遼寧省協(xié)作校2024屆高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題

遼寧省協(xié)作校2024屆高三下學第一次模擬考試數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合A={1,2,3,A．{1,2,C．{x|log2x>0}2．已知a，b∈R，a?3i=(A．a(chǎn)=1，b=?3 B．a(chǎn)=?1，b=3C．a(chǎn)=?1，b=?3 D．a(chǎn)=1，b=33．已知a,b∈R．則“a>0且b>0”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知雙曲線C:y23?x2=1的下焦點和上焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與A．3 B．?3 C．103 D．5．猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個燈謎，分別放入三個完全相同的小球，三人約定每人隨機選一個球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對自己寫的燈謎，并有12A．124 B．118 C．1126．若函數(shù)f(x)使得數(shù)列an=f(n)，n∈N*A．[ln3,+∞) B．(ln27．若tan2α=43A．?12或2 B．?2或12 C．28．已知函數(shù)f(x)=log2(4A．(?∞,?2] C．[?2,43二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（）A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)C．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差D．樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)10．已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<A．φ=?B．f(x)的圖象關于直線x=πC．f(x)是奇函數(shù)D．f(x)的圖象關于點(5π11．已知不相等的實數(shù)a，b滿足ab>0，則下列四個數(shù)a，b，a+b2，abA．可能是等差數(shù)列 B．不可能是等差數(shù)列C．可能是等比數(shù)列 D．不可能是等比數(shù)列12．設直線系M:xcosmθ+ysinnA．當m=1，n=1時，存在一個圓與直線系M中所有直線都相切B．存在m，n，使直線系M中所有直線恒過定點，且不過第三象限C．當m=n時，坐標原點到直線系M中所有直線的距離最大值為1，最小值為2D．當m=2，n=1時，若存在一點A(a，0)，使其到直線系M中所有直線的距離不小于1，則a≤0三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．拋物線y2=ax(a≠0)14．已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a15．杭州第19屆亞運會是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事．本屆亞運會徽寶由上下兩方玉璽組成（如圖一），上方以杭州城市文化代表（錢塘潮和杭州奧體中心體育場）為主體元素（如圖二），若將徽寶上方看成一個圓臺與兩個圓柱的組合體，其軸截面如圖三所示，其中兩個圓柱的底面直徑均為10，高分別為2和6；圓臺的上、下底面直徑分別為8和10，高為2．則該組合體的體積為．16．已知e1，e2是空間單位向量，?e1，e2?=105°，若空間向量a滿足a?e四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為（1）求證：C=2B；（2）若△ABC為銳角三角形，求2sin18．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，滿足Sn=1（1）求證：當n≥5時，{a（2）求{an}的前n19．某教育教研機構(gòu)為了研究學生理科思維和文科思維的差異情況，對某班級35名同學的數(shù)學成績和語文成績進行了統(tǒng)計并整理成如下2×2列聯(lián)表(單位：人)：數(shù)學成績良好數(shù)學成績不夠良好語文成績良好1210語文成績不夠良好85附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）能否有95%的把握認為該班數(shù)學成績與語文成績有關？(計算結(jié)果精確到0.001)（2）從該班的學生中任選一人，A表示事件“選到的學生數(shù)學成績良好”，B表示事件“選到的學生語文成績良好”，P(A|B)(i)證明：R=P(ii)利用該表中數(shù)據(jù)，給出P(B|A)，P(B|A)的估計值，并利用(i)的結(jié)果給出20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB，F(xiàn)為BD中點，E是PA上點，PA=PD=2，PA⊥PD．（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若二面角E?DF?A的余弦值為31111，求E到平面21．已知圓C1:x2+y2（1）圓C1:x2+（2）已知橢圓的內(nèi)接平行四邊形的中心與橢圓的中心重合．當a，b滿足什么條件時，對C2上任意一點P，均存在以P為頂點與C1外切，與22．已知函數(shù)f(x)=blnx，g(x)=x2+ax（其中a（1）當a=?1時，f(x)≤g(x)恒成立，求b；（2）當b=2時，函數(shù)G(x)=f(x)?g(x)有兩個不同的零點，求a的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：ln5

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因為A∩B=A，所以A?B，而{x|x2>1}={x|x>1或x<-1}，{x|log2x>0}={x|x>1}，

{x|2．【答案】A【解析】【解答】解：因為a?3i=(b?i)i=1+bi，所以a=1，b=?3.3．【答案】A【解析】【解答】解：當a>0且b>0時，ab+ba≥2ab·ba=2，當ab+ba≥2時，不一定a>0且b>0，

所以“4．【答案】D【解析】【解答】解：雙曲線CC:y23?x2=1的下焦點和上焦點分別為F10，-2，F(xiàn)20,2，

聯(lián)立y2=3x2+3y=x+m得2x2-2mx-m2+3=05．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意，若甲獨自獲勝，分2種情況討論：

①甲抽到自己的燈謎，而乙、丙都沒有抽到自己的燈謎，

甲乙丙三人每人隨機選一個球，有A33=6種抽取方法，若只有甲抽到自己的燈謎，有1種抽取方法，

所以只有甲抽到自己的燈謎的概率為16，則此時甲獨自獲勝的概率為P1=16×1-12×1-12=124，6．【答案】B【解析】【解答】解：因為數(shù)列an=f(n)，n∈N*為遞減數(shù)列，所以f(n+1)<f(n)，n€N*，

即In(n+1)-a(n+1)<Inn-an，n€I*，所以a>In(n+1)-Inn=lnn+1n=ln1+1n，

又因為當n€N*時，y=ln(1+1n)單調(diào)遞減，所以

所以ln(1+1n)≤ln(1+7．【答案】A【解析】【解答】解：因為tan2α=2tanα1-tan2α=43，解得tanα=8．【答案】C【解析】【解答】解：設g(x)=f(x+2)=log2(4x+2+16)-x-4,x∈R，

則g'x=4x+2ln4(4x+2+16)ln2-1=4x+2-164x+2+16=0，解得x=0，

當x>0時，g'x>0,g(x)單調(diào)遞增，當x<0時，g'x<0,g(x)單調(diào)遞減，

因為g(-x)=log2(9．【答案】B,D【解析】【解答】解：由題意，對于A，并甲數(shù)據(jù)在1.5,7.5之間，故甲的極差小于等于7.5-1.5=6，

乙數(shù)據(jù)在2.5,8.5之間，故乙的極差小于等于8.5-2.5=6，故甲、乙極差有可能相等，故A錯誤；

對于B，甲的眾數(shù)落在[2.5,5.5)之間，乙的眾數(shù)落在[5.5,6.5)之間：

所以乙的眾數(shù)一定大于甲的眾數(shù)，故B正確；

對于C，從頻率分布直方圖上可以觀察出甲數(shù)據(jù)較乙數(shù)據(jù)平均，即甲組數(shù)據(jù)分布較為集中，乙組數(shù)據(jù)較分散，由方差越大，數(shù)據(jù)越分散，可知樣本乙的方差一定大于樣本甲的方差，故C錯誤；

對于D，甲各組數(shù)據(jù)的頻率分別為0.15,0.2,0.2,0.2,0.15,0.1，

且0.15+0.2+0.2=0.55>0.5,0.15+0.2<0.5，

所以甲的中位數(shù)落在[3.5,4.5)之間，乙數(shù)據(jù)前四組頻率和為0.05+0.10+0.15+0.5>0.5，

乙數(shù)據(jù)前三組頻率和為0.05+0.10+0.15<0.5，所以乙的中位數(shù)落在[5.5,6.5)，

故甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，故D正確.

故答案為：BD.

【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及極差、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的定義，分析甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，逐項判定即可.10．【答案】B,D【解析】【解答】A.當φ=?π3時，f(x)=sin(2x?π3)，由x∈(B.若f(x)的圖象關于直線x=π6對稱，則2×π6+φ=kπ+π2由x∈(π6，π3)，得C.若f(x)是奇函數(shù)，則φ=kπ，k∈Z，取φ=0，則f(x)=sin2x，由x∈(π6，π3D.若f(x)的圖象關于點(5π6，0)對稱，則2×5π6+φ=kπ，k∈Z，解得由x∈(π6，π3)，得故答案為：BD

【分析】根據(jù)題意分別將選項代入解析式，確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，再利用充分必要條件定義進行判斷，由此對選項逐一判斷即可得出答案。11．【答案】A,D【解析】【解答】解：因為不相等的實數(shù)a，b滿足ab>0，

設a>b，當a>b>0時，則a>a+b2>ab>b，

若構(gòu)成等差數(shù)列，則有a+b=a+b2+ab?a+b2=ab?a=b，

這與a>b矛盾，因此不能構(gòu)成等差數(shù)列，

若能構(gòu)成等比數(shù)列，則有ab=a+b2×ab?a+b2=12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，當m=1，n=1時，直線系方程為xcosθ+ysinθ=1，原點到直線的距離d=1sin2θ+cos2θ=1，

此時圓x2+y2=1與直線系M中所有直線都相切，故A正確.

對于B，當m=n=2時，直線系方程為xcos2θ+ysin2θ=1，直線經(jīng)過定點(1，1)，

當θ≠0，θ≠π，θ≠2π時，直線方程化為xcos2θ+ysin2θ=1，此時，-cos2θsin2θ<0，1sin2θ>0，

所以直線不過第三象限，當0或π或2π，直線x=1也不過第三象限.

所以直線不過第三象限，故B正確：13．【答案】5【解析】【解答】解：因為在拋物線y2=ax(a≠0)上，所以16=-4ax(-1)，解得a=4，

所以拋物線的標準方程為y2=-16x，所以拋物線準線方程為x=4，所以點P-1,4

到其準線的距離為5.14．【答案】?4【解析】【解答】解：f'(x)=3x2+2ax+b，因為函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1處有極值8，

所以f'(-1)=3-2a+b=0，且f(-1)=-1+a-b+a2=8，解得a=-2b=7或a=3b=3，

當a=-2,b=-7時，f(x)=x3-2x2-7x+4,f'(x)=3x2-4x-7=3x-7x+1，

令f'(x)=0得x=73或-1，所以在(-∞，-1)上f'x>0，f(x)單調(diào)遞增，

在(-1,73)上f'x<0，f(x)單調(diào)遞減，在(73,+∞)上f'x>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以在x=-1處取得極大值，且f(-1)=8，符合題意，

當a=3,b=315．【答案】722π【解析】【解答】解：該組合體的體積為：V=V圓柱1+V圓臺16．【答案】5【解析】【解答】解：因為?e1，e2?=105°且兩者均為單位向量，

所以e1→·e2→=e1→e2→cos<e1→·e2→>=cos105°=cos(45°+60°)

=cos45°cos60°-sin45°sin60°=2-64

又因為對于任意的x，y∈R，都有|a?(x17．【答案】（1）因為b(b+a)=c2，即c2得到ab=a2?2ab所以sinB=又sinA=sin所以sinB=又B,C∈(0,π)（2）由（1）知C=2B，所以2sin令t=cos又因為△ABC為銳角三角形，所以0<C=2B<π20<C<所以π4?B∈(所以t∈(0,所以2sin所以當t=14時，2sin【解析】【分析】(1)先利用余弦定理得b=a-2bcosC，再由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦函數(shù)公式得sinB=sin(C-B)，即可證得.

(2)利用△ABC為銳角三角形，確定π618．【答案】（1）∵Sn∴2Sn=兩式相減，得2a即(a當n≥5時，an>0，∴∴當n≥5時，{a（2）由a1=12a又a1∴由(1)得an+1+a而a5>0，∴a1∴an∴Sn【解析】【分析】（1）根據(jù)Sn+1-Sn=an+1轉(zhuǎn)化為(an+1+an)(an+1?an?1)=019．【答案】（1）由已知K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=（2）(i)∵R=P(A∣B)P(A∣B)?P(A/B)P(A∣B)=P(AB)P(B)?【解析】【分析】(1)根據(jù)K2=n(ad?bc)2(a+b)(20．【答案】（1）∵平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB=PA，PA⊥PD，PD?平面PAD，∴PD⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PD⊥AB；∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥AD，∵PD∩AD=D，PD,AD?平面PAD，∴AB⊥平面∵AB?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.（2）取AD中點O，連接OP,∵PA=PD，O為AD中點，∴OP⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，∴OP⊥平面ABCD，∵O,F分別為AD,BD中點，∴OF//AB，又以O為坐標原點，OA,OF,∵PA=PD=2，PA⊥PD，∴AD=22，OP=∴D(?2,0,0)，A(2,0,∴DF=(2,2,0)，PB設AE=λAP(0≤λ≤1)∴DE設平面DEF的法向量n=(x則DE?n=(22?2λ)x+2λz=0∵z軸⊥平面ADF，∴平面ADF的一個法向量m=(0∴|cosm,n|=∴AE=(?2設平面PBC的法向量t=(a則PB?t=2a+22b?2c=0∴點E到平面PBC的距離d=|【解析】【分析】(1)由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可得PD⊥AB，結(jié)合AB⊥AD，由線面垂直判定得AB⊥平面PAD，再由面面垂直的判定即可證得證明平面PAD⊥平面ABCD.

(2)取AD中點O，結(jié)合面面垂直性質(zhì)可知OP⊥AD，OP兩兩互相垂直，則以〇為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出所需點坐標，面DEF、平面ADF、平面PBC的法向量，利用空間向量法求出E到平面PBC的距離.21．【答案】（1）由題知，B1所以直線A2B1的方程為x因為圓C1:x所以，圓心O(0,0)到直線A2整理得a2所以a2由題意可知，b2所以1b當且僅當1b2?1所以，a2（2）當a2+b2=a2b2如圖，設P(x當x1=0或當x1x2所以，點M，N關于原點對稱，記直線PM,由對稱性和切線性質(zhì)可知，|PS|=|PT|,|MS|=|NT|，所以又O為MN的中點，所以OP⊥OM，即y1設S(m,n)，則直線PM的方程為代入橢圓方程得x2整理得(1由韋達定理可得y1y