江西省八所重點中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

江西省八所重點中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．拋物線y=2xA．(0,1) B．(0,12．已知集合A={x|?2kπ+π6<x<2kπ+2π3A．(2kπ+π4,2kπ+π3)C．(2kπ+π6,2kπ+π3)3．已知Sn是正項等比數(shù)列{an}的前n項和，且a1A．212 B．168 C．121 D．1634．復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z(32,12)，O為坐標(biāo)原點，將向量OZ繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到向量OZA．?12+32i B．?1+i5．函數(shù)f(x)A．2 B．1 C．3 D．θ6．已知正四棱錐P?ABCD，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個頂點涂色，每個頂點只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個頂點不同色，則不同的涂色方法有（）A．240 B．420 C．336 D．1207．已知α，β∈(0,π2)，A．?3 B．?33 C．38．我國著名科幻作家劉慈欣的小說（三體II·黑暗森林）中的“水滴”是三體文明使用新型材料—強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為θ1，θA．θ1<θC．θ1>θ2 D．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題會出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分．若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分．9．已知隨機變量X、Y，且Y=3X+1,X12345Pm11n3若E(A．m=310 B．n=15 C．10．已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)A．f(xB．函數(shù)f(x)C．函數(shù)f(xD．函數(shù)f(x11．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1G1D1中，點E，F(xiàn)分別為棱DD1，C1A．AB．若點Q為平面α內(nèi)任意一點，則QC+QB的最小值為2C．底面半徑為12且高為3的圓柱可以在該正方體ABCD?D．直線A1G與平面BD三、填空題：本題共3小題，每小題6分共16分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．(x2?2x13．在三角形ABC中、BC=4，角A剛平分能AD交BC于點D，若BDDC=13，則三角形14．已知函數(shù)f(x)=|2x+122+2?x四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，15．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=π6（1）證明：數(shù)列{tan2（2）求正整數(shù)m，使得sina16．三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，側(cè)面A1（1）求側(cè)棱AA（2）側(cè)棱CC1上是否存在點E，使得直線AE與平面A1BC所成角的正弦值為17．在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)(1,0)，直線l1:x=?1，動點M在直線l1（1）求點P的軌跡C1（2）經(jīng)過曲線C1上一點P作一條傾斜角為45°的直線l2，與曲線C2:(x?4)218．一次摸獎活動，選手在連續(xù)摸獎時，首次中獎得1分，并規(guī)定：若連續(xù)中獎，則第一次中獎得1分，下一次中獎的得分是上一次得分的兩倍：若某次未中獎，則該次得0分，且下一次中獎得1分．已知某同學(xué)連續(xù)摸獎n次，總得分為X，每次中獎的概率為13（1）當(dāng)n=5時，求X=3的概率；（2）當(dāng)n=3時，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)n=30時，判斷X的數(shù)學(xué)期望與10的大小，并說明理由．19．已知函數(shù)f(x)（1）求實數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的方程f(x)=1（3）數(shù)列{an}滿足：an+1=an

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：化拋物線y=2x2為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2故答案為：D.【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求拋物線的焦點坐標(biāo)即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：因為B={x|2kπ+πA={x|2kπ+π所以A∩B={x|2kπ+π4<x<2kπ+故答案為：A.【分析】先將集合B用2kπ+θ(3．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a2a4=81，所以a若a1=81a5=1，則a1=81若a1=1a5=81，則a1=1故答案為：C.【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出a1,a5，再列方程求出數(shù)列的公比4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)其與實軸正半軸夾角為θ，易得OZ=(32,1設(shè)OZ1與實軸正半軸夾角為β，則β=θ+π故z1=?1z14=故答案為：C.【分析】根據(jù)題意先求復(fù)數(shù)z15．【答案】B【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=|2x?m|?|lnx|=0有且只有一個零點等價于|2x?m|，|lnx|圖像有且只有一個交點，

即m=lnx+2x或m=?lnx+2x，令所以g(x)min=g(12)=1+ln2，注意到h(x)=g(x)的交點為由圖可知m=h(x),m=g(x)的根的個數(shù)之和為1，當(dāng)且僅當(dāng)m<1+ln故答案為：B.【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)換為m=h(x),m=g(x)的根的個數(shù)之和為1，其中h(x)=2x+ln6．【答案】B【解析】【解答】解：正四棱錐P?ABCD，如圖所示：

只用三種顏色時，A,C同色且B,D只用四種顏色時，A,C同色或B,D同色，5種顏色中選4種，再從A,五種顏色全用時，每個頂點用1種顏色，則有A5綜上，不同的涂色方法有60+240+120=420種.故答案為：B.【分析】由題意，結(jié)合排列組合以及分類加法原理求解即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：2(sinβ+sin2則sinα=cosα因為π2?α,α+β∈(0,π)，y=cos所以tan(2α+β+故答案為：A.【分析】由題意得2sinβ(sinβ+1)=28．【答案】A【解析】【解答】解：由題意知，若將水滴的軸截面看成圓的一部分，設(shè)圓的半徑為R，如圖所示：則R2=(R?1)若將水滴的軸截面看成橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為x2切點坐標(biāo)為(?2,b?1)，則橢圓x2所以橢圓的切線方程的斜率為k2將切點坐標(biāo)(?2,b?1)代入切線方程可得所以tanθ又因為b<R=52，所以tanθ2=故答案為：A.【分析】由題意，根據(jù)圓和橢圓的切線方程分別求得tanθ1、tanθ9．【答案】A,C【解析】【解答】解：易知m+110+1因為Y=3X+1，所以E(Y)因為E(X)=m+2×110+3×15+4n+5×310，所以m+2×110D(D(故答案為：AC.【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出m,10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因為?x∈R，f(x)?f(π即π3ω+φ=2kπ,當(dāng)x∈(0,π3)時，ωx+φ∈(φ,π3所以3π2<π3ω?π3因為0<ω<6,ω∈N*,A、函數(shù)f(x)的周期為2kπ5,B、由2kπ?π≤5x+π3≤2kπ,k∈Z，得2kπ5?當(dāng)k=1時，f(x)的遞增區(qū)間為[2π15,π3]C、令5x+π3=kπ,k∈Z，則x=kπ5?π15,k∈Z，所以D、由5x+π3=π2+kπ,故答案為：BCD.【分析】由f(x)?f(π3)≤0可得f(x)的最大值為f(π3)，則得11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因為ABCD?A1B1G1D1為正方體，所以B1D1⊥A1C1，又因為DD1⊥而A1C1,BC1?平面A1BCB、如圖所示：平面α截正方體的截面為正六邊形，點A1,C關(guān)于平面αC、底面半徑為12，高為3的圓柱的外接球的半徑為R=1D、點A1到平面BDC1的距離為定值，所以當(dāng)A1G此時點G是BC1的中點，直線A1G與平面在△A1DG中，A1G=DG=6，故答案為：ACD.【分析】由題意，可證B1D⊥平面A1BC1，可得B1D⊥A1G即可判斷A；平面α截正方體的截面為如圖正六邊形，點A1,C關(guān)于平面α對稱，QC+QB最小轉(zhuǎn)化為求12．【答案】?115【解析】【解答】解：將(x2?2x?1)5化簡為(x2?2x當(dāng)k=1,r=2時，10?2k?3r=2，則x2當(dāng)k=4,r=0時，10?2k?r=2，則x2所以x2項系數(shù)為?120+5=?115故答案為：?115.【分析】將(x2?13．【答案】3【解析】【解答】解：由正弦定理|AB|sin∠ADB=|BD|sin∠BAD，因為∠ADB=180°?∠ADC，所以sin∠ADB=又因為角A的平分線AD交BC于點D，所以∠BAD=∠CAD，所以|AB||BD|所以|AB||AC|=|BD||DC|=13，

以D為坐標(biāo)原點建立如圖平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因為BC=4，設(shè)A(x,y)，則(故點A(x,y)的軌跡是以(?3故當(dāng)A縱坐標(biāo)最大，即A(?32,故答案為：3.【分析】先根據(jù)正弦定理可得|AB||AC|=13，再以D為原點建立平面直角坐標(biāo)系求解14．【答案】9【解析】【解答】解：設(shè)函數(shù)g(x)=2x+12x+當(dāng)0≤a≤1時，?1?a≤?1,0≤1?a≤1，則0≤f(x)當(dāng)a>1時，?1?a<1?a<0，a?1<f(x)<a+1，要使得正整數(shù)n的最大值為8，則7(a?1)<a+18故答案為：97【分析】設(shè)函數(shù)g(x)=2x+1215．【答案】（1）證明：由已知條件可知，由于cosa故an+1∈(0,故數(shù)列{tan即tana（2）解：sin==由13m+1=1【解析】【分析】（1）由題意，推得tan2an+1=（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合tanan+1=16．【答案】（1）解：過A在平面ABB1A1內(nèi)作因為側(cè)面A1ACC1為矩形，所以所以CA⊥平面ABB1A1，CA?平面ABC，所以平面AD?平面ABB1A1，所以因為三棱錐C1?ABC的體積為23所以13×1因為∠A1AB=2π3（2）解：存在E滿足題意，C1理由如下：以AB,AC,則A1(?1,0,3設(shè)C1E=λC1所以AE→=(λ?1,設(shè)平面A1BC的一個法向量為則m?A1令z=3，則x=y=1，所以平面A1BC設(shè)直線AE與平面A1BC所成角為則sinθ=解得λ=1，所以存在E滿足題意，所以C1【解析】【分析】（1）由題意，證明AD⊥平面ABC，結(jié)合已知條件，先求AD的值，再求側(cè)棱AA（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.17．【答案】（1）解：由題意作出圖形，如圖所示：

由圖可得|PM|=|PF|，則點P的軌跡C是以F(1（2）解：設(shè)P(t2,2t)，則直線l2的方程為y=x+2t?化簡可得：2x2由于l2與C2交于兩個不同的點，故關(guān)于x的方程①的判別式Δ=?(因此有t∈(?2設(shè)Q，R的模坐標(biāo)分別為x1，x由①知，x1+x因此，結(jié)合l2的傾斜角為45°|=t4由②可知，t2?2∈(從而由③得：|PQ【解析】【分析】（1）利用線段的中垂線的性質(zhì)得出|PM|=|PF（2）設(shè)P(t2,2t)，則直線l2的方程為y=x+2t?t2，將直線方程與曲線C2方程聯(lián)立，由Δ>0可得t的取值范圍，設(shè)Q,18．【答案】（1）解：摸獎5次得分為3分，有如下兩種情形：情形一，恰好兩次中獎，且兩次相鄰；情形二，恰好三次中獎，且任意兩次都不相鄰．情形一發(fā)生的概率為C4情形二發(fā)生概率為C3所以P(（2）解：X的可能取值為0，1，2，3，7，P(X=0)P(X=2)P所以X的概率分布列為X01237P812241所以E(（3）解：E(記該同學(xué)摸獎30次中獎次數(shù)為ξ，則ξ~若每次中獎都得1分，則得分的期望為E(由題中比賽規(guī)則可知連續(xù)中獎時，得分翻倍，故實際總得分的期望E(所以E(【解析】【分析】（1）將X=3的所有可能情況進(jìn)行分類討論，即可求得P(（2）易知X的可能取值為0，1，2，3，7，求出對應(yīng)概率即可得分布列和期望；（3）依題意可知，若每次投進(jìn)都得1分，利用二項分布可知E(ξ)=10，再結(jié)合比賽規(guī)則即可得E(X)>10.19．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)=ln(因為f(x)≤0恒成立，且f(0)經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時，f'當(dāng)?1<x<0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在當(dāng)x>0時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)在所以x=0為函數(shù)f(x)的極大值點，f(0)也為函數(shù)f(x)的最大值，滿足條件，故a=1.（2）解：由（1）知f(x)令g(x)等價于直線y=m與曲線g(x)因為g'(x)=4x+1?1=