中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題06 函數(shù)與三角形存在性問(wèn)題（解析版）

題型六函數(shù)與三角形存在性問(wèn)題【要點(diǎn)提煉】【等腰三角形存在性】在坐標(biāo)系中有AB兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在點(diǎn)C，使▲ABC是等腰三角形①畫(huà)出點(diǎn)C可能存在的所有位置：就是我們經(jīng)常講的兩圓一線兩圓：以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓；以B為圓心，AB為半徑畫(huà)圓一線：AB的垂直平分線如圖，兩圓一線上所有的點(diǎn)都能與A、B兩點(diǎn)形成等腰三角形，共有如圖五個(gè)點(diǎn)C②代數(shù)法設(shè)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表示出三角形三邊的長(zhǎng)，然后列方程AB=BC；BC=AC；AB=AC【直角三角形存在性】在坐標(biāo)系中有AB兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在點(diǎn)C，使▲ABC是直角三角形①畫(huà)出點(diǎn)C可能存在的所有位置：兩線一圓兩線：分別以A、B為垂足，做AB的垂線一圓：以AB為直徑畫(huà)圓如圖，兩線一圓上所有的點(diǎn)都能與A、B兩點(diǎn)形成直角三角形，共有如圖四個(gè)點(diǎn)C②代數(shù)法設(shè)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表示出三角形三邊的長(zhǎng)，然后列方程【等腰直角三角形存在性】在坐標(biāo)系中有AB兩點(diǎn)，則在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)C，使▲ABC是等腰直角三角形①畫(huà)出點(diǎn)C可能存在的所有位置：如圖，固定會(huì)有六個(gè)答案點(diǎn)C②代數(shù)法在等腰Rt▲ABC外做出K型全等，如圖，▲ADB全等于▲B(niǎo)EC，設(shè)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出AD、B、BE、EC的長(zhǎng)，列出方程AD=BE；DB=EC【專題訓(xùn)練】一．填空題（共1小題）1．（2020?無(wú)錫）二次函數(shù)y＝ax2﹣3ax+3的圖象過(guò)點(diǎn)A（6，0），且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M在該拋物線的對(duì)稱軸上，若△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（32，﹣9）或（32【答案】（32，﹣9）或（3【解析】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為x=?1設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（32，m當(dāng)∠ABM＝90°，過(guò)B作BD垂直對(duì)稱軸于D，則∠1＝∠2，∴tan∠2＝tan∠1=6∴DMBD∴DM＝3，∴M（32當(dāng)∠M′AB＝90°時(shí)，∴tan∠3=M′NAN=∴M′N＝9，∴M′（32綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（32，﹣9）或（3故答案為：（32，﹣9）或（3二．解答題（共5小題）2．（2019?白銀）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？【解析】解：（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a=?1則拋物線的表達(dá)式為y=?13x2+（2）存在，理由：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），則AC=32+42=5，AB＝4﹣（﹣3）＝7，BC＝4設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入解得：4k+b=0b=4，解得k=?1∴y＝﹣x+4…①，設(shè)直線AC的解析式為y＝k′x+b′，則有?3k+b′=0b′=4解得k′=∴直線AC的表達(dá)式為：y=43設(shè)線段AC的中點(diǎn)為K（?32，2），過(guò)點(diǎn)M與CA垂直，直線的表達(dá)式中的k值為同理可得過(guò)點(diǎn)K與直線AC垂直，直線的表達(dá)式為：y=?34x+①當(dāng)AC＝AQ時(shí)，如圖1，則AC＝AQ＝5，設(shè)：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4，∵點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)，∴n＝3故點(diǎn)Q（1，3）；②當(dāng)AC＝CQ時(shí)，如圖1，CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝42?則QM＝MB=8?5故點(diǎn)Q（522，③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，聯(lián)立①②并解得：x=25故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（522，（3）設(shè)點(diǎn)P（m，?13m2+13m+4），則點(diǎn)Q（∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，∴PN＝PQsin∠PQN=22（?13m2+13m+4+m﹣4）=?∵?26＜當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為：223．（2019?樂(lè)陵市模擬）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．【解析】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，1+b+c=0c=3解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝32，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP＝CB時(shí)，PC＝32，∴OP＝OC+PC＝3+32或OP＝PC﹣OC＝32?∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②當(dāng)BP＝BC時(shí)，OP＝OC＝3，∴P3（0，﹣3）；③當(dāng)PB＝PC時(shí)，∵OC＝OB＝3∴此時(shí)P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)A運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t即當(dāng)M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）時(shí)△MNB面積最大，最大面積是1．4．（2018?資陽(yáng)）已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】解：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（6，0）、C（﹣2，0），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣6）（x+2），將點(diǎn)A（0，6）代入，得：﹣12a＝6，解得：a=?1所以拋物線解析式為y=?12（x﹣6）（x+2）=?12x（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得：b=66k+b=0解得：k=?1b=6則直線AB解析式為y＝﹣x+6，設(shè)P（t，?12t2+2t+6）其中0＜則N（t，﹣t+6），∴PN＝PM﹣MN=?12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=?12t2+2t+6+t﹣6=?1∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN=12PN?AG+1=12PN?（AG+=12PN=12×（?12=?32t2=?32（t﹣3）2∴當(dāng)t＝3時(shí)，P位于（3，152）時(shí)，△PAB方法二：如圖2，連接OP，作PH⊥x軸于點(diǎn)H，作PG⊥y軸于點(diǎn)G，設(shè)P（t，?12t2+2t+6）其中0＜則PH=?12t2+2t+6，PG＝S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△ABO=12×6×t+12×6×（?1=?32t2=?32（t﹣3）2∴當(dāng)t＝3時(shí)，即P位于（3，152）時(shí)，△PAB（3）如圖3，若△PDE為等腰直角三角形，則PD＝PE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為b，∴PD=?12a2+2a+6﹣（﹣a+6）=?12a2+3則b＝4﹣a，∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，∴?12a2+3a＝2|2﹣解得：a＝4或a＝5?17所以P（4，6）或P（5?17，3175．（2018?蘭州）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（5，﹣4）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，AC，BC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求證：AB平分∠CAO；（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）將A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：9a?3b?4=025a+5b?4=?4解得：a=16，b∴拋物線的解析式為y=16x2?（2）∵AO＝3，OC＝4，∴AC＝5．取D（2，0），則AD＝AC＝5．由兩點(diǎn)間的距離公式可知BD=(5?2∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），∴BC＝5．∴BD＝BC．在△ABC和△ABD中，AD＝AC，AB＝AB，BD＝BC，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB＝∠BAD，∴AB平分∠CAO；證法二：∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），∴BC∥x軸，∴∠BAD＝∠ABC，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC，∴∠CAB＝∠BAD，∴AB平分∠CAO．（3）如圖所示：拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F．拋物線的對(duì)稱軸為x=52，則AE∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），∴tan∠EAB=1∵∠M′AB＝90°．∴tan∠M′AE＝2．∴M′E＝2AE＝11，∴M′（52同理：tan∠MBF＝2．又∵BF=5∴FM＝5，∴M（52∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（52，11）或（56．（2016?白銀）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【解析】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)，∴?9+3b+c=0c=3∴b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n，∵A（3，0），B（0，3）∴3k+n=0n=3∴k=?1n=3∴y＝﹣x+3；（2）由運(yùn)動(dòng)得，OE＝t，AF=2t∵OA＝3，∴AE＝OA﹣OE＝3﹣t，∵△AEF和△AOB為直角三角形，且∠EAF＝∠OAB，①如圖1，當(dāng)△AOB∽△AEF時(shí)，∴AFAB∴2t∴t=3②如圖2，當(dāng)△AOB∽△AFE時(shí)，∴OAAF∴32∴t＝1；（3）如圖，存在，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于C，∵直線AB解析式為y＝﹣x+3，∴設(shè)直線PC解析式為y＝﹣x+b，聯(lián)立y=?x+by=?∴﹣x+b＝﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3＝0∴△＝9﹣4（b﹣3）＝0∴b=21