高等數(shù)學課件-D111對弧長曲線積分培訓講學

第十一章積分學定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間平面域空間域曲線積分曲線弧曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分第十一章1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件如果L是xOy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負.1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件3.性質(zhì)（

,

為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件點設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為對應(yīng)參數(shù)為則1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.因此1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件例1.

計算其中L是拋物線與點B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件例2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:建立坐標系如圖,則1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件例3.計算其中L為雙紐線解:在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件例4.計算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件例5.計算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件思考:例5中

改為計算解:

令,則圓

的形心在原點,故,如何利用形心公式1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件例6.計算其中

為球面解:化為參數(shù)方程則1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

的長度)1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件思考與練習1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)求它的質(zhì)心.解:設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件故重心坐標為作業(yè)P1883(3),(4),(6),(7)5第二節(jié)1/10/2025同濟版高等數(shù)學課件備用題1.設(shè)C是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:分段積分1/10/2025同濟