山西省太原市2024-2025學年高三上冊10月聯(lián)考數(shù)學檢測試卷（含解析）

山西省太原市2024-2025學年高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學檢測試卷一．單選題（本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．3．等比數(shù)列中，，公比，若，則（

）A． B． C． D．4．已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（）A． B．C． D．5．如圖，平行四邊形中，，，若，，則（

）A． B． C．D．6．函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．7．若過點可以作的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知關(guān)于的方程在內(nèi)有2個不同的解，，則（

）A．1 B． C． D．多選題（本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對得6分,部分選對得部分分,有選錯得0分）9．下列說法正確的是（

）A．已知，則；B．已知，則；C．已知一次函數(shù)滿足，則；D．定義在上的函數(shù)滿足，則10．已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則b⊥c B．若則C．向量與向量垂直D．若，則11．已知函數(shù)，則下面說法正確的是（

）A．π是的一個周期； B．的最大值為334;C．是的對稱軸; D．是的對稱中心;三．填空題（本題共3小題,每小題5分,共15分.）12．命題“，”的否定是．13．函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是.14．已知函數(shù)恰有兩個零點和一個極大值點，且成等比數(shù)列.若的解集為，則.四．解答題（本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.）15．（13分）在?ABC中，，，分別是角所對的邊，且滿足．(1)求角的大小；(2)設(shè)向量，向量，且a⊥b，，求?ABC的面積.16．（15分）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.17．（15分）已知函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若時，不等式有解，求的取值范圍.18．（17分）已知?ABC的面積為9，點D在BC邊上，．(1)若，，①證明：；②求AC；(2)若，求AD的最小值．19．（17分）當一個函數(shù)值域內(nèi)任意一個函數(shù)值都有且只有一個自變量與之對應(yīng)時，可以把這個函數(shù)的函數(shù)值作為一個新的函數(shù)的自變量，而這個函數(shù)的自變量作為新函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù).例如，由，得，通常用表示自變量，則寫成，我們稱與互為反函數(shù).已知函數(shù)與互為反函數(shù)，若兩點在曲線y=fx上，兩點在曲線y=gx上，以四點為頂點構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線垂直，則我們稱這個矩形為與的“關(guān)聯(lián)矩形”.(1)若函數(shù)，且點A(14,y)在曲線（i）求曲線y=fx在點A（ii）求以點A為一個頂點的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.(2)若函數(shù)fx=lnx，且與的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證明.（參考數(shù)據(jù)：）答案：題號12345678910答案BDCADCBDABDABC題號11答案AD1．B【分析】求出集合，結(jié)合交集運算性質(zhì)計算即可.【詳解】由集合，解得，故.故選：B2．D【分析】利用向量數(shù)量積的坐標運算計算可得結(jié)果.【詳解】由可得，即，也即，解得.故選：D3．C【分析】由等比數(shù)列通項公式直接求解即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，，解得.故選：C.4．A【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性列式求解即得.【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍是.故選：A5．D【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所以.故選：D.6．C【分析】根據(jù)與的正負關(guān)系，即可排除選項，再根據(jù)的值，排除選項，即可判斷.【詳解】當時，若，則；若，則.當時，若，則；若，則，排除A，D.，顯然不恒等于0，故不是奇函數(shù)，排除B.故選：C7．B【分析】設(shè)出切點坐標，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進而求出的范圍.【詳解】依題意，設(shè)切點坐標為，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，由切線過點，得，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，，當或時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得極小值，而當時，恒有，又，因此當時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B關(guān)鍵點點睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點處的切線斜率，切點未知，設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵.8．D【分析】輔助角公式得，取為銳角且，由得，，則，求值即可.【詳解】因為，取為銳角且，，所以，由題意可得.因為，不妨設(shè)，由，有，，即，所以，.故選：D.思路點睛：輔助角公式的作用之一是將含有正弦、余弦兩種三角函數(shù)的表達式合并為只含有一種三角函數(shù)的表達式，兩個角的正弦值相等，則這兩個角終邊重合或終邊關(guān)于軸對稱.9．ABD【分析】對于A，用替換中的，求出的解析式，即可判斷；對于B，由題意可得，再由，即可得的解析式，即可判斷；對于C，設(shè)，根據(jù)題意求出的值，即可判斷；對于D，用替換中的，由兩式中消去，可得的解析式，即可判斷.【詳解】解：對于A，因為，所以，故正確；對于B，因為，因為，所以，故正確；對于C，設(shè)，則，所以，解得或，所以或，故錯誤；對于D，因為定義在上的函數(shù)滿足①，所以②，由①+②，得，所以，故正確.故選：ABD.10．ABC【分析】選項A，根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到，即可判斷選項A的正誤；選項B，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運算及模的定義，即可判斷選項B的正誤；選項C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，得到，即可求解；選項D，根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運算律，得到，即可求解.【詳解】對于選項A，因為為非零向量，若，則，故，所以選項A正確，對于選項B，若，故，所以選項В正確，對于選項C，，故，所以選項C正確，對于選項D，若，則，得到，不能確定，所以選項D錯誤，故選：ABC．11．AD【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即可判斷A；；利用即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可判斷B.利用即可判斷D【詳解】，因為的最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；，又，令，因為的周期為，所以只需討論內(nèi)的的最大值，此時當時，，當時，，故當即時，有極大值，又，因為，所以直線不是圖象的對稱軸，故B錯誤，C錯誤.，所以點是圖象的對稱點，故D正確；故選：AD關(guān)鍵點點睛：解決本題D選項的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，方可求出最大值.12．【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式即可得解.【詳解】由存在量詞命題的否定形式可知：命題“，”的否定是“”.故13．【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用在內(nèi)有解即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，得不等式在內(nèi)有解，不等式，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，因此，所以的取值范圍是.故14．2【分析】根據(jù)已知，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征可得是的極小值點，借助導(dǎo)數(shù)及函數(shù)零點可得的關(guān)系，由不等式的解集求出.【詳解】因三次函數(shù)有一個極大值點，則該函數(shù)必有一個極小值點，且極小值點大于，又恰有兩個零點，且，因此是的極小值點，求導(dǎo)得：，即是方程的二根，有，即，顯然，則，整理得，兩邊平方得：，因成等比數(shù)列，即，于是得，即，而，有，顯然有，，因的解集為，則5是方程的根，即有，整理得：，解得或，當時，，，不等式，解得，符合題意，函數(shù)的極大值為，當時，，，不等式，解得，不符合題意，舍去，所以.故2.方法點睛：可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號不同.15．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理即可求得；（2）由向量的數(shù)量積等于0列出方程，可求得角，利用三角函數(shù)的定義求得邊，最后運用三角形面積公式計算即得.【詳解】（1）由余弦定理，，????4分因，則；????6分（2）由，????7分因，則，因，且，則，故，????9分因，則，????11分則的面積為.????13分16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義得到數(shù)列an（2）由（1）求得，結(jié)合裂項法求和，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，數(shù)列an滿足，即，由等差數(shù)列的定義，可得數(shù)列an是以3為公差的等差數(shù)列，????因為，可得，所以數(shù)列an的通項公式為.????7分解：由（1），可得，????11分所以數(shù)列bn的前項和為.????15分17．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)給定條件，將不等式分離參數(shù)得，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，????1分由，得，當時，，當且僅當時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞減；???3分當時，，當且僅當時取等號，函數(shù)在上單調(diào)遞增；????5分當時，由，得；由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，????6分所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.????7分依題意，不等式在時有解，即在時有解，????9分令，，求導(dǎo)得，由，得；由，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，????12當時，函數(shù)取得最大值，因此，????14所以實數(shù)的取值范圍是.????15關(guān)鍵點睛：導(dǎo)數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標準的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點、零點存在時零點是否在給定的范圍內(nèi)及零點在給定范圍內(nèi)時兩個零點的大小關(guān)系來分層討論.18．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，從而得證；②在中，利用三角函數(shù)恒等變換可得所以，在中，由，可解問題；（2）由，兩邊平方的，再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為，化簡利用基本不等式求最值.【詳解】（1）①因為，，所以，在中，由正弦定理可得，????1分所以；????3分②設(shè)，則，因為，所以，????4分設(shè)，因為，所以，在中，，由①知，所以，????6分所以，整理得，又因為，，所以，因為，所以，????8分在中，因為，，所以，所以，則，????10分所以；????11分（2）記的內(nèi)角為，所對邊為，因為，所以，????12分所以，????13分在中，因為，所以由余弦定理可得，整理得，因為，所以，所以，所以，????15分當且僅當時取等號，????16分所以AD的最小值為4.????17分關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，由平面向量得，兩邊平方的，再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為，利用三角函數(shù)恒等變換化簡，并利用基本不等式求最值.19．(1)（i）；（ii）；(2)證明見解析.【分析】（1）（i）先由點在曲線y=fx上求出點A，再利用導(dǎo)數(shù)工具求出即可由直線的點斜式方程得解；（ii）先由反函數(shù)性質(zhì)依次得出y=fx的反函數(shù)和A關(guān)于直線對稱的點為D，從而得和，再由題意以及圖象特征得和，進而得直線的方程，接著聯(lián)立求出點C即可得，從而計算即可得解.（2）先由題意設(shè)關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱得，進而設(shè)得，再由已知信息結(jié)合得到，接著建立函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性從而由和得，從而借助的單調(diào)性得證.【詳解】（i）因為點在曲線上，所以，即，????1分由，得，則，????2分所以曲線y=fx在點A處的切線方程為即.????4分（ii）由（1），由得其反函數(shù)為，????5分則函數(shù)和圖象關(guān)于直線對稱，設(shè)A關(guān)于直線對稱的點為D，則D在曲線上，且，，則，????7分由題意以及由圖象特征可知，則，直線的方程為，聯(lián)立方程組解得或（舍去），則，????9分則該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.????10分（2）證明：由fx=ln所以和圖象關(guān)于直線對稱，且