中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題09 中點(diǎn)模型（原卷版）

題型九中點(diǎn)模型【要點(diǎn)提煉】在中考中考察幾何時(shí)，不論簡(jiǎn)單的題目還是較難的題目，都會(huì)經(jīng)常見到中點(diǎn)的身影，當(dāng)題目中提到中點(diǎn)時(shí)，往往可以用以下模型來(lái)解決問(wèn)題，將這些模型牢記于心，就可以打開思路【倍長(zhǎng)中線或倍長(zhǎng)類中線】圖1圖2①倍長(zhǎng)中線：如圖1，在▲ABC中，AD是BC邊上的中線，此時(shí)我們可以將AD延長(zhǎng)一倍，即使DE=AD，并連接CE，即可證明出▲ABD≌▲CDE②倍長(zhǎng)類中線（即過(guò)中點(diǎn)的其他線段）：如圖2，在▲ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，此時(shí)我們可以將ED延長(zhǎng)一倍，即使DF=DE，并連接CF，即可證明出▲BED≌▲CDF【等腰三角形與中點(diǎn)】在題目的題干中同時(shí)出現(xiàn)“等腰”和“中點(diǎn)”字樣時(shí)，我們就可以做出如圖中AD一樣的中線作為輔助線，此時(shí)由于等腰三角形有三線合一的性質(zhì)，即可得出AD⊥BC，AD平分∠BAC的結(jié)論直角三角形與中點(diǎn)在題目的題干中同時(shí)出現(xiàn)“直角”和“中點(diǎn)”字樣時(shí)，我們就可以做出如圖中CD一樣的中線作為輔助線，此時(shí)由于直角三角形有斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，可得出的結(jié)論多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造中位線如圖，在四邊形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，此時(shí)在題目中提到了兩個(gè)中點(diǎn)，是多個(gè)中點(diǎn)的情況，我們就會(huì)聯(lián)想到中位線這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可是圖中沒(méi)有已知的三角形和中位線，那就需要構(gòu)造三角形和中位線作法：連接BD（構(gòu)造▲BCD和▲ABD，取BD的中點(diǎn)為G，連接GN即為▲BCD的中位線，連接MG即為▲ABD的中位線【專題訓(xùn)練】一．選擇題（共5小題）1．（2020?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD⊥CE于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別OB，OC的中點(diǎn)，若OB＝8，OC＝6，則四邊形DEMN的周長(zhǎng)是（）A．14 B．20 C．22 D．282．（2020?南通）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A．6 B．22 C．23 D．323．（2020?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接BF．若AC＝8，BC＝6，則BF的長(zhǎng)為（）A．2 B．2.5 C．3 D．44．（2019?銅仁市）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）A．12 B．14 C．24 D．215．（2019?黃石）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（）A．125° B．145° C．175° D．190°二．解答題（共6小題）6．（2020?天水）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長(zhǎng)度之比為．理解運(yùn)用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長(zhǎng)為4+23，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點(diǎn)M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長(zhǎng)．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為．（用含α的式子表示）7．（2020?泰安）若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如圖（1），點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，判定四邊形BEAC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖（2），若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF＝CD．求證：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．8．（2020?泰安）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長(zhǎng)．9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長(zhǎng)CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長(zhǎng)．（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連接AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長(zhǎng)．11．（2019?沈陽(yáng)）思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接BC，取BC的中點(diǎn)P（點(diǎn)P可以直接到達(dá)A點(diǎn)），利用工具過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得CD＝200米，那么A，B間的距離是米．思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊上時(shí)△ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，連