2-4-單擺(人教版2019版選擇性必修第一冊(cè))-(解析版)

2.4單擺學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．了解單擺的組成及單擺回復(fù)力的推導(dǎo)。2．理解單擺周期公式并能用于計(jì)算。重點(diǎn)：1．利用單擺實(shí)驗(yàn)探究單擺周期公式。2．會(huì)用單擺周期公式進(jìn)行分析、計(jì)算。難點(diǎn)：1．對(duì)單擺振動(dòng)回復(fù)力的分析和與單擺振動(dòng)周期有關(guān)的因素的理解。2．理解單擺這一理想化模型，并利用單擺模型分析問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)一、單擺1．單擺：在細(xì)線的一端拴一個(gè)小球，另一端固定在懸點(diǎn)上，如果線的質(zhì)量相對(duì)于球的質(zhì)量以及球的直徑相對(duì)于線長(zhǎng)可以忽略，這樣就形成單擺。單擺是一個(gè)理想化的模型。擺長(zhǎng)：擺長(zhǎng)指的是從懸點(diǎn)到擺球重心的距離。2．實(shí)際擺能看成單擺的條件：（1）擺線遠(yuǎn)長(zhǎng)于擺球直徑，即擺球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)；（2）擺球的質(zhì)量遠(yuǎn)大于擺線的質(zhì)量，即擺線的質(zhì)量為零；（3）擺長(zhǎng)遠(yuǎn)大于擺動(dòng)中擺線的伸長(zhǎng)量，即擺線不能伸縮，無(wú)彈性。（4）擺球所受空氣阻力遠(yuǎn)小于擺球重力及繩的拉力，可忽略不計(jì)。實(shí)際做成的單擺，懸線的伸縮越小，質(zhì)量越輕，小球的質(zhì)量越大，直徑與線長(zhǎng)相比可忽略，則越接近理想化的單擺。3．單擺的平衡位置：當(dāng)擺球靜止在平衡位置O點(diǎn)時(shí)，細(xì)線豎直下垂，擺球所受重力G和懸線的拉力F平衡，O點(diǎn)就是擺球的平衡位置?！绢}1】（多選）單擺是為研究振動(dòng)而抽象出的理想化模型，其理想化條件是A．?dāng)[線質(zhì)量不計(jì)B．?dāng)[線長(zhǎng)度不伸縮C．?dāng)[球的直徑比擺線長(zhǎng)度小得多D．只要是單擺的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)【答案】ABC【解析】單擺由擺線和擺球組成，擺線只計(jì)長(zhǎng)度不計(jì)質(zhì)量且擺線不伸縮，擺球直徑遠(yuǎn)小于擺線長(zhǎng)度，A、B、C項(xiàng)正確；把單擺的運(yùn)動(dòng)作為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)處理是有條件的，只有在偏角很?。é取?°）的情況下才能視單擺的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，D項(xiàng)錯(cuò)誤。知識(shí)點(diǎn)二、單擺的回復(fù)力1．單擺運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)（1）擺線以懸點(diǎn)為圓心做變速圓周運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只要速度v≠0，半徑方向都有向心力。（2）擺線同時(shí)以平衡位置為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只要不在平衡位置，軌跡的切線方向都有回復(fù)力。2．單擺的回復(fù)力—單擺受到的回復(fù)力F回=mgsinθ（1）擺球的受力①任意位置：如圖所示，G2＝Gcosθ，F(xiàn)－G2的作用就是提供擺球繞O′做變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；G1＝Gsinθ的作用是提供擺球以O(shè)為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力。②平衡位置：擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，G2＝G，G1＝0，此時(shí)F應(yīng)大于G，F(xiàn)－G提供向心力，因此，在平衡位置，回復(fù)力F回＝0，與G1＝0相符?！绢}2】（多選）下列關(guān)于單擺的說(shuō)法，正確的是A．單擺擺球從平衡位置運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處的位移為A（A為振幅），再運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的位移為零B．單擺擺球的回復(fù)力等于擺球所受的合力C．單擺擺球的回復(fù)力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力D．單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零思路點(diǎn)撥：解決該題的關(guān)鍵是要分清物體的受力、回復(fù)力、向心力之間的關(guān)系．【答案】AC【解析】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移是以平衡位置作為起點(diǎn)，擺球在正向最大位移處時(shí)位移為A，在平衡位置時(shí)位移應(yīng)為零，A正確；擺球的回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，合力在擺線方向的分力提供向心力，B錯(cuò)誤，C正確；擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)（擺動(dòng)的平衡位置）時(shí)回復(fù)力為零，但向心力不為零，所以合力不為零，加速度也不為零，D錯(cuò)誤。（3）單擺回復(fù)力來(lái)源：擺球的重力沿切線方向的分力F＝mgsinθ提供的。（4）單擺回復(fù)力特點(diǎn)：在偏角很小時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－eq\f(mg,l)x。如圖，雖然隨著單擺位移x增大，sinθ也增大，但是回復(fù)力F的大小并不是和位移成正比，單擺的振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。但是，在θ值較小的情況下（一般取θ≤10°），在誤差允許的范圍內(nèi)可以近似的認(rèn)為sinθ=，近似的有F=mgsinθ==kx（k=），又回復(fù)力的方向始終指向O點(diǎn)，與位移方向相反，滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，即物體在大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反的回復(fù)力作用下的振動(dòng)，為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。所以，當(dāng)θ≤10°時(shí)，在擺角很小的情況下，擺球所受的回復(fù)力跟位移大小成正比，方向始終指向平衡位置（即與位移方向相反），因此單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。3．單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：?jiǎn)螖[在偏角很小時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（擺角一般不超過(guò)5°），其振動(dòng)圖象遵循正弦函數(shù)規(guī)律?！咎貏e提醒】（1）單擺振動(dòng)的回復(fù)力為擺球重力沿圓弧切線方向的分力，回復(fù)力不是擺球所受的合外力。（2）單擺擺動(dòng)不一定都是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只有單擺做小角度（擺角小于5°）擺動(dòng)時(shí)才認(rèn)為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?！绢}3】關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是A．?dāng)[球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置B．?dāng)[球受到的回復(fù)力是它的合力C．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受的合力為零D．?dāng)[角很小時(shí)，擺球受的合力的大小跟擺球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰拼笮〕烧取敬鸢浮緼【解析】單擺回復(fù)力不是它的合力，而是重力沿圓弧方向的分力；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但合力不為零，因?yàn)樾∏蜻€有向心力，方向指向懸點(diǎn)，即指向圓心；另外擺球所受的合力與位移大小不成正比?！绢}4】關(guān)于做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合力為零B．?dāng)[球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比C．只有在最高點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力才等于重力和擺線拉力的合力D．?dāng)[球在任意位置處，回復(fù)力都不等于重力和擺線拉力的合力【答案】C【解析】擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)平衡位置，合力不為零，合力提供向心力，方向指向懸點(diǎn)，A錯(cuò)誤；擺球所受回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，重力沿?cái)[線方向的分力與擺線對(duì)擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小不成正比，B錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時(shí)，速度為零，向心加速度為零，重力沿?cái)[線方向的分力等于擺線對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力才等于重力和擺線拉力的合力，在其他位置時(shí)，速度不為零，向心加速度不為零，重力沿?cái)[線方向的分力小于擺線對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力不等于重力和擺線拉力的合力，故C正確，D錯(cuò)誤。知識(shí)點(diǎn)三、單擺的周期1．探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長(zhǎng)對(duì)周期的影響（1）探究方法：控制變量法法。（2）實(shí)驗(yàn)結(jié)論：①單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)。②振幅較小時(shí)周期與振幅無(wú)關(guān)。③擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期大；擺長(zhǎng)越短，周期小。2．定量探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系（1）周期測(cè)量：用停表測(cè)出單擺N（30～50）次全振動(dòng)的時(shí)間t，利用T＝eq\f(t,N)計(jì)算它的周期。（2）擺長(zhǎng)測(cè)量：用刻度尺測(cè)出細(xì)線長(zhǎng)度l0，用游標(biāo)卡尺測(cè)出小球直徑D，利用l＝l0＋eq\f(D,2)求出擺長(zhǎng)。（3）數(shù)據(jù)處理：改變擺長(zhǎng)，測(cè)量不同擺長(zhǎng)及對(duì)應(yīng)周期，作出T－l，T－l2或T－eq\r(l)圖象，得出結(jié)論。3．周期公式（1）公式的提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。（2）公式：T＝2π，即T與擺長(zhǎng)l的二次方根成_正比，與重力加速度g的二次方根成反比。（3）應(yīng)用——測(cè)重力加速度：由T＝2π得g＝eq\f(4π2l,T2)，即只要測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)l和周期T，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?．對(duì)單擺周期公式的理解：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期與振幅和質(zhì)量無(wú)關(guān)，只決定于擺長(zhǎng)與該處的重力加速度g，T＝2π。擺長(zhǎng)、重力加速度都一定時(shí)，周期和頻率也一定，通常稱為單擺的固有周期和固有頻率。（1）等效擺長(zhǎng)：①實(shí)際的單擺擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長(zhǎng)應(yīng)是從懸點(diǎn)到擺球球心的長(zhǎng)度，即l＝L＋eq\f(d,2)，L為擺線長(zhǎng)，d為擺球直徑。②圖a中甲、乙在垂直紙面方向擺動(dòng)起來(lái)效果是相同的，所以甲擺的擺長(zhǎng)為l·sina，這就是等效擺長(zhǎng)，其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。圖b中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，與丙等效。（2）等效重力加速度g①g由單擺所在的空間位置決定。由g＝知，g隨所在地球表面的位置和高度的變化而變化，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。②g還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定，如單擺處在向上加速升降機(jī)中，設(shè)加速度為a，則重力加速度等效值g′＝g＋a；若升降機(jī)加速下降，則重力加速度的等效值g′＝g－a。（3）思路：①找平衡位置（相對(duì)靜止位置）；②受力分析，求相對(duì)靜止時(shí)細(xì)線的拉力F；③求等效重力加速度；④周期：?！绢}5】一個(gè)單擺的擺長(zhǎng)為l，在其懸點(diǎn)O的正下方0.19l處有一釘子P，如圖，現(xiàn)將擺球向左拉開(kāi)到A，使擺線偏角θ<5°，放手后使其擺動(dòng)，擺動(dòng)到B的過(guò)程中擺角也小于5°，求出單擺的振動(dòng)周期。【答案】1.9πeq\r(\f(l,g))【解析】釋放后擺球到達(dá)右邊最高點(diǎn)B處，由機(jī)械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的擺長(zhǎng)有所變化，它的周期為兩個(gè)不同單擺的半周期的和。小球在左邊的周期為T1＝2πeq\r(\f(l,g))小球在右邊的周期為T2＝2πeq\r(\f(0.81l,g))則整個(gè)單擺的周期為T＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(0.81l,g))＝1.9πeq\r(\f(l,g))【題6】如圖所示，單擺甲放在空氣中，周期為T甲；單擺乙放在以加速度a向下加速的電梯中，周期為T乙；單擺丙帶正電，放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，周期為T丙；單擺丁帶正電，放在勻強(qiáng)電場(chǎng)E中，周期為T丁，那么A．T甲>T乙>T丁>T丙B．T乙>T甲＝T丙>T丁C．T丙>T甲>T丁>T乙D．T丁>T甲＝T丙>T乙【答案】B【解析】對(duì)甲擺：T甲＝2πeq\r(\f(l,g))對(duì)乙擺：T乙＝2πeq\r(\f(l,g－a))對(duì)丙擺：由于擺動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力總是垂