2013年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)Ⅱ）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，則M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題．【分析】找出集合M與N的公共元素，即可求出兩集合的交集．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）=（）A．2 B．2 C． D．1 【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)的模．【專題】11：計(jì)算題．【分析】通過(guò)復(fù)數(shù)的分子與分母同時(shí)求模即可得到結(jié)果．【解答】解：===．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力．3．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3 【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先畫出滿足約束條件：，的平面區(qū)域，求出平面區(qū)域的各角點(diǎn)，然后將角點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，比較后，即可得到目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣3y的最小值．【解答】解：根據(jù)題意，畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線如下圖所示，由得，由圖可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A（3，4）取最小值z(mì)=2×3﹣3×4=﹣6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．4．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=2，B=，C=，則△ABC的面積為（）A．2+2 B． C．2﹣2 D．﹣1 【考點(diǎn)】%H：三角形的面積公式；HP：正弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度數(shù)，由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：∵b=2，B=，C=，∴由正弦定理=得：c===2，A=，∴sinA=sin（+）=cos=，則S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．5．（5分）設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是C上的點(diǎn)PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，則C的離心率為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依題意可求得|PF1|與|F1F2|，利用橢圓離心率的性質(zhì)即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的離心率為：e==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得|PF1|與|PF2|及|F1F2|是關(guān)鍵，考查理解與應(yīng)用能力，屬于中檔題．6．（5分）已知sin2α=，則cos2（α+）=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】GE：誘導(dǎo)公式；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；GS：二倍角的三角函數(shù)．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的N=4，那么輸出的S=（）A．1+++ B．1+++ C．1++++ D．1++++ 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】27：圖表型．【分析】由程序中的變量、各語(yǔ)句的作用，結(jié)合流程圖所給的順序可知當(dāng)條件滿足時(shí)，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到條件不能滿足時(shí)輸出最后算出的S值，由此即可得到本題答案．【解答】解：根據(jù)題意，可知該按以下步驟運(yùn)行第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1++，第四次：S=1+++．此時(shí)k=5時(shí)，符合k＞N=4，輸出S的值．∴S=1+++故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，以及表格法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）設(shè)a=log32，b=log52，c=log23，則（）A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】11：計(jì)算題．【分析】判斷對(duì)數(shù)值的范圍，然后利用換底公式比較對(duì)數(shù)式的大小即可．【解答】解：由題意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)值的大小比較，換底公式的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．9．（5分）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】L7：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【專題】11：計(jì)算題；13：作圖題．【分析】由題意畫出幾何體的直觀圖，然后判斷以zOx平面為投影面，則得到正視圖即可．【解答】解：因?yàn)橐粋€(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），幾何體的直觀圖如圖，是正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個(gè)正四面體，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖為：故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的三視圖的判斷，根據(jù)題意畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．10．（5分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|=3|BF|，則l的方程為（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1） C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1） D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1） 【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)題意，可得拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），由此設(shè)直線l方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)解消去x，得﹣y﹣k=0．再設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系和|AF|=3|BF|，建立關(guān)于y1、y2和k的方程組，解之可得k值，從而得到直線l的方程．【解答】解：∵拋物線C方程為y2=4x，可得它的焦點(diǎn)為F（1，0），∴設(shè)直線l方程為y=k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=∴直線l方程為y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成1：3的兩部分，求直線AB的方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．11．（5分）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．?x0∈R，f（x0）=0 B．函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形 C．若x0是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（﹣∞，x0）上單調(diào)遞減 D．若x0是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x0）=0 【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】16：壓軸題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】對(duì)于A，對(duì)于三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，由于當(dāng)x→﹣∞時(shí)，y→﹣∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，故在區(qū)間（﹣∞，+∞）肯定存在零點(diǎn)；對(duì)于B，根據(jù)對(duì)稱變換法則，求出對(duì)應(yīng)中心坐標(biāo)，可以判斷；對(duì)于C：采用取特殊函數(shù)的方法，若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，則f（x）=x3﹣x2﹣x，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值和單調(diào)性進(jìn)行判斷；D：若x0是f（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則f′（x0）=0，正確．【解答】解：A、對(duì)于三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，A：由于當(dāng)x→﹣∞時(shí)，y→﹣∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，故?x0∈R，f（x0）=0，故A正確；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）=（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，f（﹣）=（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c=﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）=2f（﹣），∴點(diǎn)P（﹣，f（﹣））為對(duì)稱中心，故B正確．C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，則f（x）=x3﹣x2﹣x，對(duì)于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（﹣∞，﹣），（1，+∞），減區(qū)間為：（﹣，1），故1是f（x）的極小值點(diǎn)，但f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）不是單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；D：若x0是f（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則f′（x0）=0，故D正確．由于該題選擇錯(cuò)誤的，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．12．（5分）若存在正數(shù)x使2x（x﹣a）＜1成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；7E：其他不等式的解法．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】轉(zhuǎn)化不等式為，利用x是正數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可．【解答】解：因?yàn)?x（x﹣a）＜1，所以，函數(shù)y=是增函數(shù)，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范圍是（﹣1，+∞）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．二、填空題：本大題共4小題，每小題4分．13．（4分）從1，2，3，4，5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2．【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由題意結(jié)合組合數(shù)公式可得總的基本事件數(shù)，再找出和為5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：從1，2，3，4，5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)共有=10種情況，和為5的有（1，4）（2，3）兩種情況，故所求的概率為：=0.2故答案為：0.2【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率公式，屬基礎(chǔ)題．14．（4分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則?=2．【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得要求的式子為（）?（），再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則=0，故=（）?（）=（）?（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．15．（4分）已知正四棱錐O﹣ABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為24π．【考點(diǎn)】L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征；LG：球的體積和表面積．【專題】16：壓軸題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】先直接利用錐體的體積公式即可求得正四棱錐O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱錐O﹣ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)OA，最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即得．【解答】解：如圖，正四棱錐O﹣ABCD的體積V=sh=（×）×OH=，∴OH=，在直角三角形OAH中，OA===所以表面積為4πr2=24π；故答案為：24π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查錐體的體積、球的表面積計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．16．（4分）函數(shù)y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)y=sin（2x+）的圖象重合，則φ=．【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，可得平移后的圖象為y=cos[2（x﹣）+φ]的圖象，即y=cos（2x+φ﹣π）的圖象．結(jié)合題意得函數(shù)y=sin（2x+）=的圖象與y=cos（2x+φ﹣π）圖象重合，由此結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可算出φ的值．【解答】解：函數(shù)y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的圖象向右平移個(gè)單位后，得平移后的圖象的函數(shù)解析式為y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x+φ﹣π），而函數(shù)y=sin（2x+）=，由函數(shù)y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)y=sin（2x+）的圖象重合，得2x+φ﹣π=，解得：φ=．符合﹣π≤φ＜π．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題給出函數(shù)y=cos（2x+φ）的圖象平移，求參數(shù)φ的值．著重考查了函數(shù)圖象平移的公式、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1=25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；8E：數(shù)列的求和．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，利用成等比數(shù)列的定義可得，，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，化為d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通項(xiàng)公式an；（II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此數(shù)列是以25為首項(xiàng)，﹣6為公差的等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，由題意a1，a11，a13成等比數(shù)列，∴，∴，化為d（2a1+25d）=0，∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．∴an=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27．（II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此數(shù)列是以25為首項(xiàng)，﹣6為公差的等差數(shù)列．∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n﹣2===﹣3n2+28n．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．18．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱錐C﹣A1DE的體積．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LS：直線與平面平行．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則DF為三角形ABC1的中位線，故DF∥BC1．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點(diǎn)可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．進(jìn)而求得的值，再根據(jù)三棱錐C﹣A1DE的體積為??CD，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，故DF為三角形ABC1的中位線，故DF∥BC1．由于DF?平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2，故此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形．由D為AB的中點(diǎn)可得CD⊥平面ABB1A1，∴CD==．∵A1D==，同理，利用勾股定理求得DE=，A1E=3．再由勾股定理可得+DE2=，∴A1D⊥DE．∴==，∴=??CD=1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求三棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19．（12分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X（單位：t，100≤X≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．（Ⅰ）將T表示為X的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率．【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（I）由題意先分段寫出，當(dāng)X∈[100，130）時(shí)，當(dāng)X∈[130，150）時(shí)，和利潤(rùn)值，最后利用分段函數(shù)的形式進(jìn)行綜合即可．（II）由（I）知，利潤(rùn)T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150．再由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，利用樣本估計(jì)總體的方法得出下一個(gè)銷售季度的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值．【解答】解：（I）由題意得，當(dāng)X∈[100，130）時(shí)，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000，當(dāng)X∈[130，150]時(shí)，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利潤(rùn)T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150．由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布及識(shí)圖的能力，求解的重點(diǎn)是對(duì)題設(shè)條件及直方圖的理解，了解直方圖中每個(gè)小矩形的面積的意義．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2．（Ⅰ）求圓心P的軌跡方程；（Ⅱ）若P點(diǎn)到直線y=x的距離為，求圓P的方程．【考點(diǎn)】J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；J3：軌跡方程．【專題】15：綜合題；16：壓軸題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由題意，可直接在弦心距、弦的一半及半徑三者組成的直角三角形中利用勾股定理建立關(guān)于點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的方程，整理即可得到所求的軌跡方程；（Ⅱ）由題，可先由點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的方程，將此方程與（I）所求的軌跡方程聯(lián)立，解出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而解出圓的半徑即可寫出圓P的方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心P（x，y），由題意得圓心到x軸的距離與半徑之間的關(guān)系為2=﹣y2+r2，同理圓心到y(tǒng)軸的距離與半徑之間的關(guān)系為3=﹣x2+r2，由兩式整理得x2+3=y2+2，整理得y2﹣x2=1即為圓心P的軌跡方程，此軌跡是等軸雙曲線（Ⅱ）由P點(diǎn)到直線y=x的距離為得，=，即|x﹣y|=1，即x=y+1或y=x+1，分別代入y2﹣x2=1解得P（0，﹣1）或P（0，1）若P（0，﹣1），此時(shí)點(diǎn)P在y軸上，故半徑為，所以圓P的方程為（y+1）2+x2=3；若P（0，1），此時(shí)點(diǎn)P在y軸上，故半徑為，所以圓P的方程為（y﹣1）2+x2=3；綜上，圓P的方程為（y+1）2+x2=3或（y﹣1）2+x2=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查求軌跡方程的方法解析法及點(diǎn)的直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解圓的幾何特征，將幾何特征轉(zhuǎn)化為方程21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；（Ⅱ）當(dāng)曲線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l在x軸上截距的取值范圍．【考點(diǎn)】5C：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】15：綜合題；16：壓軸題；35：轉(zhuǎn)化思想；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)的極值點(diǎn)的定義，即可求出函數(shù)的極值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，得出切線的方程，利用方程求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）=0，解得x=0或x=2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，0）與（2，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)．∴x=0是極小值點(diǎn)，x=2極大值點(diǎn)，又f（0）=0，f（2）=．故f（x）的極小值和極大值分別為0，．（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（），則切線方程為y﹣=（x﹣x0），令y=0，解得x==，∵曲線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，則=．①當(dāng)x0＜0時(shí)，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴f（x0）＜f（0）=0；②當(dāng)x0＞2時(shí)，令f′（x0）=0，解得．當(dāng)時(shí)，f′（x0）＞0，函數(shù)f（x0）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f′（x0）＜0，函數(shù)f（x0）單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x0）取得極小值，也即最小值，且=．綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（﹣∞，0）∪．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線、函數(shù)的值域，綜合性強(qiáng)，考查了推理能力和計(jì)算能力．選做題．請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一部分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．22．【選修4﹣1幾何證明選講】如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC?AE=DC?AF，B、E、F、C四點(diǎn)共圓．（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；（2）若DB=BE=EA，求過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．【考點(diǎn)】NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】5B：直線與圓．【分析】（1）已知CD為△ABC外接圓的切線，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC?AE=DC?AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四點(diǎn)共圓，可得∠CFE=∠DBC，進(jìn)而得到∠CFE=∠AFE=90°即可證明CA是△ABC外接圓的直徑；（2）要求過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．只需求出其外接圓的直徑的平方之比即可．由過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割線定理可得DC2=DB?DA，CA2=CB2+BA2，都用DB表示即可．【解答】（1）證明：∵CD為△ABC外接圓的切線，∴∠DCB=∠A，∵BC?AE=DC?AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．∵B、E、F、C四點(diǎn)共圓，∴∠CFE=∠DB