2014年高考數(shù)學試卷（理）（湖北）（解析卷）

第②，故選D.考點：空間由已知條件，在空間坐標系中作出幾何體的形狀，再正視圖與俯視圖，容易題.6.若函數(shù)、滿足，則稱、在區(qū)間上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①；②；③.其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（）A.0B.1C.2D.37.由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機取一點，則該點恰好在內(nèi)的概率為（）B.C.D.【答案】D8.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當于給出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的近似取為（）B.C.D.9.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A.B.C.3D.210.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若，，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.考點：函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)、最值及恒成立，難度中等.二．填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上，答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.必考題（11—14題）11.設(shè)向量，，若，則實數(shù).12.直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則.13.設(shè)是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復數(shù)字的三位數(shù).將組成的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為（例如，則，）.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，任意輸入一個，輸出的結(jié)果.14.設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意，若經(jīng)過點，的直線與軸的交點為，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當時，可得，即為的算術(shù)平均數(shù).當時，為的幾何平均數(shù)；當時，為的調(diào)和平均數(shù)；（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）（二）選考題（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為⊙的兩條切線，切點分別為，過的中點作割線交⊙于兩點，若則.16.（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，則與交點的直角坐標為.三．解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分11分）某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系；.（1）求實驗室這一天的最大溫差；（2）若要求實驗室溫度不高于11，則在哪段時間實驗室需要降溫？當時，；當時，；于是在上取得最大值12，取得最小值8.18.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.（2）當時，，顯然，不存在正整數(shù)，使得.19.(本小題滿分12分)如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點分別在棱,上移動，且.當時，證明：直線平面；是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】分別取、、的中點為、、，連結(jié)、，則，，而，故是平面與平面所成的二面角的平面角，以為原點，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標系，（2）設(shè)平面的一個法向量，20.（本小題滿分12分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系:年入流量發(fā)電量最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？由此得的分布列如下：349200150000.20.80.1所以.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺.考點：二項分布，隨機變量的均值.21.（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.（1）求軌跡為的方程；（2）設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.試題解析：（1）設(shè)點，依題意，，即，整理的，所以點的軌跡的方程為.考點：兩點