【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第2章-第3節(jié)-函數(shù)的奇偶性與周期性

其次章第三節(jié)一、選擇題1．(文)設(shè)f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)是()A．(－∞，＋∞)上的減函數(shù)B．(－∞，＋∞)上的增函數(shù)C．(－1,1)上的減函數(shù)D．(－1,1)上的增函數(shù)[答案]D[解析]由題意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1)，在此定義域內(nèi)f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函數(shù)m(x)＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)n(x)＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝m(x)－n(x)是增函數(shù)．選D.(理)定義兩種運(yùn)算：a?b＝eq\r(a2－b2)，a⊕b＝|a－b|，則函數(shù)f(x)＝eq\f(2?x,x⊕2－2)()A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)[答案]B[解析]f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x－2|－2)，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．則f(x)＝eq\f(\r(4－x2),－x)，f(x)＋f(－x)＝0，故選B.2．(2022·河北唐山期末)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝()A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)[答案]C[解析]∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)．又∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴－f(x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．3．(文)定義在R上的偶函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則在(－2,0)上，下列函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是()A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1C．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0,x3＋1，x<0)) D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0,e－x，x<0))[答案]C[解析]∵f(x)為偶函數(shù)，由圖象知，f(x)在(－2,0)上為減函數(shù)，而y＝x3＋1在(－∞，0)上為增函數(shù)．(理)已知圖甲是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則圖乙中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)[答案]D[解析]由圖乙可知，該函數(shù)為偶函數(shù)，且x<0時(shí)，其函數(shù)圖象與f(x)的函數(shù)圖象相同，即該函數(shù)圖象的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x<0，,f－x，x≥0，))即y＝f(－|x|)，故應(yīng)選D.4．(文)(2022·河南三門(mén)峽靈寶試驗(yàn)高中月考)f(x)＝tanx＋sinx＋1，若f(b)＝2，則f(－b)＝()A．0 B．3C．－1 D．－2[答案]A[解析]∵f(b)＝tanb＋sinb＋1＝2，即tanb＋sinb＝1，∴f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1＝－(tanb＋sinb)＋1＝0.(理)(2022·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]C[解析]本題考查函數(shù)的奇偶性．令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1，故選C.5．(文)(2022·天津和平區(qū)二模)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的()A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]y＝f(x)為奇函數(shù)，則f(x)＝－f(－x)，故|f(x)|＝|－f(－x)|＝|f(－x)|，故y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；而函數(shù)y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則|f(x)|＝|f(－x)|，∴y＝f(x)可能為奇函數(shù)，也可為偶函數(shù)，或其他情形．(理)(2022·河南鄭州二模)函數(shù)f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函數(shù)的充要條件是()A．a(chǎn)b＝0 B．a(chǎn)＋b＝0C．a(chǎn)2＋b2＝0 D．a(chǎn)＝b[答案]C[解析]f(x)為奇函數(shù)，首先f(wàn)(0)＝0，則b＝0；其次f(－x)＝－f(x)?－x|－x＋a|＝－x|x＋a|?|x＋a|＝|－x＋a|恒成立，則a＝0，即當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，確定有a＝b＝0，這只有C可得，因此選C.6．(文)函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為3的奇函數(shù)，且f(－1)＝a，則f(2022)的值為()A．a(chǎn) B．－aC．0 D．2[答案]B[解析]∵f(x)周期為3，∴f(2022)＝f(671×3＋1)＝f(1)，∵f(x)為奇函數(shù)，f(－1)＝a，∴f(1)＝－a，故選B.(理)(2021·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)．若當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(logeq\f(1,2)6)的值為()A．－eq\f(5,2) B．－5C．－eq\f(1,2) D．－6[答案]C[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，logeq\f(1,2)6＝－log26，∴f(logeq\f(1,2)6)＝－f(log26)，∵2＝log24<log26<log28＝3，f(x)的周期為2，∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log2eq\f(3,2))＝2log2eq\f(3,2)－1＝eq\f(1,2)，∴f(logeq\f(1,2)6)＝－eq\f(1,2).二、填空題7．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，則實(shí)數(shù)a[答案](－3,1)[解析]依題意得，函數(shù)f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a.由此解得－3<a<1，即實(shí)數(shù)8．(文)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，且當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，f(x)＝－x2＋1.則f(－5)＝________.[答案]0[解析]由題意知f(－5)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(eq\r(3)x＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________.[答案]eq\f(2π,3)[解析]∵f′(x)＝eq\r(3)cos(eq\r(3)x＋φ)．∴f(x)＋f′(x)＝sin(eq\r(3)x＋φ)＋eq\r(3)cos(eq\r(3)x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋φ＋\f(π,3))).f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)?φ＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)．又∵0<φ<π，∴k＝1時(shí)，φ＝eq\f(2π,3).9．(2022·陜西咸陽(yáng)測(cè)試)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R均滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f(x)＝log3(1－x)，則f(2022)的值是________．[答案]1[解析]∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(2022)＝f(4×503＋2)＝f(2)＝f(－2)＝log33＝1.三、解答題10．(文)已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x2)(x≠0，常數(shù)a∈R)．(1)爭(zhēng)辯函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)f(x)在x∈[3，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．[解析](1)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝eq\f(1,x2)，滿足對(duì)定義域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，若f(x)為偶函數(shù)，則a＋1＝1－a，a＝0沖突；若f(x)為奇函數(shù)，則1－a＝－(a＋1)，1＝－1沖突，∴當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù)．(2)對(duì)任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1>x2，f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(1,x\o\al(2,1))－ax2－eq\f(1,x\o\al(2,2))＝a(x1－x2)＋eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)x\o\al(2,2))＝(x1－x2)(a－eq\f(x1＋x2,x\o\al(2,1)x\o\al(2,2)))．∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上為增函數(shù)，∴a>eq\f(x1＋x2,x\o\al(2,1)x\o\al(2,2))，即a>eq\f(1,x1x\o\al(2,2))＋eq\f(1,x\o\al(2,1)x2)在[3，＋∞)上恒成立．∵eq\f(1,x1x\o\al(2,2))＋eq\f(1,x\o\al(2,1)x2)<eq\f(2,27)，∴a≥eq\f(2,27).(理)已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x、y∈R時(shí)，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)假如x>0時(shí)，f(x)<0，并且f(1)＝－eq\f(1,2)，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．[分析](1)欲證f(x)為奇函數(shù)，即證f(x)＋f(－x)＝0恒成立，而已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立，只要令y＝－x，即可產(chǎn)生f(－x)與f(x)的關(guān)系式，只需再求f(0)，在已知式中令x＝y(tǒng)＝0即可．(2)欲求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值，∵f(x)是抽象函數(shù)，∴須爭(zhēng)辯f(x)的單調(diào)性，即x1<x2時(shí)，f(x1)－f(x2)與0的大小關(guān)系，由于f(x)為奇函數(shù)，且條件式為f(x)＋f(y)，故變形f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．問(wèn)題即變?yōu)橥茢鄁(x1－x2)的符號(hào)，又已知x>0時(shí)，f(x)<0，問(wèn)題迎刃而解．[解析](1)證明：∵函數(shù)定義域?yàn)镽，∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)解：設(shè)x1<x2，且x1、x2∈R.則f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減．從而f(x)在[－2,6]上為減函數(shù)．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f(1)＝－eq\f(1,2)，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＝－f(2)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]∴所求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.一、選擇題11．(2022·華師附中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)[答案]D[解析]由f(x＋1)＝－f(x)得，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為2.∵f(x)在[－1,0]上為減函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，∴f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增，故選D.12．(文)(2022·福建)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是增函數(shù)C．f(x)是周期函數(shù)D．f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)[答案]D[分析]依據(jù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)驗(yàn)證．選項(xiàng)A，B，C可以舉反例進(jìn)行排解，選項(xiàng)D求函數(shù)在每一段上的取值范圍，則該函數(shù)的值域?yàn)檫@兩個(gè)取值范圍的并集．[解析]A項(xiàng)，f(－eq\f(π,2))＝cos(－eq\f(π,2))＝0，而f(eq\f(π,2))＝(eq\f(π,2))2＋1＝eq\f(π2＋4,4)，明顯f(－eq\f(π,2))≠f(eq\f(π,2))，所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，排解A.B項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，而f(x)＝cosx在區(qū)間(－2π，－π)上單調(diào)遞減，故函數(shù)f(x)不是增函數(shù)，排解B.C項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋1，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)均不成立，故該函數(shù)不是周期函數(shù)，排解C.D項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋1>1；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝cosx∈[－1,1]．故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1,1]∪(1，＋∞)，即[－1，＋∞)所以該選項(xiàng)正確，選D.(理)(2022·天津和平區(qū)期末)已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝f(x－2)在[0,2]上單調(diào)遞減，設(shè)a＝f(0)，b＝f(2)，c＝f(－1)，則()A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<b<a[答案]A[解析]本題主要考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)可用數(shù)形結(jié)合法處理．也可構(gòu)造符合函數(shù)性質(zhì)的函數(shù)(如y＝x2)處理，屬中檔題．由f(x－2)在[0,2]上單調(diào)遞減，則f(x)在[－2,0]上單調(diào)遞減，而f(x)為偶函數(shù)，故f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，可設(shè)f(x)的示意圖如圖所示：則可知f(2)>f(－1)>f(0)，即b>c>a，選A.13．(文)(2022·天津南開(kāi)區(qū)二模)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．0[答案]B[解析]∵f(0)·f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一個(gè)零點(diǎn)，又∵f(x)在[0，a]上是單調(diào)函數(shù)，∴f(x)在[0，a]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．又∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一個(gè)零點(diǎn)，故f(x)在[－a，a]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選B.(理)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f(2＋x)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)有f(x)＝－x2＋1，當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)＝x－2，f(x)＝0在[－1,5]上有5個(gè)根xi(i＝1,2,3,4,5)，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5的值為()A．7 B．8C．9 D．10[答案]D[解析]∵f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的周期為4，∵x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝－x2＋1，∴x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝－x2＋1，即x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝－x2＋1，又x∈(1,2]時(shí)，f(x)＝x－2，∴x∈[－2，－1)時(shí)，f(x)＝－x－2，∴x∈[2,3)時(shí)，f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－2＝2－x.從而可知在[－1,5]上有f(－1)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，f(3)＝0，f(5)＝0，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10，故選D.14．(文)(2022·吉林長(zhǎng)春專題練習(xí))若函數(shù)f(x)，g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有()A．f(2)<f(3)<g(0)B．g(0)<f(3)<f(2)C．f(2)<g(0)<f(3)D．g(0)<f(2)<f(3)[答案]D[解析]由題意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，g(x)＝－eq\f(ex＋e－x,2)，g(0)＝－1，函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)在R上是增函數(shù)，所以f(3)>f(2)＝eq\f(e2－e－2,2)>0，因此g(0)<f(2)<f(3)，選D.(理)(2021·銀川市唐徠回中月考)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝lnx，則有()A．f(eq\f(1,3))<f(2)<f(eq\f(1,2))B．f(eq\f(1,2))<f(2)<f(eq\f(1,3))C．f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))<f(2)D．f(2)<f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))[答案]C[解析]∵f(2－x)＝f(x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∵x≥1時(shí)，f(x)＝lnx為增函數(shù)，∴x<1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，∵f(2)＝f(0)，f(0)>f(eq\f(1,3))>f(eq\f(1,2))，∴f(2)>f(eq\f(1,3))>f(eq\f(1,2))，故選C.15．(2021·江西吉安一中段考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋f(logeq\f(1,2)a)≤2f(1)，則a的取值范圍是()A．[1,2] B．(0，eq\f(1,2)]C．[eq\f(1,2)，2] D．(0,2][答案]C[解析]∵f(x)為偶函數(shù)，logeq\f(1,2)a＝－log2a，∴不等式f(log2a)＋f(logeq\f(1,2)a)≤2f(1)化為f(|log2a|)≤f(1)．∵f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴|log2a|≤∴－1≤log2a≤1，∴eq\f(1,2)≤a≤2.二、填空題16．(2021·江蘇)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______．[答案](－5,0)∪(5，＋∞)[解析]當(dāng)x>0時(shí)，x2－4x>x，∴x>5，當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，不合題意．當(dāng)x<0時(shí)，－x>0時(shí)，f(－x)＝(－x)2＋4x＝x2＋4x，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x>x，∴－5<x<0，綜上知，f(x)>x的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)．三、解答題17．(文)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性；(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解析](1)∵f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)；∵f(x)＝ex－eq\f(1,ex)，而y＝ex為增函數(shù)，y＝－eq\f(1,ex)為增函數(shù)，∴f(x)為增函數(shù)．(2)∵f(x－t)＋f(x2－t2)≥0，∴f(x2－t2)≥－f(x－t)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x2－t2)≥f(t－x)，∵f(x)為增函數(shù)，∴x2－t2≥t－x，∴t2＋t≤x2＋x.由條件知，t2＋t≤x2＋x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋x＝(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4).∴t2＋t≤－eq\f(1,4)，∴(t＋eq\f(1,2))2≤0，∴t＝－eq\f(1,2).故存在t＝－eq\f(1,2)，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．(理)(2021·濉溪縣月考)為了疼惜環(huán)境，進(jìn)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研機(jī)構(gòu)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]))且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國(guó)家將賜予補(bǔ)償．(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，推斷該項(xiàng)目是否獲利？并說(shuō)明理由．(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？[解析](1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，該項(xiàng)目獲利為S，則S＝200x－(eq\f(1,2)x2－200x＋80000)＝－eq\f(1,2)x2＋400x－80000＝－eq\f(1,2)(x－400)2，所以當(dāng)時(shí)，x∈[200,300]時(shí)，S<0，因此該單位不會(huì)獲利．(2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為eq\f(y,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144，,\f(1,2)x＋\f(80000,x)－200，x∈[144，500].))①當(dāng)x∈[120,144)時(shí)，eq\f(y,x)＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040＝eq\f(1,3)(x－120)2＋240，所以當(dāng)x＝120時(shí)，eq\f(y,x)取得最小值240.②當(dāng)x∈[144,500)時(shí)，eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x×\f(80000,x))－200＝200，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時(shí)，eq\f(y,x)取得最小值200.由于200<240，所以當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．18．(文)(2021·北郊高級(jí)中學(xué)調(diào)研)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x＋n,2x＋1＋m)是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m，n的值；(2)若存在t∈[1,2]，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解析](1)∵f(x)為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，∴f(0)＝0，∴eq\f(－1＋n,2＋m)＝0，∴n＝1，∴f(x)＝eq\f(1－2x,2x＋1＋m)，∵f(－x)＝－f(