無套利分析方法

第三章無套利分析方法第一節(jié)MM定理一、傳統(tǒng)資本結(jié)構(gòu)理論資本結(jié)構(gòu)指企業(yè)各種長期資金來源的構(gòu)成和比例關(guān)系，通常長期資金來源包括長期債務(wù)資本和股權(quán)資本，因此資本結(jié)構(gòu)通常是指企業(yè)長期債務(wù)資本與股權(quán)資本的構(gòu)成比例關(guān)系。（一）凈收益理論凈收益理論認(rèn)為，利用債務(wù)可以降低企業(yè)的加權(quán)平均資本成本。負(fù)債程度越高，加權(quán)平均資本成本就越低，企業(yè)價(jià)值就越大。（二）營業(yè)凈收益理論營業(yè)凈收益理論認(rèn)為，企業(yè)增加成本較低的債務(wù)資本的同時(shí)，企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)也增加了，這會(huì)導(dǎo)致股權(quán)資本成本的提高,一升一降，企業(yè)的加權(quán)平均資本成本沒什么變動(dòng)。因此，該理論認(rèn)為企業(yè)并不存在什么最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)。（三）折衷理論折衷理論是凈收益理論和營業(yè)凈收益理論的折中。該理論認(rèn)為，企業(yè)負(fù)債多、風(fēng)險(xiǎn)大的同時(shí)，盡管會(huì)導(dǎo)致股權(quán)成本的上升，但在一定程度內(nèi)不會(huì)完全抵消利用成本較低的債務(wù)所帶來的好處，因此會(huì)使加權(quán)平均資本成本下降，企業(yè)價(jià)值上升。但一旦超過其限度，股權(quán)資本成本的上升就不再能為債務(wù)的低成本所抵消，加權(quán)平均資本成本又會(huì)上升。由下降變?yōu)樯仙霓D(zhuǎn)折點(diǎn)，便是加權(quán)平均資本成本的最低點(diǎn)。此時(shí)，企業(yè)的資本結(jié)構(gòu)達(dá)到最優(yōu)。

1956年莫迪利亞尼(Modigliani)和米勒(Miller)發(fā)表了其著名的論文《資本成本、公司金融和投資理論》。現(xiàn)代資本結(jié)構(gòu)理論誕生了。他們認(rèn)為在一系列假設(shè)條件約束下的完美市場中，企業(yè)的價(jià)值和其資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。這一觀點(diǎn)后來被人們用二人名字的首字母命名為“MM定理”，有時(shí)也被稱做“無關(guān)性定理(IrrelenceTheorem)”。二、無公司所得稅和個(gè)人所得稅的ＭＭ定理（一）基本假設(shè)⒈市場是無摩擦的，也就是交易成本、代理成本和破產(chǎn)成本均為零，不存在公司所得稅和個(gè)人所得稅；⒉個(gè)人和公司可以以同樣的利率進(jìn)行借貸，同時(shí)不論舉債多少，個(gè)人和公司的負(fù)債都不存在風(fēng)險(xiǎn)；⒊經(jīng)營條件相似的公司具有相同的經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)；⒋不考慮企業(yè)增長問題，所有利潤全部作為股利分配；⒌同質(zhì)性信息，即公司的任何信息都可以無成本地傳導(dǎo)給市場的所有參與者。（二）分析過程假設(shè)有A和B兩家公司，其資產(chǎn)性質(zhì)完全相同，經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)也一樣，兩家公司每年的息稅前收益也都為100萬元。

A公司全部采用股權(quán)融資，股權(quán)資本的市場價(jià)值為1000萬元，則股權(quán)資本的投資報(bào)酬率為10%；B公司則存在一部分的負(fù)債，其負(fù)債價(jià)值為400萬元，負(fù)債的利率為5%，假設(shè)B公司剩余的股權(quán)價(jià)值被高估，為800萬元，則B公司總的市場價(jià)值為1200萬元。莫迪利亞尼和米勒認(rèn)為，由于企業(yè)的資產(chǎn)性質(zhì)、經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)和每年的息稅前收益是一樣的，因此B公司價(jià)值高于A公司價(jià)值的情況并不會(huì)長期存在下去，投資者的套利行為將使得兩家公司的價(jià)值趨于相等。投資者無風(fēng)險(xiǎn)套利行為：賣空1%的B公司股權(quán)和債權(quán)，買入1%的A公司股權(quán)。⒈交易發(fā)生時(shí),賣空1%

B公司，收入12萬；買入A公司1%,支出10萬。則資金凈流入2萬。⒉未來的每年，AB公司的盈利相同，未來凈現(xiàn)金流為0（三）結(jié)論⒈MM定理Ⅰ：任何公司的市場價(jià)值都與其資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。這一定理同時(shí)也意味著杠桿公司的價(jià)值等于無杠桿公司的價(jià)值。杠桿企業(yè)指利用財(cái)務(wù)杠桿的負(fù)債企業(yè)

⒉MM定理Ⅱ：股東的期望收益率隨著公司財(cái)務(wù)杠桿的上升而增加。公司的加權(quán)平均資本成本等于其中B為債務(wù)的價(jià)值；S為股權(quán)的價(jià)值；rB為利息率，即公司的債務(wù)資本成本；rs為股東的期望收益率，也就是公司的股權(quán)資本成本。對于杠桿公司而言在一般情況下，同一公司的股權(quán)要比債權(quán)承擔(dān)更多的風(fēng)險(xiǎn)，因此r0是大于rB的。進(jìn)而，我們可以得出結(jié)論：杠桿公司股東的期望報(bào)酬率與公司的財(cái)務(wù)杠桿比率成正比。上式也正是無稅條件下MM定理Ⅱ的表述公式。三、存在公司所得稅情況下的MM定理（一）修正后的MM定理Ⅰ債務(wù)的利息是稅前支付的，而股利則是稅后支付的。如果杠桿公司的息稅前利潤為

EBIT,公司所得稅率為Tc,那么無杠桿公司的稅收支出是EBITTc,杠桿公司的稅收支出是(EBIT-rBB)Tc

上式即為修正后的MM定理Ⅰ的公式表述，也就是說杠桿公司的價(jià)值等于無杠桿公司的價(jià)值加上負(fù)債節(jié)稅作用的價(jià)值。（二）修正后的MM定理Ⅱ?qū)τ诟軛U公司的股權(quán)和債權(quán)持有者而言，其所能獲得的價(jià)值總量是；從另一角度來看，也等于無杠桿公司股東所獲得的價(jià)值分配總量加上稅減價(jià)值，所以，對上式兩邊除以S，并移項(xiàng)得：上式為修正后的MM定理Ⅱ的表述公式，它表明杠桿公司股東的期望報(bào)酬率等于無杠桿公司股東的期望報(bào)酬率加上一筆風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，這筆風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的多少取決于公司的負(fù)債程度和公司所得稅的水平。四、米勒模型：對MM定理的再次修正修正后的MM定理中引入公司所得稅的因素之后,結(jié)論為負(fù)債越多的公司價(jià)值越大。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，并沒有任何公司無限度地增加負(fù)債。對于這一現(xiàn)象，米勒在其1977年發(fā)表的《負(fù)債與稅收》一文中，通過引入個(gè)人所得稅因素進(jìn)行了解釋。米勒根據(jù)無套利原則，通過分析公司可以通過增加負(fù)債來提高公司價(jià)值和個(gè)人投資債券多交所得稅之間的矛盾，提出了再次修正后的MM定理，即米勒模型：其中Ts為股利所得的應(yīng)稅稅率，

Tb為債券利息收入的所得稅稅率。簡單的分析：（一）公司處于無稅的環(huán)境中，米勒模型相應(yīng)地轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢紤]所得稅因素的MM定理，此時(shí)（二）個(gè)人所得稅為零，模型變?yōu)榭紤]公司所得稅情況下的MM定理，此時(shí)（三）（四）第二節(jié)狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)狀態(tài)價(jià)格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。如果未來時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況以及市場無風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。例子A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)格是PA，一年后其價(jià)格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場的兩種狀態(tài):上升狀態(tài)（概率q）和下降狀態(tài)（概率1-q）。構(gòu)造兩個(gè)基本證券：基本證券1：價(jià)格上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券2：價(jià)格上升時(shí)價(jià)值為0，下跌時(shí)價(jià)值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場價(jià)格是πu，基本證券2的價(jià)格是πd。

購買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2組成一個(gè)假想的證券組合。該組合在T時(shí)刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流

PA=πuuPA+πddPA

或1=πuu+πdd由單位基本證券組成的組合在T時(shí)刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報(bào)都是1元。這是無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，其收益率應(yīng)該是無風(fēng)險(xiǎn)收益率r

所以只要有具備上述性質(zhì)的一對基本證券存在，我們就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上的任何有價(jià)證券定價(jià)。關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)格上升的概率p，它依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對p認(rèn)識(shí)的分歧不影響為有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)）的過程與結(jié)果同市場參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。

狀態(tài)價(jià)格定價(jià)法的應(yīng)用假設(shè)某股票符合我們上面提到的兩種市場狀態(tài)，即期初價(jià)值是S0，期末價(jià)值是S1，這里S1只可能取兩個(gè)值：一是S1=Su=uS0,u＞1,二是S1=Sd

=dS0,d＜1。我們現(xiàn)在想要確定的是依附于該股票的看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？我們構(gòu)造這樣一個(gè)投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價(jià)值特征完全相同：以無風(fēng)險(xiǎn)利率r借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無風(fēng)險(xiǎn)債券），同時(shí)在股票市場上購入N股標(biāo)的股票。該組合的成本是NS0-B，到了期末，該組合的價(jià)值V是NS1-RB，R是利率因子。對應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個(gè)取值：如果S1=Su,則V=Vu=NSu-RB，如果S1=Sd,則V=Vd=NSd-RB。由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價(jià)值，即有

NS0-B=c0,把N和B代入本式中，得到看漲期權(quán)的價(jià)值公式

c0=[pcu+(1-p)cd]e-r(T-t)

其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。

第三節(jié)對可贖回債券價(jià)格的簡單分析一、可贖回債券的價(jià)格如果債券發(fā)行的時(shí)候，事先約定發(fā)行者可以在一定條件下以約定的價(jià)格贖回債券，這樣的債券就是可贖回債券。例如，1995年1月15日，A公司發(fā)行了2025年1月15日到期、年利率為7%的附息票債券。該債券在前10年不可以贖回，一般在債券上標(biāo)明“NC10”。讀成“10年不贖回”在2005年1月15日到2006年1月15日之間的任何時(shí)間，有權(quán)以103.60元的價(jià)格將其發(fā)行的面值為100的債券購買回來。然后，隨著時(shí)間的推移，購回價(jià)格下降了，從2006年1月15日到2007年1月15日，債券的購回價(jià)格為103.24元。從2015年1月15日到更遠(yuǎn)的時(shí)間，A公司可以以面值回購。如果A公司在債券兩次付息之間進(jìn)行贖回，除了規(guī)定的贖回價(jià)格之外，它還要支付應(yīng)付的利息。在債券發(fā)行之后的可贖回期間，如果利率上漲，發(fā)行者可以選擇不贖回，其籌資成本仍然是原來較低的利率。在這個(gè)意義上講，債券發(fā)行者獲利。然而，另一方面，當(dāng)市場利率下降到一定程度時(shí)，債券發(fā)行者會(huì)選擇贖回。此時(shí)，發(fā)行者可以以新的較低利率重新籌資，從而使債券投資者在利率下降時(shí)的獲利有上限的限制。總結(jié)一下：當(dāng)利率下降時(shí)，贖回條款限制投資者獲益；但是當(dāng)利率上升時(shí)，投資者卻沒有一個(gè)損失的底線。這是因?yàn)橼H回條款這一選擇權(quán)是給予債券發(fā)行者的，因此必然更有利于發(fā)行者。二、可贖回債券和不可贖回債券價(jià)格之間的關(guān)系令分別是可贖回債券和另外等同的不可贖回債券價(jià)格，C為發(fā)行者選擇權(quán)的價(jià)值。則假設(shè)一個(gè)套利者將執(zhí)行下列交易策略：⒈以價(jià)格Pc

購買可贖回債券；⒉以價(jià)格C購買以該債券為標(biāo)的的看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為債券的贖回價(jià)；⒊以價(jià)格Pnc賣出不可贖回債券。從這些交易中得到的現(xiàn)金流為由假設(shè)可知它是正的。第四節(jié)無套利定價(jià)法

1.無套利定價(jià)概念如果市場是有效率的話，市場價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價(jià)原則。根據(jù)這個(gè)原則，在有效的金融市場上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)不復(fù)存在。例子假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？答案是肯定的。套利過程是：第一步，交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)1000萬元）。第二步，簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價(jià)格6個(gè)月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.10×0.5）。第三步，按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬元。第四步，1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.12×1），并用1110萬元（等于1051e0.11×0.5）償還遠(yuǎn)期利率協(xié)議半年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。

①：10％②：協(xié)議6個(gè)月后以11％的利率借入資金1051萬，到期歸還

1110萬＝1051e0.11×0.5②：11％①：以10％的利率借入6個(gè)月資金1000萬，到期歸還

1051萬＝1000e0.10×0.5③：12％③：將借入的資金以12％利率貸出資金1000萬一年，到期收回

1127萬＝1000e0.12×12.無套利定價(jià)方法的主要特征：

無套利定價(jià)原則首先要求套利活動(dòng)在無風(fēng)險(xiǎn)的狀態(tài)下進(jìn)行。無套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。

無風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從即時(shí)現(xiàn)金流看是零投資組合（自融資組合）。3.無套利定價(jià)方式

(1)金融工具的模仿即通過構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。例如，我們可以通過買入一份看漲期權(quán)同時(shí)賣出一份看跌期權(quán)來模仿股票的盈虧。(2)

金融工具的合成金融工具的合成是指通過構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同價(jià)值。例如：合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭和無風(fēng)險(xiǎn)債券。

SS=max(0,ST-X)-max(0,X-ST)+X=ST-X+X=STS=c-p+Xe-r(T-t)

例：如何將無套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中？Case：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。

為了找出該期權(quán)的價(jià)值，

可構(gòu)建一個(gè)