2022屆【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】數(shù)學(xué)一輪(人教B版-理科)-第四章-課時(shí)作業(yè)-4-6

第6講正弦定理、余弦定理及解三角形基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(2022·北京西城區(qū)模擬)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝eq\f(1,3)，則B＝()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,6) D.eq\f(2π,3)解析由于cosA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦定理，得eq\f(4,sinA)＝eq\f(3,sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(2),2)，又由于b＜a，所以B＜eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,4)，故選A.答案A2．(2021·合肥模擬)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長為 ()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3) C．2eq\r(3) D．2解析由于S＝eq\f(1,2)×AB×ACsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).答案B3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，則△ABC的面積為 ()A．2eq\r(3)＋2 B.eq\r(3)＋1C．2eq\r(3)－2 D.eq\r(3)－1解析由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及已知條件，得c＝2eq\r(2)，又sinA＝sin(B＋C)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).從而S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq\r(3)＋1.答案B4．(2022·長沙模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“a＝2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析依題意，由a＝2bcosC及正弦定理，得sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)－2sinBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC－2sinBcosC＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反過來，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcosC．因此，“a＝2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要條件，故選A.答案A5．(2022·四川卷)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于 ()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析如圖，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(60,tan30°)＝60eq\r(3)(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝eq\f(60,tan75°)＝eq\f(60,2＋\r(3))＝60(2－eq\r(3))(m)，∴BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．答案C二、填空題6．(2022·惠州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為________．解析由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，結(jié)合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).答案eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)7．(2022·廣東卷)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c. 已知bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(a,b)＝________．解析由已知及余弦定理得b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2b，化簡得a＝2b，則eq\f(a,b)＝2.答案28．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，則sinB＝________．解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.由cosC＝eq\f(1,4)得sinC＝eq\f(\r(15),4).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(2,2)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),4)(或者由于c＝2，所以b＝c＝2，即三角形為等腰三角形，所以sinB＝sinC＝eq\f(\r(15),4))．答案eq\f(\r(15),4)三、解答題9．(2022·湖南卷)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝eq\r(7).(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－eq\f(\r(7),14)，sin∠CBA＝eq\f(\r(21),6)，求BC的長．解(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD).故由題設(shè)知，cos∠CAD＝eq\f(7＋1－4,2\r(7))＝eq\f(2\r(7),7).(2)設(shè)∠BAC＝α，則α＝∠BAD－∠CAD.由于cos∠CAD＝eq\f(2\r(7),7)，cos∠BAD＝－eq\f(\r(7),14)，所以sin∠CAD＝eq\r(1－cos2∠CAD)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(7),7)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(21),7)，sin∠BAD＝eq\r(1－cos2∠BAD)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),14)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(21),14).于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD＝eq\f(3\r(21),14)×eq\f(2\r(7),7)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),14)))×eq\f(\r(21),7)＝eq\f(\r(3),2).在△ABC中，由正弦定理，eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin∠CBA).故BC＝eq\f(AC·sinα,sin∠CBA)＝eq\f(\r(7)×\f(\r(3),2),\f(\r(21),6))＝3.10．(2022·安徽卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))的值．解(1)由于A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac).由于b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2eq\r(3).(2)由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋1－12,6)＝－eq\f(1,3).由于0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3).故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝sinAcoseq\f(π,4)＋cosAsineq\f(π,4)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4－\r(2),6).力氣提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11．(2022·東北三省四市聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，滿足eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，則角A的范圍是 ()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))解析由eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化簡得b2＋c2－a2≥bc，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，即cosA≥eq\f(1,2)(0＜A＜π)，所以0＜A≤eq\f(π,3)，故選A.答案A12．(2021·青島模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csinA＝eq\r(3)acosC，則sinA＋sinB的最大值是 ()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．3解析由csinA＝eq\r(3)acosC，得sinCsinA＝eq\r(3)sinAcosC，又在△ABC中sinA≠0，所以sinC＝eq\r(3)cosC，tanC＝eq\r(3)，C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).所以sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋A))＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以當(dāng)A＝eq\f(π,3)時(shí)，sinA＋sinB取得最大值eq\r(3)，故選C.答案C13．在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，則AB＋2BC的最大值為________．解析由正弦定理知eq\f(AB,sinC)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(BC,sinA)，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋eq\r(3)cosC＋sinC)＝2(2sinC＋eq\r(3)cosC)＝2eq\r(7)sin(C＋α)，其中tanα＝eq\f(\r(3),2)，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2eq\r(7).答案2eq\r(7)14．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面積的最大值．解(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCs