jì)算即可．解答：解：幾何體為三棱柱去掉一個(gè)三棱錐后的幾何體，底面是直角三角形，直角邊分別為3，4，棱柱的高為5，被截取的棱錐的高為3．如圖：V=V棱柱﹣V三棱錐=﹣×3=24（cm3）故答案為：24點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的三視圖及幾何體的體積計(jì)算．V椎體=Sh，V柱體=Sh．考查空間想象能力．13．（4分）（2013?浙江）設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足，若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k=2．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：先畫出可行域，得到角點(diǎn)坐標(biāo)．再對(duì)k進(jìn)行分類討論，通過(guò)平移直線z=kx+y得到最大值點(diǎn)A，即可得到答案．解答：解：可行域如圖：由得：A（4，4），同樣地，得B（0，2），①當(dāng)k＞﹣時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在x=4，y=4時(shí)取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，此時(shí)，12=4k+4，故k=2．②當(dāng)k時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y在x=0，y=2時(shí)取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，此時(shí)，12=0×k+2，故k不存在．綜上，k=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義．14．（4分）（2013?浙江）將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有480種（用數(shù)字作答）考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：按C的位置分類，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因?yàn)樽笥沂菍?duì)稱的，所以只看左的情況最后乘以2即可．解答：解：按C的位置分類，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因?yàn)樽笥沂菍?duì)稱的，所以只看左的情況最后乘以2即可．當(dāng)C在左邊第1個(gè)位置時(shí)，有A，當(dāng)C在左邊第2個(gè)位置時(shí)AA，當(dāng)C在左邊第3個(gè)位置時(shí)，有AA+AA，共為240種，乘以2，得480．則不同的排法共有480種．故答案為：480．點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵在于明確事件之間的關(guān)系，同時(shí)要掌握分類討論的處理方法．15．（4分）（2013?浙江）設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（﹣1，0）的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若|FQ|=2，則直線l的斜率等于不存在．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，聯(lián)立得到y(tǒng)2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=4m，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由拋物線C：y2=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出m及k，再代入△判斷是否成立即可．解答：解：由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，聯(lián)立得到y(tǒng)2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由拋物線C：y2=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化為m2=1，解得m=±1，不滿足△＞0．故滿足條件的直線l不存在．故答案為不存在．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系與△的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力和計(jì)算能力．16．（4分）（2013?浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，若，則sin∠BAC=．考點(diǎn)：正弦定理．專題：壓軸題；解三角形．分析：作出圖象，設(shè)出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，進(jìn)而可得cosβ=，在RT△ACM中，還可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化簡(jiǎn)可得答案．解答：解：如圖設(shè)AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入數(shù)據(jù)可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化簡(jiǎn)可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，聯(lián)立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬中檔題．17．（4分）（2013?浙江）設(shè)、為單位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夾角為30°，則的最大值等于2．考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．專題：壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：由題意求得=，||==，從而可得===，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值．解答：解：∵、為單位向量，和的夾角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故當(dāng)=﹣時(shí)，取得最大值為2，故答案為2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求向量的模，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．18．（14分）（2013?浙江）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）直接由已知條件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列列式求出公差，則通項(xiàng)公式an可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結(jié)論，得到等差數(shù)列{an}的前11項(xiàng)大于等于0，后面的項(xiàng)小于0，所以分類討論求d＜0時(shí)|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．解答：解：（Ⅰ）由題意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．當(dāng)d=﹣1時(shí)，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．當(dāng)d=4時(shí)，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以an=﹣n+11或an=4n+6；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)閐＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11．則當(dāng)n≤11時(shí)，．當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=．綜上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的運(yùn)算能力，是中檔題．19．（14分）（2013?浙江）設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球2分，取出藍(lán)球得3分．（1）當(dāng)a=3，b=2，c=1時(shí)，從該袋子中任取（有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和．，求ξ分布列；（2）從該袋子中任?。ㄇ颐壳蛉〉降臋C(jī)會(huì)均等）1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若，求a：b：c．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相應(yīng)的概率可得所求ξ的分布列；（2）先列出η的分布列，再利用η的數(shù)學(xué)期望和方差公式，即可得到結(jié)論．解答：解：（1）由題意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列為

ξ23456P（2）由題意知η的分布列為η123PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（15分）（2013?浙江）如圖，在四面體A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．（1）證明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小為60°，求∠BDC的大小．考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ．根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQ∥OF，再由線面平行判定定理，證出PQ∥平面BCD；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，過(guò)G作GH⊥BM于H，連接CH．根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．設(shè)∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG關(guān)于θ的表達(dá)式，最后在Rt△CHG中，根據(jù)正切的定義得出tan∠CHG==，從而得到tanθ=，由此可得∠BDC．解答：（1）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點(diǎn)∴OP∥DM，且OP=DM，結(jié)合M為AD中點(diǎn)得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形∴PQ∥OF∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，過(guò)G作GH⊥BM于H，連接CH∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線∴CG⊥平面ABD，結(jié)合BM?平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°設(shè)∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°點(diǎn)評(píng)：本題在底面為直角三角形且過(guò)銳角頂點(diǎn)的側(cè)棱與底面垂直的三棱錐中求證線面平行，并且在已知二面角大小的情況下求線線角．著重考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，解直角三角形和平面與平面所成角求法等知識(shí)，屬于中檔題．21．（15分）（2013?浙江）如圖，點(diǎn)P（0，﹣1）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓的直徑．l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D（1）求橢圓C1的方程；（2）求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由題意可得b=1，2a=4，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由題意可知：直線l1的斜率存在，設(shè)為k，則直線l1的方程為y=kx﹣1．利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式即可得出圓心O到直線l1的距離和弦長(zhǎng)|AB|，又l2⊥l1，可得直線l2的方程為x+kx+k=0，與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值，即得到k的值．解答：解：（1）由題意可得b=1，2a=4，即a=2．∴橢圓C1的方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由題意可知：直線l1的斜率存在，設(shè)為k，則直線l1的方程為y=kx﹣1．又圓的圓心O（0，0）到直線l1的距離d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直線l2的方程為x+ky+k=0，聯(lián)立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴．∴三角形ABD的面積．∴=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故所求直線l1的方程為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的幾何