【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修5雙基限時(shí)練16

雙基限時(shí)練(十六)一、選擇題1．某次測(cè)量中，A在B的南偏東34°27′，B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′解析畫圖可得．答案A2．某人向正東方向走xkm后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走了3km，結(jié)果他離動(dòng)身點(diǎn)恰好eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3解析如圖所示，由余弦定理得3＝9＋x2－2×3x·cos30°，得x＝2eq\r(3)，或x＝eq\r(3).答案C3．一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷，折成與地面成30°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則樹干原來(lái)的高度為()A.eq\f(20,3)米 B．20eq\r(3)米C.eq\f(20\r(3),3)米 D．20米解析如圖，在Rt△ABC中，AC＝20，∠C＝30°，AB＝AC·tan30°＝eq\f(20\r(3),3)，BC＝eq\f(AC,cos30°)＝eq\f(40\r(3),3).∴樹干高h(yuǎn)＝eq\f(20\r(3),3)＋eq\f(40\r(3),3)＝20eq\r(3)(米)．答案B4．在地面上一點(diǎn)A處測(cè)得一電視塔尖的仰角為45°，再向塔底方面前進(jìn)100m，又測(cè)得塔尖的仰角為60°，則此電視塔高約為()A．237m B．227mC．247m D．257m解析由圖可知tan60°＝eq\f(h,h－100)，∴eq\f(h,h－100)＝eq\r(3)，得h＝eq\f(100\r(3),\r(3)－1)≈237(m)．答案A5．海面上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°視角，從B島望C島和A島成30°視角，則B與C之間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(3)海里解析如圖BC＝ABsin60°＝5eq\答案D6．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A．0.5小時(shí)B．1小時(shí)C．1.5小時(shí)D．2小時(shí)解析設(shè)t小時(shí)后，B市處于危急區(qū)內(nèi)，則由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.化簡(jiǎn)得4t2－8eq\r(2)t＋7≤0，∴t1＋t2＝2eq\r(2)，t1·t2＝eq\f(7,4).從而|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝1.答案B二、填空題7．如圖，A、N兩點(diǎn)之間的距離為________.解析由正弦定理得eq\f(AN,sin120°)＝eq\f(MA,sin180°－120°－30°)，得AN＝eq\f(40×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝40eq\r(3).答案40eq\r(3)8．兩座燈塔A、B與海洋觀看站C的距離都等于akm，燈塔A在觀看站C的北偏東20°，燈塔B在觀看站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為______________________________________________．解析由圖可知∠ACB＝120°，由余弦定理可知：|AB|＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BCcos120°)＝eq\r(3)akm.答案eq\r(3)akm9．有一長(zhǎng)為100m的斜坡，它的傾斜角為45°，現(xiàn)打算把傾斜角改成30°，則坡底要伸長(zhǎng)________m.解析如圖可知BC＝AB＝50eq\tan30°＝eq\f(AB,50\r(2)＋DC)＝eq\f(50\r(2),50\r(2)＋DC)＝eq\f(\r(3),3)得DC＝50(eq\r(6)－eq\r(2))m.答案50(eq\r(6)－eq\r(2))三、解答題10．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長(zhǎng)．解在△ABC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2).又∠ADC為三角形的內(nèi)角，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，所以AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(5,2)eq\r(6).11．太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的大路，一輛汽車測(cè)得小島在大路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1km后，又測(cè)得小島在南偏西75°的方向上，求小島到大路的距離．解如圖，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．設(shè)C到直線AB的距離為d，則d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．12．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.(1)設(shè)向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求sinA＋2cosBcosC的值；(2)已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b的值．解(1)由題意得x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0.即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC.∴sinA＋2cosBcosC＝0.(2)由已知可得sinAcosC＝－3cosAsinC，由正弦定理及余弦定理，得a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝(－3)×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)×c.化簡(jiǎn)并整理，得a2－c2＝2b2.又由已知a2－c2＝8b，∴2b2＝8b.解得b＝4或b＝0(舍)，∴b＝4.思維探究13．如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)的距離，在河的這邊測(cè)出CD的長(zhǎng)為eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B兩點(diǎn)間的距離．解在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°).∴BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)km.在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD為正三角形．∴AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)km.在△ABC中