【名師一號】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修1-1雙基限時練13(第二章)

雙基限時練(十三)1．直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|為()A．4 B．8C．6 D．10解析由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點(diǎn)為F，AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.答案B2．已知點(diǎn)M(－4,1)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝－4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，若|PF|＋|PM|取最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(0,0) B．(－1,2)C．(－eq\f(1,4)，1) D．(－2,2eq\r(2))解析如圖所示，l為拋物線的準(zhǔn)線，過P作PP′⊥l于P′，過M作MN⊥l于N，∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.∴當(dāng)|PF|＋|PM|取小值時，P的縱坐標(biāo)為1，代入拋物線方程可得P的坐標(biāo)為(－eq\f(1,4)，1)．答案C3．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a為()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D．－2解析拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，代入直線方程為a＋1＝0，∴a＝－1.答案A4．已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A．3 B.eq\f(\r(17),2)C.eq\r(5) D.eq\f(9,2)解析依據(jù)拋物線定義，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)F(eq\f(1,2)，0)的距離，故為(0,2)和(eq\f(1,2)，0)的距離為eq\f(\r(17),2).答案B5．已知拋物線y＝4ax2(a>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0相切，且此拋物線上的點(diǎn)A(x0,2)到焦點(diǎn)的距離等于3，則m＝()A．±eq\r(3) B．±eq\r(2)C．±1 D．0解析拋物線y＝4ax2的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,16a)，由題知2＋eq\f(1,16a)＝3，∴a＝eq\f(1,16).∴拋物線的準(zhǔn)線為y＝－1，圓的方程可化為(x＋eq\f(m,2))2＋y2＝eq\f(1,4)＋eq\f(m2,4)，由圓與拋物線的準(zhǔn)線相切可得eq\r(\f(1,4)＋\f(m2,4))＝1，即m＝±eq\r(3)，故選A.答案A6．P(x0，y0)是拋物線x2＝2py(p>0)上任一點(diǎn)，則P到焦點(diǎn)的距離是________．解析拋物線的準(zhǔn)線為y＝－eq\f(p,2)，∴P到焦點(diǎn)的距離為y0＋eq\f(p,2).答案y0＋eq\f(p,2)7．拋物線y＝4x2上一點(diǎn)P，則P到直線y＝4x－5的距離的最小值為________．解析設(shè)P(x，y)，則d＝eq\f(|4x－y－5|,\r(17))＝eq\f(|4x－4x2－5|,\r(17))＝eq\f(|2x－12＋4|,\r(17))≥eq\f(4,\r(17))＝eq\f(4,17)eq\r(17).答案eq\f(4,17)eq\r(17)8．拋物線y2＝2px(p＞0)上有一點(diǎn)縱坐標(biāo)為－4eq\r(2)，這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則拋物線的方程為________．解析設(shè)點(diǎn)(x0，－4eq\r(2))，則(－4eq\r(2))2＝2px0，∴x0＝eq\f(32,2p)＝eq\f(16,p).又由拋物線的定義可知x0＋eq\f(p,2)＝6，∴eq\f(16,p)＋eq\f(p,2)＝6，即p2－12p＋32＝0，解得p＝4，或p＝8.∴拋物線方程為y2＝8x，或y2＝16x.答案y2＝8x，或y2＝16x9．已知點(diǎn)A(x，y)在拋物線y2＝4x上運(yùn)動，求z＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3的最小值．解∵A在拋物線上，∴x≥0，z＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3＝x2＋2x＋3，二次函數(shù)z＝x2＋2x＋3的對稱軸為x＝－1.∴在設(shè)方程的兩個根為x1，x2，則依據(jù)韋達(dá)定理有x1＋x2＝eq\f(8＋p,2)，x1x2＝4.由弦長公式，得(3eq\r(5))2＝(1＋22)，即9＝(eq\f(8＋p,2))2－16.整理得p2＋16p－36＝0，解得p＝2，或p＝－18，此時Δ>0.故所求的拋物線方程為y2＝4x，或y2＝－36x.12．如圖，已知直線l：y＝2x－4交拋物線y2＝4x于A，B兩點(diǎn)，試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，并求出這個最大面積．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y2＝4x.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))∴A(4,4)，B(1，－2)．∴|AB|＝eq\r(4－12＋4＋22)＝3eq\r(5).設(shè)P(x0，y0)為拋物線AOB這段曲線上一點(diǎn)，d為點(diǎn)P到直線AB的距離，則d＝eq\f(|2x0－y0－4|,\r(4＋1))＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)－y0－4))＝eq\f(1,2\r(5))|(y0－1)2－9|.∵－2<y0<4，∴當(dāng)y0＝1時，d有最大值eq\f(9,2\r(5)).從而△PAB的最大面積為S＝eq\f(1,2)×3eq\r(5)×eq\f(9,2\r(5))＝eq\f(27,4)