2013年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（北京）（解析卷）

第頁|共頁2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，則A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1} 【考點】1E：交集及其運算．【專題】5J：集合．【分析】找出A與B的公共元素，即可確定出兩集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故選：B．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則（）A．a(chǎn)c＞bc B． C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 【考點】R3：不等式的基本性質(zhì)．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】對于A、B、C可舉出反例，對于D利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正確；B、1＞﹣2，但是，故B不正確；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正確；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正確．故選：D．【點評】熟練掌握不等式的基本性質(zhì)以及反例的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1 【考點】3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用基本函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性逐項判斷即可．【解答】解：A中，y=為奇函數(shù)，故排除A；B中，y=e﹣x為非奇非偶函數(shù)，故排除B；C中，y=lg|x|為偶函數(shù)，在x∈（0，1）時，單調(diào)遞減，在x∈（1，+∞）時，單調(diào)遞增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不單調(diào)，故排除C；D中，y=﹣x2+1的圖象關(guān)于y軸對稱，故為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶i性、單調(diào)性的判斷證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，熟記基本函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可簡化問題的解決．4．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i（2﹣i）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部寫出對應(yīng)的點的坐標(biāo)，看出所在的象限．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（1，2）這個點在第一象限，故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，才能看出實部和虛部的值．5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，則sinB=（）A． B． C． D．1 【考點】HP：正弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】由正弦定理列出關(guān)系式，將a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故選：B．【點評】此題考查了正弦定理，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A．1 B． C． D． 【考點】EF：程序框圖．【專題】5K：算法和程序框圖．【分析】從框圖賦值入手，先執(zhí)行一次運算，然后判斷運算后的i的值與2的大小，滿足判斷框中的條件，則跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足為止．【解答】解：框圖首先給變量i和S賦值0和1．執(zhí)行，i=0+1=1；判斷1≥2不成立，執(zhí)行，i=1+1=2；判斷2≥2成立，算法結(jié)束，跳出循環(huán)，輸出S的值為．故選：C．【點評】本題考查了程序框圖，考查了直到型結(jié)構(gòu)，直到型循環(huán)是先執(zhí)行后判斷，不滿足條件執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足結(jié)束循環(huán)，是基礎(chǔ)題．7．（5分）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（）A． B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2 【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；5L：簡易邏輯．【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以求出a=1，b=，c=．利用離心率e大于建立不等式，解之可得m＞1，最后利用充要條件的定義即可得出正確答案．【解答】解：雙曲線，說明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵離心率e＞等價于?m＞1，∴雙曲線的離心率大于的充分必要條件是m＞1．故選：C．【點評】本題雖然小巧，用到的知識卻是豐富的，具有綜合性特點，涉及了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等幾個方面的知識，是這些內(nèi)容的有機(jī)融合，是一個極具考查力的小題．8．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點，P到各頂點的距離的不同取值有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 【考點】MK：點、線、面間的距離計算．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長|AB|=3，即可得到各頂點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式即可得出．【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長|AB|=3，則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），設(shè)P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各頂點的距離的不同取值有，3，，共4個．故選：B．【點評】熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系及兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分）若拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)為（1，0），則p=2；準(zhǔn)線方程為x=﹣1．【考點】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由拋物線的性質(zhì)可知，知=1，可知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程．【解答】解：∵拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)為（1，0），∴=1，p=2，拋物線的方程為y2=4x，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x=﹣1，故答案為：2，x=﹣1．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為3．【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】5Q：立體幾何．【分析】利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積．【解答】解：幾何體為底面邊長為3的正方形，高為1的四棱錐，所以體積．故答案為：3．【點評】本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力．11．（5分）若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=2；前n項和Sn=2n+1﹣2．【考點】88：等比數(shù)列的通項公式；89：等比數(shù)列的前n項和．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2+a4=a2（1+q2）=20①a3+a5=a3（1+q2）=40②∴①②兩個式子相除，可得到==2即等比數(shù)列的公比q=2，將q=2帶入①中可求出a2=4則a1===2∴數(shù)列{an}時首項為2，公比為2的等比數(shù)列．∴數(shù)列{an}的前n項和為：Sn===2n+1﹣2．故答案為：2，2n+1﹣2．【點評】熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式是解題的關(guān)鍵．12．（5分）設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值為．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】首先根據(jù)題意作出可行域，欲求區(qū)域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值，由其幾何意義為點A（1，0）到直線2x﹣y=0距離為所求，代入點到直線的距離公式計算可得答案．【解答】解：如圖可行域為陰影部分，由其幾何意義為點A（1，0）到直線2x﹣y=0距離，即為所求，由點到直線的距離公式得：d==，則區(qū)域D上的點與點（1，0）之間的距離的最小值等于．故答案為：．【點評】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）函數(shù)f（x）=的值域為（﹣∞，2）．【考點】34：函數(shù)的值域；4L：對數(shù)函數(shù)的值域與最值．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過求解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式分別求出分段函數(shù)的值域，然后取并集得到原函數(shù)的值域．【解答】解：當(dāng)x≥1時，f（x）=；當(dāng)x＜1時，0＜f（x）=2x＜21=2．所以函數(shù)的值域為（﹣∞，2）．故答案為（﹣∞，2）．【點評】本題考查了函數(shù)值域的求法，分段函數(shù)的值域要分段求，最后取并集．是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知點A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面區(qū)域D由所有滿足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點P組成，則D的面積為3．【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到關(guān)于x、y的不等式組，從而得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部，最后根據(jù)坐標(biāo)系內(nèi)兩點間的距離公式即可算出平面區(qū)域D的面積．【解答】解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴點P坐標(biāo)滿足不等式組作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F(xiàn)（3，0）∵|CF|==，點E（5，1）到直線CF：2x﹣y﹣6=0的距離為d==∴平行四邊形CDEF的面積為S=|CF|×d=×=3，即動點P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積為3故答案為：3【點評】本題在平面坐標(biāo)系內(nèi)給出向量等式，求滿足條件的點P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積．著重考查了平面向量的坐標(biāo)運算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（13分）已知函數(shù)f（x）=（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；GS：二倍角的三角函數(shù)．【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函數(shù)的最值求出函數(shù)的最大值；（Ⅱ）通過，且，求出α的正弦值，然后求出角即可．【解答】解：（Ⅰ）因為==∴T==，函數(shù)的最大值為：．（Ⅱ）∵f（x）=，，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．【點評】本題考查二倍角的余弦函數(shù)正弦函數(shù)的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的周期與最值的求法，以及角的求法，考查計算能力．16．（13分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率；（Ⅱ）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）由圖查出13天內(nèi)空氣質(zhì)量指數(shù)小于100的天數(shù)，直接利用古典概型概率計算公式得到答案；（Ⅱ）用列舉法寫出此人在該市停留兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)的所有情況，查出僅有一天是重度污染的情況，然后直接利用古典概型概率計算公式得到答案；（Ⅲ）因為方差越大，說明三天的空氣質(zhì)量指數(shù)越不穩(wěn)定，由圖直接看出答案．【解答】解：（Ⅰ）由圖看出，1日至13日13天的時間內(nèi)，空氣質(zhì)量優(yōu)良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率計算公式得，此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率P=；（Ⅱ）此人在該市停留期間兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13種情況．其中只有1天空氣重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4種情況，所以，此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率P=；（Ⅲ）因為方差越大，說明三天的空氣質(zhì)量指數(shù)越不穩(wěn)定，由圖看出從5日開始連續(xù)5、6、7三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．【點評】本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，訓(xùn)練了學(xué)生的讀圖能力，是基礎(chǔ)題．17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點，求證：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【考點】LS：直線與平面平行；LW：直線與平面垂直；LY：平面與平面垂直．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根據(jù)已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BE∥AD，再利用直線和平面平行的判定定理證得BE∥平面PAD．（Ⅲ）先證明ABED為矩形，可得BE⊥CD①．現(xiàn)證CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位線的性質(zhì)可得EF∥PD，從而證得CD⊥EF②．結(jié)合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理證得平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD．又AD?平面PAD，BE不在平面PAD內(nèi)，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分別為CD和PC的中點，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．【點評】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理，直線和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（13分）已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍．【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（I）由題意可得f′（a）=0，f（a）=b，聯(lián)立解出即可；（II）利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性與極值即最值，得到值域即可．【解答】解：（I）f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），∵曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，∴f′（a）=a（2+cosa）=0，f（a）=b，聯(lián)立，解得，故a=0，b=1．（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．令f′（x）=0，得x=0，x，f（x），f′（x）的變化情況如表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f（x）﹣0+f′（x）1所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（0）=1是f（x）的最小值．當(dāng)b≤1時，曲線y=f（x）與直線x=b最多只有一個交點；當(dāng)b＞1時，f（﹣2b）=f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）=1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）=f（x2）=b．由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上均單調(diào)，所以當(dāng)b＞1時曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同的交點．綜上可知，如果曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同的交點，那么b的取值范圍是（1，+∞）．【點評】熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值及其幾何意義是解題的關(guān)鍵．19．（14分）直線y=kx+m（m≠0）與橢圓相交于A，C兩點，O是坐標(biāo)原點．（Ⅰ）當(dāng)點B的坐標(biāo)為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；（Ⅱ）當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．【考點】IR：兩點間的距離公式；K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（I）先根據(jù)條件得出線段OB的垂直平分線方程為y=，從而A、C的坐標(biāo)為（，），根據(jù)兩點間的距離公式即可得出AC的長；（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓的交點，從而解得，則A、C兩點的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．于是結(jié)論得證．【解答】解：（I）∵點B的坐標(biāo)為（0，1），當(dāng)四邊形OABC為菱形時，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴線段OB的垂直平分線為y=，將y=代入橢圓方程得x=±，因此A、C的坐標(biāo)為（，），如圖，于是AC=2．（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，利用反證法，假設(shè)四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓的交點，故，x2=（r2﹣1），則A、C兩點的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．從而得到點B是W的頂點．這與題設(shè)矛盾．于是結(jié)論得證．【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查等價轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20．（14分）給定數(shù)列a1，a2，…，an．對i=1，2，…，n﹣1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n﹣i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai﹣Bi．（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）設(shè)a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a