【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修4雙基限時(shí)練12

雙基限時(shí)練(十二)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像(二)一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝sin(πx＋θ)，(0<θ<2π)的最小正周期為T，且當(dāng)x＝2時(shí)取最大值，那么()A.T＝2，θ＝eq\f(π,2) B.T＝1，θ＝πC.T＝2，θ＝π D.T＝1，θ＝eq\f(π,2)解析T＝eq\f(2π,π)＝2，∴f(2)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，明顯當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時(shí)f(x)取得最大值．答案A2．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的單調(diào)增區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(3,4)π))，k∈ZB.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z解析由2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解得．答案A3．若f(x)＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)，則φ值可能是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,3) D.π解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，而y＝cos2x為偶函數(shù)，∴φ＝eq\f(π,2).答案B4．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖像()A．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對稱B．關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱C．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))對稱D．關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱解析f(eq\f(π,3))＝0.答案A5．①最小正周期π；②圖像關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))對稱，則下列函數(shù)同時(shí)具有以上兩共性質(zhì)的是()A．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))) D．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))解析用排解法．答案B6．假如函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖像關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心對稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析由題意得3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(4π,3)＋φ))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，φ＝kπ－eq\f(π,6)，取k＝0，得|φ|的最小值為eq\f(π,6).故選A.答案A7．把函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)))的圖像向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長度所得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小值是()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,3)解析向左平移φ個(gè)單位長度后的解析式為y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)＋φ))，∴eq\f(4π,3)＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－eq\f(4π,3)>0(k∈Z)．∴k>eq\f(4,3)，∴k＝2，∴φ＝eq\f(2π,3).答案B二、填空題8．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的值域是____________．解析∵－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2,3)π.∴－eq\r(3)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤2.答案[－eq\r(3)，2]9．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的單調(diào)減區(qū)間為________．解析∵y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5,12)π，k∈Z，∴原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)10．給出下列命題：①函數(shù)y＝sinx在第一象限是增函數(shù)；②函數(shù)y＝cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)；③函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(7,2)π))是偶函數(shù)；④函數(shù)y＝cos2x的圖像向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖像．其中正確的命題是__________．解析①第一象限有正角或負(fù)角，無單調(diào)性可言，故①不正確；②中的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|)，故②不對；③函數(shù)y＝sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(7,2)π)＝－coseq\f(2,3)x，故其為偶函數(shù)；④將函數(shù)y＝cos2x的圖像向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位，得到y(tǒng)＝cos2(x＋eq\f(π,4))＝－sin2x的圖像，故④不正確，只有③正確．答案③三、解答題11．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))，y＝f(x)圖像的一條對稱軸是直線x＝eq\f(π,4).(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解(1)由題意得f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即sinφ＝cosφ，即tanφ＝1，又0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).(2)由(1)知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).由2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(3,4)π≤x≤2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3,4)π，2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．12．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的圖像與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為eq\f(π,2)，且圖像上一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))時(shí)，求f(x)的值域．解(1)由最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為eq\f(π,2)，得eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在圖像上，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)，k∈Z.又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,6))).當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)時(shí)，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)，即x＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域?yàn)閇－1,2]．13．若函數(shù)f(x)＝eq\r(5)sin(2x＋φ)，對任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x)).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值；(2)求φ的最小正值；(3)當(dāng)φ取最小正值時(shí)，若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，求f(x)的最大值和最小值；(4)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解(1)解法一：由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))，知f(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱．又∵這個(gè)圖像的對稱軸肯定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝±eq\r(5).解法二：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))，∴f(x)關(guān)于x＝eq\f(π,3)對稱，∴2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))＝±eq\r(5).(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝±eq\r(5)，得2·eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝－eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)．令k＝1，得φ＝eq\f(5π,6)，即為φ的最小正值．(3)由(2)知f(x)＝eq\r(5)sin(2x＋eq\f(5π,6))，當(dāng)－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)時(shí)，eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(5π,6)≤eq\f(7π,6)，∴當(dāng)2x＋eq\f(5π,6)＝eq\f(π,2)，