銀川一中2024屆高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

第20頁/共20頁銀川一中2024屆高三年級第五次月考文科數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已集合，集合，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的結(jié)果列式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，集合，，所?故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由虛數(shù)單位的乘方的性質(zhì)結(jié)合除法運(yùn)算可得，進(jìn)而可得共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以可化所以，所?故選：C.3.關(guān)于橢圓，以下說法正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.離心率為 D.左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷.詳解】橢圓中，，故長軸長為，焦距，離心率為，左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，故只有B正確.故選：B4.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體初始溫度為，空氣的溫度為，那么小時(shí)后物體的溫度可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的冷卻系數(shù).現(xiàn)有、兩個(gè)物體放在空氣中冷卻，已知兩物體的初始溫度相同，冷卻小時(shí)后，、兩個(gè)物體的溫度分別為、，假設(shè)、兩個(gè)物體的冷卻系數(shù)分別為、，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得出，變形可得，兩式相除變形后可得合適的選項(xiàng).【詳解】由題意可得，則，兩式相除可得，所以，，即.故選：A.5.若拋物線的焦點(diǎn)也是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到方程，解得即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線可化簡為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，即，解得，則此拋物線的方程為.故選：B6.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖還原幾何體可知，該幾何體為一個(gè)大圓柱減去半個(gè)小圓柱，根據(jù)數(shù)據(jù)可計(jì)算出幾何體體積.【詳解】由三視圖還原幾何體可知，該幾何體為一個(gè)大圓柱減去半個(gè)小圓柱，如圖：故該幾何體體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，考查了圓柱的體積公式，考查了學(xué)生的直觀想象能力.屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊點(diǎn)可排除D，即可求解【詳解】由于圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，對于B：由，得：，為偶函數(shù)，故可排除B；對于C：由，得：，為偶函數(shù)，故可排除C；由圖知圖象不經(jīng)過點(diǎn)，而對于D：，故可排除D；故選：A8.已知不等式對恒成立，則m的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，令求解.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄愠闪?，所以不等式對恒成立，令，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，解得，所以m的最小值為，故選：D9.如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱，連接，則（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱，由題易得底面為菱形，且為等邊三角形.連接，易得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.設(shè)1，則，所以.故選：D.10.拋物線：（）的頂點(diǎn)為，斜率為1的直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若的面積為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直線方程為，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出和點(diǎn)到直線的距離，從而表達(dá)出，列出方程，求出，得到準(zhǔn)線方程.【詳解】由題意得，直線方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，則，故，點(diǎn)到直線的距離為，故，故，解得，故該拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A11.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換并由正弦定理即可求得，再由面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?由正弦定理可得，即.故的面積為.故選：A12.已知為雙曲線左支上的一點(diǎn)，雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，直線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，直線、的斜率為、，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，利用圓的幾何性質(zhì)可得，由，即可得出的值，由此可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，即有，①由、以及以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)可知，所以，又，，所以，，由題意知，所以，②由①和②得，由得．故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則________【答案】0【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】∵，，∴，∴.故答案為：0.14.已知，，則_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，化簡求得，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由兩角差的正切公式，可得，解得，可得，即又由，聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)?，所?故答案為：.15.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為__________．【答案】14【解析】【分析】首先畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形根據(jù)其幾何意義即可求得當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值為.【詳解】根據(jù)題意畫出滿足約束條件的可行域如下圖中著色部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，若取得最大值，即直線在軸上的截距取得最小值，將平移到過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)有最大值為.故答案為：16.三棱錐的外接球的表面積為，AD是該球的直徑，是邊長為的正三角形，則三棱錐的體積為______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)球的表面積公式求球的半徑，再根據(jù)正弦定理求的外接圓半徑，根據(jù)球的性質(zhì)求，進(jìn)而可得三棱錐的體積.【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的球心為O,半徑為R，則，解得，設(shè)外接圓圓心為，半徑為，則，連接，∵，即，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為2，∴三棱錐的體積.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.求符合下列條件的曲線方程：（1）求過，，三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與雙曲線有共同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線方程；（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸且過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)求圓的方程即可；（2）根據(jù)共漸近線方程的特點(diǎn)設(shè)方程為，代入點(diǎn)求解；（3）設(shè)出拋物線方程，代入點(diǎn)求解.【小問1詳解】設(shè)所求圓的方程為：，，由圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，∴，解得：則所求圓的方程為：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】雙曲線與有共同雙曲線，可設(shè)為，如圖，由所求雙曲線過點(diǎn)，則，故雙曲線方程為，即；【小問3詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，如圖，所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.又點(diǎn)在拋物線上，所以，，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.18.設(shè)等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和，若，求的值.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）設(shè)公差為，根據(jù)題意列方程組，即可求解；（2)由（1）得出，然后由，即可求解.【小問1詳解】設(shè)的公差為，則，解得：，故：.【小問2詳解】由（1）可知：，因?yàn)椋?，所以：，整理得：，解得?故：的值為.19.如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，平面平面分別為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若三棱柱的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線得線線平行，進(jìn)而可證平行四邊形，由線面平行的判斷定理即可求證.（2）根據(jù)面面垂直可得線面垂直，利用體積公式可求解,進(jìn)而根據(jù)等體積法即可求解.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭堑冗吶切?，所?又平面平面，且平面平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，平?所以平面.所以，得.因?yàn)槠矫?，所?在Rt和Rt中，由勾股定理可得，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得.所以點(diǎn)到平面的距離為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（2）若在區(qū)間內(nèi)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，無極大（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分與討論，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由得，且定義域?yàn)椤?，令，即，解得，令，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；在處的極小值為，無極大值.【小問2詳解】當(dāng)，恒成立，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由（1）得在上最小值為，若在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足，整理得.21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且斜率不為零的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)及焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量關(guān)系建立方程求出得解；（2）根據(jù)條件可轉(zhuǎn)化為，再由根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡即可得解.【小問1詳解】由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.【小問2詳解】如圖，由橢圓右焦點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，設(shè)，，且，，設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以直線和關(guān)于軸對稱，其傾斜角互補(bǔ)，即有，則，所以，所以，整理得，即，即，解得，符合題意，即存點(diǎn)滿足題意.（二）選考題（共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做.則按所做的第一題記分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)為的傾斜角，且，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)恰為線段的三等分點(diǎn)，求【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）化簡曲線的極坐標(biāo)方程為，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解；（2）把直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，求得，設(shè)，得到，化簡得，即可求解.【詳解】（1）由曲線的極坐標(biāo)方程為，可得，又由，代入可得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）把直線參數(shù)方程為參數(shù)，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得,設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，得，因?yàn)辄c(diǎn)恰為線段