《多元函數(shù)列的一致收斂及應(yīng)用分析》

PAGEPAGE31多元函數(shù)列的一致收斂及應(yīng)用分析1.1多元函數(shù)列一致收斂的基本概念[15]定義1.1.1設(shè)和是定義在區(qū)域的函數(shù)列，若對(duì)，,，有，則稱(chēng)在一致收斂.1.2多元函數(shù)列的一致收斂的判別方法定理1.2.1在區(qū)域一致收斂的充要條件是：對(duì),，使得,，有.（4-1）證明充分性由假設(shè)條件可知,對(duì),,，不等式對(duì)成立，故由Cauchy收斂原則，在點(diǎn)點(diǎn)收斂，記其極限為.現(xiàn)固定（4-1）式中的，令，則對(duì)，，有，即在一致收斂于.必要性設(shè)在一致收斂于，即，使得，，有，于是，時(shí)，有.定理1.2.2在區(qū)域一致收斂于的充要條件是：.證明充分性由可知，,，，有，所以在區(qū)域一致收斂于.必要性設(shè)，則對(duì),,，有，由上確界的定義可得，.定理1.2.3設(shè)和在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在一致收斂于的充要條件是：，.證明仿定理1.2.3可證.定理1.2.4設(shè)在有界閉區(qū)域上滿(mǎn)足，,其中，且在收斂于，則在一致收斂于.證明任取.因?yàn)樵谔幨諗浚蒀auchy收斂原理可知，,，當(dāng)時(shí)，有.取，則當(dāng)時(shí)，有，這表明，,,，上述不等式成立.于是，開(kāi)區(qū)域族覆蓋有界閉區(qū)域，根據(jù)有限覆蓋定理知，可以從中選取有限個(gè)開(kāi)區(qū)域，不妨設(shè)也覆蓋.取，則當(dāng)時(shí)，對(duì)，存在，使得，所以，即在一致收斂于.定理1.2.5設(shè)可微函數(shù)列在凸區(qū)域收斂，且在均一致有界，則在一致收斂.證明由假設(shè)條件知，，使對(duì),，有.于是對(duì)于,，由二元微分中值定理可知，（），由定理1.4可得，在一致收斂.定理1.2.6設(shè)在區(qū)域連續(xù)且一致收斂于，則在連續(xù).證明由在一致收斂知，,,,有.注意到對(duì)，在連續(xù)，所以對(duì)，,，當(dāng)時(shí)，有.于是，對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，有，所以在連續(xù).定理1.2.7設(shè)在區(qū)域一致收斂，且,均是有界函數(shù)，則在一致有界.證明設(shè)對(duì)，使對(duì)，有.由函數(shù)列一致收斂的柯西原理知，對(duì),,,有.于是,有.令，則對(duì)，有.即在一致有界.1.3多元函數(shù)列一致收斂的應(yīng)用引理1.3.1[7]二元函數(shù)函數(shù)列在給定區(qū)域上一致收斂于，將該區(qū)域內(nèi)的一個(gè)聚點(diǎn)記為，如果對(duì)每個(gè)，都有，則和都存在，且.注1.3.1該引理表明，條件為一致收斂時(shí)，二元函數(shù)列的極限順序可以互換，即.下面給出定理1.3.1說(shuō)明應(yīng)用二元函數(shù)列一致收斂解決函數(shù)連續(xù)問(wèn)題.定理1.3.1二元函數(shù)列在給定某一區(qū)域上一致收斂于，并且函數(shù)列的每一項(xiàng)都在該區(qū)域上連續(xù)，那么在此區(qū)域上也連續(xù).證明首先給出區(qū)域上任意一點(diǎn)，根據(jù)和引理6.3.1可知存在，并且所以在點(diǎn)處連續(xù)，再根據(jù)點(diǎn)的任意性可得出結(jié)論在上連續(xù).定理1.3.2給出應(yīng)用一致收斂得到二元函數(shù)可積性的問(wèn)題.定理1.3.2二元函數(shù)列在有界閉區(qū)域上一致收斂于，并且函數(shù)列的每一項(xiàng)都在該區(qū)域上連續(xù)，那么在此區(qū)域上可積.證明根據(jù)定理1.3.1可知在上連續(xù)，所以與在此區(qū)域上均可積.定理1.3.3介紹應(yīng)用一致收斂性解決一致連續(xù)性問(wèn)題.定理1.3.3二元函數(shù)列在給定某一區(qū)域上一致收斂于，且函數(shù)列在該區(qū)域上一致連續(xù)，那么在此區(qū)域上也一致連續(xù).證明由一致收斂定義知，對(duì)，（N為正整數(shù)），使得當(dāng)時(shí)，對(duì)有，再根據(jù)一致連續(xù)可知，對(duì)上述，，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.從而對(duì)于同樣的，，當(dāng)且時(shí)，可得到因此在區(qū)域上也一致連續(xù)，定理得證.例1.3.1判斷在的一致收斂性.證明，當(dāng)時(shí)，，.又，故在有界，所以,在是有界函數(shù).，取，則,有，即在一致收斂于.由定理1.7知，在一致有界.同理可證，在一致有界.從而由定