2021-2022學(xué)年上海市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022學(xué)年上海市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含解析2021-2022學(xué)年上海市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．已知實(shí)數(shù)集合，，若，則________．2．已知函數(shù)（a>0且a≠1）過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角的終邊上，則___________.3．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則______．4．方程的解是___________．5．若關(guān)于的方程有負(fù)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________6．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到新函數(shù)的圖象，則新函數(shù)的表達(dá)式為______.7．在如今這個5G時代，6G研究己方興末艾，2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦，會上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達(dá)到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道寬帶，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．若不改變寬帶，而將信噪比從11提升至499，則最大信息傳遞率會提升到原來的_________倍．（結(jié)果保留一位小數(shù)）8．已知集合，若集合滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍____________.9．已知，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．10．設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，且，則該數(shù)列的各項(xiàng)和的最小值為__________．11．已知a為奇數(shù)且，則關(guān)于x的不等式的解集為___________．12．設(shè)，若，則的取值范圍為___________．二、單選題13．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（?）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件14．2020年9月我校正式成為市爭創(chuàng)特色學(xué)校的項(xiàng)目學(xué)校（“非遺文創(chuàng)”特色），其中“江南傳統(tǒng)民居木作技藝”是一項(xiàng)非遺保護(hù)項(xiàng)目，現(xiàn)有木料形狀圖如下，那么旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)的圖像的是（?）A．B．C．D．15．給出下列六個命題：（1）若，則函數(shù)的圖像關(guān)于對稱．（2）函數(shù)與在區(qū)間上都是增函數(shù)．（3）的反函數(shù)是（4）無最大值也無最小值.（5）的周期為.（6）有對稱軸兩條，對稱中心三個.則正確題個數(shù)是A．1B．2C．3D．416．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，則（?）A．A?BB．C．A∩B＝D．A∪B＝R三、解答題17．已知集合，集合.(1)當(dāng)a=1時，求，；(2)設(shè)a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)方程在內(nèi)有兩個相異的實(shí)數(shù)根、，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及的值；（3）若對任意實(shí)數(shù)x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為．（空閑率為空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)求魚群年增長量的最大值；(3)若對于任意定義域內(nèi)的實(shí)數(shù)x，明年漁場中的魚群也不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，求比例系數(shù)k的取值范圍．20．已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在，使得成立．（1）函數(shù)是否屬于集合？說明理由；（2）設(shè)函數(shù)求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，證明：函數(shù)，并求出對應(yīng)的（結(jié)果用表示出來）．21．設(shè)且，有限集合，其中，若對任意（），都有，則稱集合為“含差集合”.（1）分別判斷集合和集合是否是“含差集合”，并說明理由；（2）已知集合，集合，若集合C是“含差集合”，試判斷集合與集合的關(guān)系，并加以證明.參考答案：1．-1【分析】先根據(jù)集合中元素的互異性，求出x、y，代入即可求解.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，在集合B中，由元素的互異性，可得：x+y≠|(zhì)x|≠0，解得x≠0，x≠-y，因?yàn)锳=B，所以集合A中只能=0，即y=0.此時A={x，0，1}，B={|x|，x，0}，則有|x|=1，且|x|≠x，所以x=-1.所以-1-0=-1.故答案為：-1.2．【分析】先求出定點(diǎn)P，再根據(jù)三角函數(shù)定義求解.【詳解】由題可得定點(diǎn)P，點(diǎn)P在角的終邊上，由三角函數(shù)定義可知：，故答案為：.3．##【分析】根據(jù)給定條件利用函數(shù)奇偶性定義直接計(jì)算作答.【詳解】因函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以.故答案為：4．【分析】利用指對數(shù)的關(guān)系，解對數(shù)方程即可.【詳解】由題意，知：，解得.故答案為：5．【分析】設(shè)方程有負(fù)實(shí)根為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】設(shè)關(guān)于的方程有負(fù)實(shí)根為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.6．【分析】利用函數(shù)的圖象變換可得出新函數(shù)的解析式.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到新函數(shù)的圖象，則新函數(shù)的表達(dá)式為.故答案為：.7．2.5##【分析】設(shè)提升前最大信息傳遞率為，提升后最大信息傳遞率為，再根據(jù)題意求，利用指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求解.【詳解】設(shè)提升前最大信息傳遞率為，提升后最大信息傳遞率為，則由題意可知，，，所以倍.所以最大信息傳遞率C會提升到原來的倍.故答案為：2.58．[2,＋)【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)軸即可求解.【詳解】∵≠?，，∴A與B的關(guān)系如圖：∴a≥2.故答案為：[2，＋).9．【分析】由基本不等式求得的最小值，解不等式可得的范圍．【詳解】∵，，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴的最小值為8，由解得，故答案為：．10．【分析】先寫出無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的表達(dá)式，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】是公比為的無窮等比數(shù)列，數(shù)列的各項(xiàng)和為，其中，又且，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，數(shù)列的各項(xiàng)和的最小值為.故答案為：11．或【分析】討論、、分別求對應(yīng)解集，最后取并即得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，又a為奇數(shù)且，則，當(dāng)時，，，則不滿足題設(shè)；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，不等式等價于，若時，，即與題設(shè)矛盾；若時，，滿足；綜上，不等式解集為或.故答案為：或12．【分析】利用絕對值三角不等式可得，即，，利用中與有公共點(diǎn)，討論或、研究m的范圍即可.【詳解】，當(dāng)時等號成立，，當(dāng)時等號成立，所以，而，故，此時，，令中，與所表示的區(qū)域有公共點(diǎn)，當(dāng)或時，而，故滿足；當(dāng)時，由得：，而，若時，此時，故；若時，此時，故；綜上，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用絕對值三角不等式得確定x、y的范圍，再將問題轉(zhuǎn)化為中與有公共點(diǎn)求m的范圍即可.13．D【分析】先求出方程表示的曲線為橢圓的充要條件，然后根據(jù)充分條件，必要條件的定義來判斷．【詳解】∵方程表示的曲線為橢圓，化成橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式∴，即或；故“”推不出“方程表示的曲線為橢圓”，充分性不成立；“方程表示的曲線為橢圓”也推不出“”，必要性不成立；即“”是“方程表示的曲線為橢圓”的非充分非必要條件．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，熟記橢圓的方程的特點(diǎn)，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.14．C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷．【詳解】把它們放到坐標(biāo)平面上，只有旋轉(zhuǎn)后可以形成對于可取范圍的任一有唯一的與之對應(yīng)，因此旋轉(zhuǎn)后可以看作函數(shù)的圖象．故選：C．15．A【分析】（1）由對稱軸公式得解；（2）求出兩個函數(shù)的單調(diào)性得解；（3）可以采用特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證；（4）時，有最大值；（5）化為，周期可求；（6）注意定義域，可結(jié)合圖象進(jìn)行判斷．【詳解】（1），則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以命題正確；（2）函數(shù)在區(qū)間上不是增函數(shù)，是先減后增，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以該命題錯誤；（3）取，，，，所以命題錯誤；（4），時，有最大值，所以命題錯誤；（5）原函數(shù)可化為，周期為，所以命題錯誤；（6）受的影響，，沒有對稱軸，只有一個對稱中心，所以命題錯誤．故選．【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)和具體函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，問題綜合性強(qiáng).16．D【分析】先求解集合中不等式，計(jì)算，依次判斷即可【詳解】由題意，或由和不存在包含關(guān)系，故選：D17．(1)，；(2).【分析】(1)化簡集合A，B，再利用交集、并集的定義直接計(jì)算得解.(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件可得集合BA，再利用集合的包含關(guān)系列出不等式組求解即得.（1）當(dāng)a=1時，，，所以，.（2）因?yàn)閍>0，則，由(1)知，，因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，于是得BA，則有，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18．（1），；（2），；（3）．【分析】（1）利用二倍角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得，令，依題意在內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根據(jù)，即或在內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，再根據(jù)的取值范圍，可判斷，即可求出的取值范圍，再根據(jù)對稱性求出；（3）依題意恒成立，令，則在上恒成立，對分類討論，再參變分離，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解；【詳解】解：（1）當(dāng)時，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）令，則，令，則，即，即或，當(dāng)時，，所以有兩個相異的實(shí)數(shù)根、，所以，解得，即，且，所以，所以；（3）由（2）可知，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，令，則，則在上恒成立；當(dāng)時，顯然恒成立；當(dāng)時恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以；當(dāng)時恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以；綜上可得19．(1)，定義域?yàn)椋?2)(3)【分析】（1）先表達(dá)出空閑率，進(jìn)而寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，配方求出最大值；（3）結(jié)合題意與第二問，得到不等式，求出k的取值范圍.(1)由題意得：空閑率為，所以，定義域?yàn)椋?2)由（1）得：，因?yàn)?，，所以?dāng)時，取得最大值，，故魚群年增長量的最大值為(3)由題意得：，結(jié)合第二問可知：，又因?yàn)?，解得：，又因?yàn)?，故比例系?shù)k的取值范圍是.20．（1），答案見解析；（2）；（3）證明見解析；．【分析】（1）集合M中元素的性質(zhì)，即有成立，代入函數(shù)解析式列出方程，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)和對數(shù)的運(yùn)算，求出關(guān)于a的方程，再根據(jù)方程有解的條件求出a的取值范圍，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時，考慮是否為零的情況；（3）利用和，整理出關(guān)于的式子，利用圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即對應(yīng)方程有根，與求出的式子進(jìn)行比較和證明.【詳解】（1）若在定義域內(nèi)存在，則方程無解，所以（2）由題意得當(dāng)時，；當(dāng)時，由，得，解的綜上，；（3）函數(shù)又函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)且橫坐標(biāo)為則，其中即．【點(diǎn)睛】此題的集合中的元素是集合，主要利用了元素滿足的恒等式進(jìn)行求解，根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的元素性質(zhì)進(jìn)行化簡，考查了邏輯思維能力和分析、解決問題的能力.21．（1）A是，B不是；（2），證明見解析.【分析】（1）根據(jù)含差集合的定義判斷即可；（2）根據(jù)“含差集合”的定義，可求出集合，再與集合比較即可.【詳解】