【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修一導(dǎo)學(xué)案：《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用》

第9課時二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用1.能嫻熟地對二次函數(shù)解析式配方,爭辯其定義域、值域、單調(diào)性、最值等.2.把握二次函數(shù)的性質(zhì),并會對參數(shù)進(jìn)行爭辯.3.進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想的作用.在上節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的解析式以及a打算開口方向和開口大小等性質(zhì),對于圖像,我們知道了描點法和圖像變換法,這節(jié)課我們來進(jìn)一步爭辯二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),結(jié)合二次函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合法解有關(guān)二次函數(shù)的最值問題,是本節(jié)學(xué)問的重點和難點,也是高考的熱點問題.問題1:將二次函數(shù)的一般式f(x)=ax2+bx+c配為頂點式:,所以對稱軸為,頂點坐標(biāo)為.

問題2:對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c.當(dāng)a>0時,它的圖像開口向上,f(x)在上是單調(diào)遞減的,在上是單調(diào)遞增的;當(dāng)x=-b2a時,函數(shù)取得最小值當(dāng)a<0時,它的圖像開口,f(x)在上是單調(diào)遞增的,在上是單調(diào)遞減的;當(dāng)x=-b2a時,函數(shù)取得最大值問題3:二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值可能消滅以下三種狀況:(1)若-b2a<p,則f(x)在區(qū)間[p,q]上是增函數(shù),則f(x)min=,f(x)max=(2)若p≤-b2a≤q,則f(x)min=,此時f(x)(3)若-b2a≥q,則f(x)在區(qū)間[p,q]上是減函數(shù),則f(x)min=,f(x)max=由此可見,當(dāng)-b2a∈[p,q]時,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的較大值,最小值是f(-b2a);當(dāng)-b2a?[p,q]時,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的較大值,最小值是f(p)和問題4:解決函數(shù)應(yīng)用問題的一般步驟:(1):弄清題意,分清條件和結(jié)論,理清數(shù)量關(guān)系;

(2):將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,利用數(shù)學(xué)學(xué)問建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;

(3):求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論;

(4):將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題.

1.已知二次函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)=f(3-x),且f(x)=0有兩個實根x1,x2,則x1+x2等于().A.0 B.3 C.6 D.不能確定2.把長為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個正三角形,那么這兩個正三角形面積之和的最小值是().A.323cm2 B.4cm2 C.32cm2 D.233.設(shè)m∈R,x1,x2是方程x2-2mx+1-m2=0兩個實數(shù)根,則x12+x24.某超市為了獵取最大利潤做了一次試驗,若將進(jìn)貨單價為8元的商品按10元一件的價格出售,則每天可銷售60件,現(xiàn)在接受提高銷售價格削減進(jìn)貨量的方法增加利潤,已知這種商品每漲1元,其銷售量就要削減10件,問該商品售價定為多少時才能賺取最大利潤?并求出最大利潤.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)將函數(shù)y=-13x2-x+1配方,確定其圖像對稱軸、頂點坐標(biāo),求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值,并畫出它的圖像二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3.(1)當(dāng)x∈[-2,0]時,求f(x)的最值;(2)當(dāng)x∈[-2,3)時,求f(x)的最值.二次函數(shù)在實際中的應(yīng)用如圖所示,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時,AB寬20m,水位上升到警戒線CD時,CD到拱橋頂O的距離僅為1m,這時水面寬度為10m.(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中求拋物線的解析式;(2)若洪水到來時,水位以每小時0.3m的速度上升,從正常水位開頭,持續(xù)多少小時到達(dá)警戒線?已知二次函數(shù)f(x)=-x2+bx+c對于任意x都滿足f(1-x)=f(1+x).(1)求實數(shù)b的值;(2)比較f(-m2-m-1)與f(14)的大小已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3,當(dāng)x∈[t,t+1]時,求f(x)的最小值g(t).經(jīng)市場調(diào)查,商品在近100天內(nèi),日銷售量和價格均為時間t的函數(shù),且日銷售量近似的滿足關(guān)系g(t)=-13t+1093(t∈N,0≤t≤100),在前40天里價格為f(t)=14t+22(t∈N,0≤t≤40);在后60天里價格為f(t)=-12t+52(t∈N,40<t≤100).求這種商品的日銷售額的最大值1.如圖所示,二次函數(shù)y=x2-3x+2的圖像交x軸于A,B兩點,交y軸于C點,則三角形ABC的面積為().A.6 B.4C.1 D.22.由于被墨水污染,一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字:y=x2+bx+c的圖像過點(1,0)……求證這個二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱.依據(jù)已有信息,題中的二次函數(shù)圖像不具有的性質(zhì)是().A.過點(3,0) B.頂點是(2,-2)C.在x軸上截得的線段的長是2 D.與y軸的交點是(0,3)3.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖像的對稱軸為直線x=2,則下列關(guān)系:①f(π-2)=f(π);②f(π2)>f(π);③f(22)>f(π).④f(22)=f(π),4.已知二次函數(shù)y=f(x)的對稱軸是x=2,其圖像頂點為A,并且與x軸交于B,C兩點,B點坐標(biāo)為(-1,0),三角形ABC的面積為18,求f(x).(2021年·遼寧卷)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=().A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16考題變式(我來改編):

答案第9課時二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)問體系梳理問題1:f(x)=a(x+b2a)2+4ac-b24ax=-問題2:(-∞,-b2a][-b2a,+∞)4ac-b24a向下(-∞,-b問題3:(1)f(p)f(q)(2)f(-b2a)(3)f(q)f(問題4:(1)審題(2)建模(3)求模(4)還原基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.Cf(3+x)=f(3-x)知其圖像的對稱軸為x=-b2a=3,又由韋達(dá)定理知x1+x2=-ba2.D設(shè)一個三角形的邊長為xcm,則另一個三角形的邊長為(4-x)cm,兩個三角形的面積和為S,則S=34x2+34(4-x)2=32(x-2)2+23≥當(dāng)x=2時,S取最小值23m2.故選D.3.1由Δ=(-2m)2-4(1-m2)≥0,解得m2≥12又x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2(1-m2)=6m2-4.解:設(shè)商品售價定為x元時,利潤為y元,則y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10≤x≤16).當(dāng)且僅當(dāng)x=12時,y有最大值160元,即售價定為12元時,可獲最大利潤160元.重點難點探究探究一:【解析】y=-13(x+32)2+74,對稱軸x=-32,頂點坐標(biāo)(-函數(shù)在區(qū)間(-∞,-32]上是單調(diào)遞增的,在區(qū)間[-32,+∞)上是單調(diào)遞減的,函數(shù)的最大值為74,沒有最小值【小結(jié)】依據(jù)配方后得到的表達(dá)式畫圖,可直接推斷出函數(shù)的單調(diào)性及最值.探究二:【解析】∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其對稱軸為x=1,開口向上.(1)當(dāng)x∈[-2,0]時,f(x)在[-2,0]上是單調(diào)遞減的,故當(dāng)x=-2時,f(x)有最大值f(-2)=11;當(dāng)x=0時,f(x)有最小值f(0)=3.(2)當(dāng)x∈[-2,3)時,f(x)在[-2,3)上是先減后增的,故當(dāng)x=1時,f(x)有最小值f(1)=2.又|-2-1|>|3-1|,∴f(x)的最大值為f(-2)=11.【小結(jié)】對于“軸定,區(qū)間定”的二次函數(shù)問題,解答時直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性解題;對于“軸定,區(qū)間動”的二次函數(shù)問題,解答時可以直接利用圖像與二次函數(shù)單調(diào)性解題;重在用分類爭辯的思想分析軸與區(qū)間的關(guān)系.探究三:【解析】(1)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2(a≠0),∵CD=10m,CD到拱橋頂O的距離僅為1m,則C點坐標(biāo)為(-5,-1),把C點坐標(biāo)代入y=ax2,解得a=-125故拋物線的解析式為y=-125x2(2)∵AB寬為20m,∴設(shè)A(-10,b),把A點坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-125x2中解得b=-4,∴F(0,-4),∴EF=3,∵水位以每小時0.3m的速度上升,∴3÷0.3=10(小時),答:從正常水位開頭,持續(xù)10小時到達(dá)警戒線.【小結(jié)】本題把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)及函數(shù)解析式,應(yīng)當(dāng)留意點所在的象限,也就是點的坐標(biāo)的符號.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由f(1-x)=f(1+x)知二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1,即-b2×(-1)=1(2)-m2-m-1=-(m+12)2-34≤-34<14,又f(x)在(-∞,所以f(-m2-m-1)<f(14)應(yīng)用二:①當(dāng)t>1時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=t時,f(x)取得最小值,此時,g(t)=f(t)=t2-2t+3;②當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時,f(x)在區(qū)間[t,t+1]上先減后增,故當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值,此時,g(t)=f(1)=2;③當(dāng)t+1<1,即t<0時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=t+1時,f(x)取得最小值,此時,g(t)=f(t+1)=t2+2;綜上得g(t)=t應(yīng)用三:設(shè)前40天內(nèi)日銷售額為S,則S=(14t+22)?(-13t+1093)=-112t2+∴S=-112(t-10.5)2+23983+當(dāng)t=10或t=11時,Smax=808.5≈809,設(shè)后60天內(nèi)日銷售額為P,則P=(-12t+52)?(-13t+1093)=16t2-∴P=16(t-106.5)2-2524,∵40<t≤100,∴當(dāng)t=41時,PPmax=16×(1312)2-2524則日銷售額的最大值為809元.基礎(chǔ)智能檢測1.C如圖可知A(1,0),B(2,0),C(0,2),又S=12×|AB|×yc=12×1×2=1,2.B由二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱得-b2=2,b=-4,再將點(1,0)代入可得c=3,然后畫出二次函數(shù)的草圖即可求解3.③2-22>π-2.由圖像可知f(22)>f(π4.解:∵二次函數(shù)f(x)的對稱軸是x=2,又∵B點坐標(biāo)為(-1,0),∴C點坐標(biāo)為(5,0),∴|BC|=6.∵△ABC面積為18,即12|BC||m|=18,∴m=±6,即A點坐標(biāo)為(2,±6∴f(x)=a(x+1)(x-5),將A點坐標(biāo)(2,±6)代人上述式子,可得a=±23∴f(x)=±23(x+