2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高三上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷注意：請?jiān)诖痤}紙上答題，并將答案寫在答題紙相應(yīng)的位置上，不在規(guī)定處書寫答案無效！一、填空題（本大題滿分54分，1-6小題每題4分，7-12小題每題5分）1.已知全集，集合，，則______.【正確答案】【分析】將集合化簡，即可得到，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則或x>1，且，所以.故2.若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則的實(shí)部為______.【正確答案】2【分析】根據(jù)乘法運(yùn)算化簡，即可根據(jù)實(shí)部定義求解.【詳解】，故實(shí)部為2，故23.已知，向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是______.【正確答案】3【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，即，解得.故34.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，間的距離為3，則實(shí)數(shù)的值是______.【正確答案】或【分析】利用空間中兩點(diǎn)間距離公式即可解得.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，間的距離為3，結(jié)合距離公式可得：，解得或.故或.5.已知二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)系數(shù)和等于64，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)展開式各項(xiàng)系數(shù)和等于列出方程，即可求解出的值.【詳解】因?yàn)檎归_式各項(xiàng)系數(shù)和等于，所以，解得，故答案為.6.若，則等于______.【正確答案】【分析】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式直接求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，解得，故答案?7.若對任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】變形可得，利用基本不等式求得的最小值即可.【詳解】因?yàn)?、為正?shí)數(shù)，所以，所以由，可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因?yàn)閷θ我庹龑?shí)數(shù)、，不等式恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.8.為了解某年級學(xué)生的課外學(xué)習(xí)情況，從該年級名學(xué)生中按分層抽樣，從男生中抽取名，女生中抽取名，則男生甲被抽中且女生乙沒有被抽中的概率為______（用數(shù)字作答）【正確答案】##【分析】求出男生甲被抽中的概率、女生乙沒有被抽中的概率，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)樵跇颖局?，男生占，所以該年級男生總?cè)藬?shù)為：(人)，所以男生甲被抽中的概率為，同理可得該年級女生總?cè)藬?shù)為：(人)，所以女生乙被抽中的概率為，沒有被抽中的概率為，所以男生甲被抽中且女生乙沒有被抽中的概率為.故9.已知平面四邊形的四個內(nèi)角、、、由小到大依次排列恰成公差不為零的等差數(shù)列，，則的取值范圍是______【正確答案】【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，并求出范圍，再將表示為公差的函數(shù)，利用單調(diào)性求出值域即可.【詳解】依題意，設(shè)內(nèi)角、、、所成等差數(shù)列的公差為，，而，解得，則，由，得，因此，而函數(shù)在上遞減，，即函數(shù)在上都遞減，則在上遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是，所以的取值范圍是.故10.在平面上，已知兩個單位向量、的夾角為，向量，其中.則的最大值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再結(jié)合基本不等式求解即可.詳解】由題意，，，，，則，因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最大值為.故答案為.11.已知A、、、是半徑為1的球面上的四點(diǎn)，且這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)間的距離都相等，則點(diǎn)A到平面的距離為______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意可以補(bǔ)成正方體來研究，再用等體積法計(jì)算距離即可.【詳解】由于A、B、C、D這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)間距離相等，所以這四點(diǎn)構(gòu)成一個正四面體，可以補(bǔ)成正方體，如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為，則正方體棱長，根據(jù)正四面體的外接球與正方體外接球是一樣的，直徑，則，已知球半徑，則，解得，先求正四面體的體積，可以看做長方體體積減去4個全等的直三棱錐體積，即，又可把正四面體底面看作是由四個全等的等邊三角形三棱錐，每個底面積，由等體積法得，，解得.故答案為.12.定義在R上的奇函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)是，若函數(shù)最小值點(diǎn)為，則函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)遞減區(qū)間為______.【正確答案】.【分析】由題意可得是R上偶函數(shù)，令g(x)=y=f'x?log2x,x>0，則有，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而可得f'【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上可導(dǎo)奇函數(shù)，所以，求導(dǎo)得，，即，所以是R上偶函數(shù)，令g(x)=y=f又因?yàn)榈淖钚≈迭c(diǎn)為，所以，又因?yàn)楫?dāng)時，，所以此時f'x<0當(dāng)時，，所以此時f'x>0，所以，又因?yàn)槭荝上偶函數(shù)，所以當(dāng)時，f'x<0當(dāng)時，f'x所以當(dāng)時，f'x即函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)遞減區(qū)間為.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由及的性質(zhì)，得出f'x<0的解集二、選擇題（本大題滿分18分，13-14小題每題4分，15-16小題每題5分）13.已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用三角絕對值不等式求出的最小值，結(jié)合不等式恒成立，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故.故選：C14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的各項(xiàng)中（）A.所有項(xiàng)均是數(shù)列中的項(xiàng) B.所有項(xiàng)均不是數(shù)列中的項(xiàng)C.只有有限項(xiàng)是數(shù)列中的項(xiàng) D.只有有限項(xiàng)不是數(shù)列中的項(xiàng)【正確答案】A【分析】根據(jù)，可求出，即可求出，將其化為形式，即可判斷出答案.【詳解】由題意知數(shù)列的前項(xiàng)和,當(dāng)時，；當(dāng)時，，也適合，故；則，由于，時，，時，，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，對稱軸為，則當(dāng)，，遞增，再結(jié)合數(shù)的特點(diǎn)知，故數(shù)列的各項(xiàng)中所有項(xiàng)均是數(shù)列中的項(xiàng)，故選：A15.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)有零點(diǎn)”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.不充分也不必要【正確答案】A【分析】根據(jù)特值法與零點(diǎn)存在定理可快速得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，知此時函數(shù)必有零點(diǎn)，所以充分性成立；當(dāng)，時，，易知，所以函數(shù)有零點(diǎn)，此時，所以必要性不成立.故“”是“函數(shù)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故選.16.已知，關(guān)于等式，以下兩個命題：①對任意的，總存在，使得等式成立；②對任意的，總存在，使得等式成立.則下列判斷正確的是（）A.①與②都正確 B.①正確，②不正確C.①不正確，②正確 D.①與②都不正確【正確答案】B【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，舉例判斷即可.【詳解】①任意的，當(dāng)時，，，滿足，故①正確；②當(dāng)時，，，則不存在，使得等式成立，故②不正確.故選：B.三、解答題（本大題滿分78分）17.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，成公差不為零的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列中最大項(xiàng)與最小項(xiàng).【正確答案】（1）（2）最大項(xiàng)4，最小項(xiàng)2【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)列出方程求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列的求和公式求出，分類討論即可得出最大項(xiàng)與最小項(xiàng).【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成公差不為零的等差數(shù)列，可知，即，解得或（舍去），所以.【小問2詳解】，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有最大值，且；當(dāng)為偶數(shù)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時有最小值，且；綜上，可知有最大值，最小值.18.一種每張售價20元的即開型體彩，俗稱“刮刮卡”，每1000張中，獎金的金額（單位：元）及張數(shù)如下表：獎金204060801002005001000張數(shù)10050201510521（1）小明花20元錢買了一張，刮開后有獎的概率是多少？（2）這種體彩一年的銷量約為10億張，平均每張印制、發(fā)行及銷售環(huán)節(jié)的成本0.1元，體彩發(fā)行公司一年約可募集到多少億元用于發(fā)展體育事業(yè)？【正確答案】（1）0.203；（2）95億元.【分析】（1）求出1000張“刮刮卡”中有獎金的張數(shù)，再利用古典概率計(jì)算即可.（2）求出每銷售一張可募集的資金，再利用期望的性質(zhì)計(jì)算得解.【小問1詳解】由數(shù)表知，1000張“刮刮卡”中，有獎金的張數(shù)是，所以小明花20元錢買了一張，刮開后有獎的概率是.【小問2詳解】購買一張“刮刮卡”中獎獎金的平均值為：（元），而一張“刮刮卡”的成本為0.1元，因此銷售一張“刮刮卡”可募集（元），于是銷售10億張可募集（億元），所以體彩發(fā)行公司一年約可募集到95億元用于發(fā)展體育事業(yè)19.如圖所示，已知圓錐體積為，軸截面的面積為6，、為底面圓周上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)是底面半徑的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面圓的弦的上的點(diǎn).（1）求圓錐的底面半徑和高；（2）若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，求直線與直線所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）；（3）是否存在這樣的點(diǎn)，使得平面與平面垂直，若存在，求的長，若不存在，說明理由.【正確答案】（1），；（2）（3）存在點(diǎn)，使得平面與平面垂直，的長為.【分析】（1）根據(jù)圓錐的體積公式，軸截面的面積公式，即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，即可求解；（3）由共線關(guān)系設(shè)，表示出平面和平面的法向量，由平面垂直得法向量垂直，即數(shù)量積等于零，求解的值即可.【小問1詳解】由軸截面的面積為6得，即，由圓錐體積為得，即，聯(lián)立，解得，，所以圓錐的底面半徑和高.【小問2詳解】由題意知平面，平面，平面，所以，，又，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系；所以O(shè)0,0,0，，，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，；所以，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角為.【小問3詳解】存點(diǎn)，使得平面與平面垂直.由（2）可知，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z所以，即，取，則，，，因?yàn)辄c(diǎn)是底面圓的弦的上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與A重合時，平面與平面不垂直，所以設(shè)，，則，所以點(diǎn)，所以，又，設(shè)平面的法向量，所以，即，取，則，，，若平面與平面垂直，則，即，解得；所以，又，所以，故存在點(diǎn)，使得平面與平面垂直，的長為.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)；（2）函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）求函數(shù)的值域.【正確答案】（1）或（2）（3）【分析】（1）解三角函數(shù)對應(yīng)方程即可得到解，再取區(qū)間內(nèi)的解即可；（2）由三角函數(shù)的對稱軸即是極值點(diǎn)，求得極值點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有且只有一個解得到不等式組，求得的取值范圍；（3）代入解析式并化簡，用換元法得到函數(shù)解析式，由導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，求出最值后得出值域.【小問1詳解】令，∴，∴或∵，∴或【小問2詳解】，∵，，∴，∴，∴.【小問3詳解】，令，，，，令g't=2?6∴函數(shù)增區(qū)間：；減區(qū)間：，∴，，∴，即函數(shù)的值域.21.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，直線：與曲線相切，若對一切恒成立，稱直線是函數(shù)的“下切線”；若對一切恒成立，稱直線是函數(shù)的“上切線”.（1）若，求其“上切線”的方程；（2）若存在直線，既是函數(shù)的“下切線”，也是函數(shù)的“上切線”，試求的取值范圍；（3）證明：對任意的，函數(shù)，既有“上切線”，也有“下切線”.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）設(shè)出直線，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)或當(dāng)時都不符合要求，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得解；（2）由題意可得、存在公切線，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可表示出與有關(guān)等式，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)后借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得解；（3）由，可取上斜率為的切線，則可設(shè)其切點(diǎn)為，從而表示出兩切線，再結(jié)合“上切線”與“下切線”定義，借助作差法研究函數(shù)與兩切線的差的正負(fù)即可得證.【小問1詳解】設(shè)直線：是的“上切線”，則有恒成立，令，則，即，若，則對任一確定的，都存在，使，若，則對任一確定的，都存在，使，故，令，解得，有，即此時的切線為，又，故，即的“上切線”的方程為；【小問2詳解】設(shè)該直線的方程為，其在上的切點(diǎn)為，在上的切點(diǎn)為，對，有，對，有，則，即，令，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故是函數(shù)的“下切線”；令，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故是函數(shù)的“上切線”；則有，即有